En déduire {\int_0^\infty e^{-t^2x^2}\,dt} pour {x>0}.

Étudier la convergence simple et uniforme sur {\mathbb{R}}.

Étudier les convergences simple et uniforme, puis étendre le résultat à {f} lipschitzienne.

Montrer {|g_n'(t)|\leq e^t/n}, puis {|e^{-t}-(1-t/n)^n|\leq t/n}.

Étudier la convergence simple et uniforme de {G_n(x)=\int_0^xg_n(t)dt}.

Étudier la convergence simple, l’uniformité sur cet intervalle et sur {[\alpha,\pi/2]}, {\alpha>0}, puis montrer {\int_0^{\pi/2}f_n(t)g(t)dt\to g(0)} pour {g} continue.

Étudier les convergences simple, normale et uniforme de {\sum\limits f_n}, puis la limite de sa somme à l’infini.

Montrer qu’elle se prolonge en une fonction {C^1} sur {\mathbb{R}_+}.

Pour {f_n(x)=f(n/x)f(nx)}, montrer la convergence normale de {\sum\limits f_n} sur {\mathbb{R}_+^\star}.

Étudier la convergence simple, donner une condition de convergence normale, puis montrer la convergence uniforme de {\sum\limits u_n}.

Étudier les convergences simple et uniforme de {\sum\limits u_n} et {\sum\limits u_n'}.

Étudier la convergence simple, la continuité de la somme et son équivalent en zéro positif.

Montrer sa définition pour {x>0}, calculer {S(1)}, montrer {xS(x)=e^{-1}+S(x+1)}, puis {S(x)\sim1/x} en zéro et sa régularité {C^\infty}.

Montrer la convergence normale sur {[-1,1]} de {\sum\limits_{n\geq1}(\sin(1/\sqrt n)-\sin(1/\sqrt{n-1}))x^n}, puis déterminer {\lim_{x\to1^-}(1-x)S(x)}.

Étudier la convergence simple puis uniforme de {\sum\limits u_n} et {\sum\limits u'_n} sur {\mathbb{R}_+}.

b) Étudier les modes de convergence de cette série de fonctions.

c) Donner une expression simplifiée de {f(x)}.

b) Étudier la convergence uniforme.

c) La série converge-t-elle uniformément sur {]1,+\infty[} ?

b) La série converge-t-elle normalement sur {\mathbb{R}} ?

Montrer que {f} est continue sur {\mathbb{R}}.

d) Déterminer les limites en {-\infty} et {+\infty}.

e) Étudier la convergence uniforme sur {[1,+\infty[}.

Rappeler le théorème de Weierstrass et montrer que {f=0}.

b) Étudier la convergence uniforme sur {[0,1]} selon la valeur de {a}.

c) Soit {h>0}.

Montrer la convergence uniforme sur {[h,1]} pour tout {a}.

Qu’en déduire ?

Étudier les convergences simple et uniforme.

Montrer qu’elle est définie et de classe {C^1} sur {\mathbb{R}}.

Déterminer son ensemble de définition, étudier continuité, limite en {+\infty} et dérivabilité.

Étudier sa convergence simple puis uniforme.

b) Montrer la convergence uniforme sur {[a,1]} pour {a\in]0,1]}.

c) Calculer {\lim f_n(1/n)} et en déduire l’absence de convergence uniforme sur {[0,1]}.

b) Étudier la convergence uniforme.

b) {f} est-elle continue sur ce domaine ?

c) Déterminer un équivalent en {1^-}.

b) Montrer qu’elle ne converge pas normalement sur {D}.

c) Pour {x\ge1}, montrer {|R_n(x)|\le1/\ln(n+1)}.

d) Étudier la continuité de {S=\sum\limits_{n=2}^{+\infty}u_n} sur {D}.

e) Montrer que {S} est intégrable sur {D}.

b) Montrer que {S} est continue sur {\mathbb{R}_+^\star}.

c) Exprimer {S(x+1)} en fonction de {S(x)}.

d) Trouver un équivalent en {0}.

e) Déterminer la limite en {+\infty}.

f) Trouver un équivalent en {+\infty}.

b) Montrer {0\le u_{n+1}(x)-u_n(x)\le x^{n+1}/(n+1)!}.

c) Montrer la convergence normale de {\sum\limits(u_{n+1}-u_n)}.

d) Montrer que {u_n} converge uniformément vers une fonction non nulle {f\in C^\infty} vérifiant {f'(x)=f(x-x^3)}.

b) Relier {I_{n-1,p}} et {I_{n,p}}.

c) Montrer que {f(x)=1/x^x} est intégrable sur {]0,1]}.

d) Montrer {\int_0^1f(x)\,dx=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}1/n^n}.

Étudier la convergence de {(f_n)}.

2) Même question pour {(f_n')}.

2) Montrer qu’elle y est de classe {C^2}.

3) En déduire une expression de {f}.

En déduire un équivalent en {+\infty}.

2) Calculer {\int_0^{1/2}nf_n(t)\,dt} et en déduire l’absence de convergence uniforme de {nf_n} sur ce segment.

Qu’en est-il de {f_n} ?

3) Calculer {f_n'}, trouver {\alpha_n\in]0,1[} tel que {f_n'(\arccos\alpha_n)=0} et donner les variations sur {[0,\pi/2]}.

4) Montrer {\sup_{\mathbb{R}}f_n=\sup_{[0,\pi/2]}f_n}.

Conclure sur la convergence uniforme sur {\mathbb{R}}.

Donner un équivalent en {0^+}.

Montrer qu’elle est définie sur {\mathbb{R}} et {C^1} sur {\mathbb{R}^\star}.

Montrer que {S(x)/x} est décroissante et préciser sa limite en zéro.

2) Étudier la convergence normale sur {\mathbb{R}_+} et sur {[a,\infty[}, {a>0}. {f} est-elle continue sur {\mathbb{R}_+^\star} ?

3) Pour {R_n=\sum\limits_{k>n}u_k}, montrer {R_n(x)-R_{2n}(x)\ge\sqrt n x/(\sqrt2(1+2nx^2))}. Y a-t-il convergence uniforme sur {\mathbb{R}_+} ?

4) Montrer {\arctan(1/x)\le f(x)\le\arctan(1/x)+x/(1+x^2)} pour {x>0}. {f} est-elle continue en zéro ?

Pour deux suites complexes, poser {A_n=\sum\limits_{k=0}^na_k} et montrer {\sum_{k=0}^na_kb_k=a_0b_0-A_0b_1+A_nb_n +\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).}Avec {a_k=e^{ik\theta}}, {b_0=0}, {b_k=1/k} pour {k\ge1}, majorer le module de la dernière somme.

Pour {x\notin2\pi\mathbb{Z}}, calculer {\sum\limits_{k=1}^n\sin(kx)} sous forme d’un produit de sinus divisé par {\sin(x/2)}.

Montrer que {\sum\limits_{k\ge1}\sin(kx)/k} définit une fonction continue sur {]0,2\pi[}.

En déduire {\int_0^1x^{-x}\,dx=\sum\limits_{n\ge1}1/n^n}.

Montrer que {\sum\limits_{n\ge1}f_n} converge simplement vers {f}, puis que {f} est intégrable sur {\mathbb{R}_+^\star}.

b) Étudier la convergence simple.

c) Convergence uniforme sur {[0,+\infty[} ?

d) Sur {[a,+\infty[}, {a>0} ?

e) Sur {]0,+\infty[} ?

b) Montrer la convergence uniforme sur {[a,1]}, {0\lt a\lt 1}.

c) Est-elle uniforme sur {[-1,1]} ?

b) Calculer sa somme.

b) Pour {k\ge1}, soit {f_k(0)=e^{-k}}, {f_k(x)=(1-kx)^{1/x}} pour {0\lt x\lt 1/k}, et {f_k(x)=0} pour {x\ge1/k}.

Montrer que {f_k} est continue sur {\mathbb{R}_+}.

c) Montrer que {F=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}f_k} est continue.

d) Montrer {F(1/n)=S_n/n^n}.

e) Trouver {C>0} tel que {S_n\sim Cn^n}.