Étudier la nature de {\sum_{n\geq1}\frac{n^\alpha}{a(1+a)\cdots(1+a^n)}.}

Montrer que {u_n\to0}.

Si {f} est dérivable en {0} avec {f'(0)\ne0}, montrer que {\sum\limits u_n^2} converge.

Pour {k\in\mathbb{Z}}, déterminer la nature de {\sum\limits u_n^k}.

Étudier {\sum\limits u_n}. On pourra sommer par paquets.

Donner le résultat pour {N=3}.

Montrer {u_n\to0}, trouver {\alpha} tel que {u_{n+1}^\alpha-u_n^\alpha} ait une limite finie non nulle, puis donner un équivalent de {u_n} et étudier {\sum\limits u_n}.

Donner un équivalent et étudier {\sum\limits u_n}.

Montrer la convergence de {\sum\limits r_n/(n(n+1))}.

Exprimer {S_{5n}=\sum\limits_{k=1}^{5n}r_k/(k(k+1))} avec les nombres harmoniques, puis calculer la somme infinie.

Justifier les intégrales au rang zéro, donner les limites des suites et étudier {\sum\limits u_n,\sum\limits v_n,\sum\limits w_n}.

Justifier l’intégrale, trouver sa limite et étudier {\sum\limits I_n}.

Justifier l’intégrale, montrer {I_{n+1}=(1-1/(3n))I_n}, étudier {n^{1/3}I_n} à l’aide du logarithme, puis {\sum\limits I_n}.

Montrer {I_{n+1}+I_n=1/(2n+1)}, donner un équivalent de {I_n}, puis étudier et sommer {\sum\limits_{n\geq0}(-1)^n/(2n+1)}.

Programmer les trapèzes pour {I_1}, puis les vingt premières sommes partielles {\sum\limits I_n^\alpha} pour {\alpha=1,2,3,4}.

Si {x_{n+1}/x_n=1-\lambda/n+y_n}, {x_n>0}, {\sum\limits|y_n|\lt \infty}, montrer {\ln(x_{n+1}/x_n)=-\lambda/n+z_n} avec {\sum\limits|z_n|\lt \infty}, puis {x_n\sim Cn^{-\lambda}} et conclure pour {\sum\limits I_n^\alpha}.

2) Pour {n\in\mathbb{N}^\star}, montrer que {\int_0^y\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(n+t)}\,dt =\frac1n\left(\int_0^n\frac{t-\lfloor t\rfloor}t\,dt -\int_y^{y+n}\frac{t-\lfloor t\rfloor}t\,dt\right).}3) Poser {H(n)=nG(n)}.

Montrer que la série de terme général {H(n+1)-H(n)-1/(2n)} converge.

En déduire un équivalent de {G(n)}.

Étudier la convergence de {\sum\limits u_n} et calculer sa somme.

Montrer que {I} est bien définie et que {I=-2\int_0^1\frac{t\ln t}{1+t^4}\,dt}.

Calculer {\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}}.

b) Étudier la série de terme {((e-(1+1/n)^n)e^{1/n})/(\log(n^2+n))^2}.

b) montrer {x_n>e^{n\pi}} et étudier {\sum\limits1/x_n}.

b) Montrer que {f} est de classe {C^\infty}.

c) Déterminer un équivalent simple en {0} de {f}.

b) Montrer que pour {t\ge0}, {f'(t)=g'(t)-g(t)} et {\int_0^t f(u)e^{-u}\,du=(g(t)-f(t))e^{-t}}.

c) En déduire {\int_0^{+\infty}f(u)e^{-u}\,du=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n}.

b) Déterminer la limite de {(I_n)}.

c) La série {\sum\limits I_n} converge-t-elle ?

b) Montrer que {(I_n)} converge et déterminer sa limite.

c) Montrer que {\sum\limits_{n\ge1}(-1)^nI_n} converge et déterminer sa somme.

b) Calculer {I_n+I_{n+2}}.

c) Calculer {\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}} par télescopage.

d) Retrouver directement le résultat.

b) Justifier l’existence et calculer {\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\sum\limits_{p=0}^{+\infty}\frac1{a_{n,p}}}.

c) La famille {(1/a_{n,p})_{(n,p)\in\mathbb{N}^2}} est-elle sommable ?

À quelles conditions {\sum\limits u_n} converge-t-elle ?

Étudier la série et calculer sa somme si elle converge.

2) Pour {n\geq1}, soit {u_n=(-1)^n/n} et {v_n=u_{\sigma(n)}}.

Montrer que les deux séries convergent et calculer leurs sommes.

2) Pour {u_n=\sum\limits_{k=n}^{+\infty}1/k^2}, déterminer la nature des séries de termes {u_n}, {u_n-1/n} et {nu_n-1}.

2) Étudier {\sum\limits(u_{n+1}-u_n)} et en déduire la nature de {\sum\limits u_n^3}.

3) Étudier {\sum\limits\ln(u_{n+1}/u_n)} et en déduire la nature de {\sum\limits u_n^2}.

2) Étudier celle de {\sum\limits u_n}.

Montrer que, pour {n\geq 1}, {a_n=(-1)^n/(n\pi)-2b_n}.

Montrer son existence et déterminer sa limite.

Montrer {a_n=\frac{4n^2-2n}{4n^2+1}a_{n-1}}.

Pour {b_n=\sqrt n\,a_n}, montrer la convergence de {\sum\limits\ln(b_n/b_{n-1})}.

Conclure sur {\sum\limits a_n}.

Montrer {\sum\limits u_n^2\lt \infty}, étudier {v_n=1/u_{n+1}-1/u_n}, puis, en admettant Cesàro, donner un équivalent de {u_n}.

Montrer que cette suite est bien définie et tend vers zéro.

b) On pose {v_n=\frac{(-1)^n}{n}u_n}.

Déterminer la nature de {\sum\limits v_n}.

b) Étudier {\sum\limits_{n\ge1}\cos\bigl(\pi n^2\ln(1+1/n)\bigr)}.

b) En déduire {\lim nu_n}.

c) Nature de {\sum\limits u_n} et {\sum\limits(-1)^nu_n} ?

b) Nature de {\sum\limits u_n^3} ?

c) Nature de {\sum\limits u_n^2} ?

b) Montrer {R_n\sim1/((\alpha-1)n^{\alpha-1})}.

c) Nature de {\sum\limits R_n(\alpha)/S_n(\alpha)} ?

b) Montrer que {\sum\limits_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{n}\int_n^{+\infty}e^{-t^2}\,dt} converge.

Est-ce absolu ?

c) En déduire la nature de {\sum\limits_{n\ge1}(-1)^n\int_0^1e^{-n^2t^2}\,dt}.

b) Étudier la continuité de sa somme {S}.

c) Donner un équivalent de {S} en zéro.

b) Le calculer.

c) Rayon de {\sum\limits a_nx^n} ?

d) Nature de {\sum\limits a_ne^n} ?

e) Nature de {\sum\limits a_n(-e)^n} ?

f) Domaine de la somme ?

b) Étudier la limite.

c) Nature de {\sum\limits(-1)^na_n} ?

d) Rayon de {\sum\limits a_nx^n} ?

2) Déterminer sa limite.

3) Étudier la série de terme général {x_n}.

Montrer {R_n(\alpha)\to0} et {R_n(\alpha)\sim1/[(\alpha-1)n^{\alpha-1}]}.

2) Pour {u_n=\cos(\pi n^2\ln(1+1/n))}, montrer {u_n=(-1)^n\pi/(3n)+O(n^{-2})}.

3) En déduire la nature de {\sum\limits u_n}.

Retrouver le résultat de a).

Que peut-on en déduire ?

Montrer que {\sum\limits\ln(v_{n+1}/v_n)} converge.

En déduire la convergence de {\sum\limits u_n}.

En déduire la convergence de {\sum\limits e^{ik\theta}/k}.

Déterminer la nature de {\sum\limits\sin u_n}.

Montrer la convergence et calculer la somme de {\sum\limits u_n}.

Décomposer {1/(n(n+1)(2n+1))} sous la forme {a/n+b/(n+1)+c/(2n+1)}.

Montrer {\sum\limits_{k=1}^nk^2=n(n+1)(2n+1)/6} et étudier {\sum\limits u_n}.

Montrer {H_{2n}-H_n\to\ln2} par comparaison intégrale.

Exprimer {\sum\limits_{j=1}^n1/(2j+1)} à l’aide de {H_n,H_{2n},n}, puis calculer {\sum\limits_{n\ge1}u_n}.

Montrer que {\sum\limits_{k\ge1}(-1)^k/\sqrt k} converge et, pour son reste {R_n}, {R_n=(-1)^{n+1}\sum_{k\ge0}\left( \frac1{\sqrt{n+1+2k}}-\frac1{\sqrt{n+2+2k}}\right).}Montrer que {g_n(x)=1/\sqrt{n+x}} est convexe et que {g_n(2x)-g_n(2x-1)\le g_n(2x+1)-g_n(2x)} pour {x\ge1}.

Montrer que {|R_n|} décroît, puis étudier {\sum\limits R_n}.

Pour {p=1}, montrer la convergence de {\sum\limits\varepsilon_n/n}, la retrouver en regroupant {1/(2k+1)-1/(2k+2)}, puis montrer la convergence uniforme de {\sum\limits\varepsilon_kt^k/k} sur {[0,1]} et calculer la somme en un.

Dans le cas général, montrer, pour {n\ge1}, {0\le\sum\limits_{k=2np+1}^{2np+2p}\varepsilon_k/k\le1/(4n^2)}.

Donner un autre calcul de la somme.

Trouver {\alpha} tel que {u_n=(1+a+b)\sqrt n+\alpha/\sqrt n+O(n^{-3/2})}, puis les couples {(a,b)} pour lesquels {\sum\limits u_n} converge.

Étudier {\sum\limits\ln(1+a_n)} et calculer {\lim_{n\to\infty}\prod\limits_{k=2}^n(1+a_k)}.

2) Pour {a=2}, trouver {\lambda} tel que {u_n(2)=\lambda(n+1)/n} et sa limite.

3) Étudier la convergence de {u_n(a)} ; pour {a\lt 1}, utiliser la série {\sum\limits\ln(1-p^{-a})} pour déterminer la limite.

4) Poser {u(a)=\lim_nu_n(a)}, {f_p(a)=-\ln(1-p^{-a})}.

Montrer la convergence normale de {\sum\limits f_p} sur {[a_0,\infty[} si {a_0>1}, puis la continuité de {u} sur {]1,\infty[}.

5) Montrer {\sum\limits_{p\ge2}f_p(a)\le-\int_2^{+\infty}dt/t^a}.

Montrer son existence, sa convergence et calculer sa limite.

Montrer que {\sum\limits(-1)^nu_n} converge et relier {u_{n+1}} à {u_n}.