Soit {M_n} tridiagonale de diagonale {2\cos\varphi}, et de deux diagonales voisines égales à un.

Trouver une récurrence et l’expression de {D_n=\det M_n} pour {\varphi\notin\pi\mathbb{Z}}, puis pour {\varphi\in\pi\mathbb{Z}}.

Étudier les suites réelles définies par {x_{n+1}=x_n/2+y_n/4+z_n/4}, {y_{n+1}=x_n/4+y_n/2+z_n/4}, {z_{n+1}=x_n/4+y_n/4+z_n/2}.

Pour {n\geq1}, montrer que {x^n+x-1=0} a une unique solution positive {x_n}, que {(x_n)} est croissante majorée ; programmer une dichotomie à précision {\varepsilon}, afficher les cent premières valeurs, conjecturer puis prouver la limite.

Soit {P_n=X^n+\cdots+X-1}, {n\geq1}.

Montrer l’existence d’une unique racine positive {a_n} ; programmer son approximation, tracer les vingt premières valeurs, conjecturer puis démontrer la convergence et sa limite.

Soit {x_n>0}, {x_n\to0}.

Montrer qu’il existe une infinité de rangs avec {x_n=\min(x_0,\ldots,x_n)}, et une infinité avec {x_n=\max_{k\geq n}x_k}.

Soit {f(x)=\lfloor x\rfloor+(x-\lfloor x\rfloor)^2}.

Étudier sa continuité, décrire son graphe, puis les itérées {x_{n+1}=f(x_n)} selon {x_0}.

Pour {m>1}, montrer l’existence d’un unique {x_m\in]-2,-1[}, tel que {m\ln(1+x_m/(m+1))=x_m}.

Étudier la suite {(x_m)}.

a) montrer l’unicité d’une racine positive {x_n} ;

b) montrer croissance et majoration ;

c) calculer les cent premières valeurs par dichotomie ;

d) les tracer et conjecturer la limite ;

e) démontrer cette limite.

a) montrer qu’il existe deux racines {\alpha_n\lt \beta_n} ;

b) montrer {\alpha_n>0} ;

c)-d) donner monotonie et limite ;

e)-f) donner équivalent et développement à deux termes de {\alpha_n}.

a) montrer l’unicité d’une solution {x_n} de {\sin x=e^{-x}} et discuter sur {\mathbb{R}_+} ;

b) donner sa limite ;

c) donner un développement à deux termes.

Montrer qu’une suite positive tendant vers {0} possède une sous-suite décroissante.

Soit {A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\[4pt]-1&2&-1\\[4pt]0&-1&1\end{pmatrix}}. Pour quels réels {a} la suite {(a^nA^n)} converge-t-elle ?

Trois suites complexes satisfont {u_{n+1}=2u_n+v_n+w_n,\quad v_{n+1}=u_n-v_n+w_n,\quad w_{n+1}=u_n+v_n-w_n.}Donner une condition nécessaire et suffisante sur {(u_0,v_0,w_0)} pour qu’elles convergent.

a) Montrer que {I_n} est bien définie.

b) Montrer que, pour {n\geq 2}, {I_n=1/(n2^n)+(n-1)I_{n-1}/n}.

c) Posons {J_n=nI_n}.

Donner une relation de récurrence.

d) Calculer {J_1}, puis établir {J_n=\sum\limits_{k=1}^{n}2^{-k}}.

e) Montrer que {I_n=(1-2^{-n})/n} et déterminer sa limite.

1) Écrire {X_{n+1}=AX_n} et exprimer {X_n} en fonction de {A,X_0}.

2) Calculer {A^n}.

3) Conclure.

1) Montrer qu’elle a une unique racine {u_n\in]0,1[}.

2) Étudier les variations de {(u_n)} et déterminer sa limite {\ell}.

3) Donner un équivalent de {u_n-\ell}.

1) Montrer la convergence et déterminer la limite.

2) Montrer {\sum\limits u_n^3\lt \infty}.

3) Montrer que {u_{n+1}^{-2}-u_n^{-2}} converge.

4) Donner un équivalent de {u_n}.

a) Montrer que {P'_{n+1}=-P_n-X^{2n+2}/(2n+2)!} et {P''_{n+1}=P_n}.

b) i) Montrer par récurrence que la fonction polynomiale {p_n} est strictement décroissante et possède un unique zéro réel {u_n}.

ii) Montrer que {P_n=\sum_{k=0}^n\frac{X^{2k}}{(2k)!} \left(1-\frac{X}{2k+1}\right).}

c) i) Montrer que {u_n\in[1,2n+1]}.

ii) Montrer que {(u_n)} est monotone.

Soit {\Delta_n} le déterminant tridiagonal d’ordre {n} ayant trois sur la diagonale, un juste au-dessus et deux juste au-dessous.

Trouver une récurrence puis une expression explicite de {\Delta_n}.

Pour {n\ge2}, soit {f_n(x)=x^n+x^{n-1}+x-1} sur {\mathbb{R}_+}.

Calculer {\int_4^X\ln t/t\,dt} pour {X>0}.

Si {a_n\sim b_n>0} et leur limite commune est zéro ou l’infini, montrer {\ln a_n\sim\ln b_n}.

Montrer que {f_n} a un unique zéro {u_n>0}, avec {u_n\in]0,1]}, puis que {f_n(u_{n+1})=u_{n+1}^{n-1}(1-u_{n+1}^2)}.

En déduire la monotonie et la limite de {u_n}.

Pour {n\in\mathbb{N}}, poser {I_n=]-\pi/2+n\pi,\pi/2+n\pi[} et {f(x)=\tan x-x}.

Rappeler le développement à l’ordre trois de {\tan} en zéro.

Montrer qu’il existe un unique {x_n\in I_n} avec {f(x_n)=0}, puis {x_n\sim n\pi}.

Pour {y_n=x_n-n\pi}, montrer {y_n=\arctan x_n\to\pi/2}, donner un équivalent de {y_n-\pi/2}, puis vérifier {\tan(y_n-\pi/2+1/(n\pi)) =\frac{x_n\tan(1/(n\pi))-1}{x_n+\tan(1/(n\pi))}.}Trouver {a,b,c,d} tels que {x_n=an+b+c/n+d/n^2+o(n^{-2})}.

Soient {u_0\in\mathbb{R}} et {u_{n+1}=e^{-u_n}}.

Étudier la convergence et chercher les deux termes suivants du développement asymptotique.

a) Montrer {1/(2-x)\le1/2+x/2} sur {[0,1]}.

b) Montrer {1/2\le u_n\le1}.

c) Montrer la convergence et donner la limite {\ell}.

d) Montrer {1/v_{k+1}-1/v_k=1/(2-v_k)}.

e) Limite de cette différence ?

f) Par Cesàro, déterminer la limite de {n/v_n}, puis un équivalent de {u_n-\ell}.