Montrer qu'il existe {x\in\mathbb{R}} tel que {f(x+t)=f(x)}.

Étudier sa dérivabilité sur {]0,1[}, sa continuité et sa dérivabilité aux extrémités sur {[0,1]}, puis donner son développement limité d'ordre deux en zéro.

Montrer sa définition sur {\mathbb{R}_+} et sa régularité {C^\infty} sur {\mathbb{R}_+^\star}.

Montrer {1-e^{-x}\geq(1-e^{-1})x} sur {[0,1]} ; étudier la dérivabilité en zéro, la limite à l'infini et les variations.

Montrer qu'il existe {c\in]a,b[} tel que {\lVert f(b)-f(a)\rVert\leq\lVert f'(c)\rVert(b-a)}. Indication : introduire {\varphi(t)=\langle f(t),f(b)-f(a)\rangle}.

Préciser son domaine de définition et de continuité.

Montrer qu'elle se prolonge continûment en zéro et en un.

b) Sachant {\sum\limits n^{-2}=\pi^2/6}, déterminer sa limite en {+\infty}.

c) Montrer {f\in C^1(\mathbb{R}^\star)}.

d) Calculer la limite de {f'(x)} en zéro. {f} est-elle dérivable en zéro ?

e) Décrire l'allure de sa courbe.

2) Montrer qu'elle est dérivable pour {x>0} et calculer {f'}.

3) Que dire de {f'} en zéro ?

Pour {x\in]1,e[}, montrer qu'il existe un unique {y>x} tel que {(x,y)\in E}. On note ce réel {\psi(x)}.

2) Pour {\varepsilon>0}, étudier les variations de {f_\varepsilon(x)=2-(2-x)^{2+\varepsilon}} si {x\le2}, et {2} sinon, ainsi que de ses deux dérivées ; calculer les trois {M_i}.

3) Par Taylor-Lagrange, montrer {|f'(x)|\le2M_0/h+hM_2/2} pour {h>0}.

4) En déduire l'existence de {M_1}, puis {M_1\le2\sqrt{M_0M_2}}.

5) Montrer que la constante deux est optimale.

Montrer l'existence de {c\in]1,2[} avec {f'(c)=0}, en déduire les variations, relier {f(n)} à {f(1)} et déterminer la limite de cette suite.

Calculer {(\langle f,g\rangle)'}.

Si {f} ne s'annule pas, montrer que {\lVert f\rVert} et {\Phi=f/\lVert f\rVert} sont {C^1} et {\Phi'=f'/\lVert f\rVert-\langle f,f'\rangle f/\lVert f\rVert^3.}Si {(f(t),f'(t))} est liée pour chaque {t}, montrer {f'=\lambda f}, puis {\Phi'=0} et que les valeurs de {\Phi} sont dans une droite fixe.

Enfin, pour {u,v} libres, montrer que {\varphi(0)=0}, {\varphi(t)=e^{-1/t^2}u} pour {t>0} et {e^{-1/t^2}v} pour {t\lt 0} est {C^1}.

b) Comparer {e^\pi} et {\pi^e}.

b) Déterminer les {x>0} tels que {(x,x^2)\in E}.

c) Variations de {\varphi(x)=\ln x/x} ?

d) Pour {0\lt x\le1}, montrer qu'il n'existe pas de {y>x} avec {(x,y)\in E}.

e) Pour {1\lt x\lt e}, montrer l'existence d'un unique tel {y}, noté {\psi(x)}.

f) Montrer que {\psi:]1,e[\to]0,1/e[} est continue strictement décroissante.

g) Déterminer les couples d'entiers positifs avec {x\lt y} dans {E}.