a) Montrer que {P} admet une unique racine sur {\mathbb{R}_+}, que l’on note {\rho}.

b) Si {z} est une racine complexe de {P}, montrer que {|z|\leq\rho}.

c) Montrer que {\rho\leq\max(1,a_0+\cdots+a_{n-1})}.

d) Montrer que {\rho\leq1+\max(a_0,\ldots,a_{n-1})}.

Pour {n\geq1}, déterminer tous les couples {(P,Q)\in\mathbb{R}[X]^2} tels que {(X-1)^nQ+X^nP=1}.

Montrer d’abord l’existence et l’unicité d’un couple {(P_0,Q_0)} de degrés inférieurs à {n}.

Soit {P} complexe unitaire de degré trois, de racines {z_1,z_2,z_3}, affixes de {M_1,M_2,M_3}.

Montrer que {P'} a une racine double si et seulement si le triangle est équilatéral.

1) Montrer {\ln(\sum\limits x_i^2/n)\geq\sum\limits\ln(x_i^2)/n} et l’inégalité arithmético-géométrique correspondante.

2) Donner les valeurs possibles des {\sigma_i} indiqués.

3) Montrer {\sum\limits x_i^2\leq3}.

4) Déterminer tous les polynômes réels scindés à coefficients dans {\left\{-1,0,1\right\}}.

Pour {P_n=\sum\limits_{k=0}^nX^k/k!} et {R>0}, montrer que toutes les racines complexes de {P_n} ont module au moins {R} à partir d’un certain rang.

Factoriser {X^8+X^4+1} dans {\mathbb{R}[X]}.

a) montrer l’existence et l’unicité de {P\in\mathbb{R}_n[X]} prenant des valeurs prescrites {b_k} ;

b) expliciter les polynômes {L_k} prenant la valeur {1} en {a_k} et {0} aux autres points ;

c) montrer {X^p=\sum\limits_{k=1}^{n+1}a_k^pL_k} pour {0\le p\le n}.

Soit {P(X)=X^4+\alpha X^3+\beta X-16}, {\alpha,\beta\in\mathbb{C}}.

Déterminer les valeurs de {\alpha,\beta} pour lesquelles {P} admet une racine triple.

a) Déterminer ses racines et le factoriser dans {\mathbb{C}[X]}.

b) Calculer {\prod\limits_{k=1}^{n}\sin(k\pi/n)}.

Trouver les polynômes {P\in\mathbb{R}[X]} tels que {(X^2-X)P''=6P}.

a) Pour {n\in\mathbb{Z}}, montrer que {n(n+1)/2\in\mathbb{Z}}.

En déduire que {P=X(X+1)/2} vérifie {P(\mathbb{Z})\subset\mathbb{Z}}.

b) On pose {H_0=1} et {H_k=\frac1{k!}\prod\limits_{i=1}^{k}(X-i+1)} pour {k\geq1}.

i) Relier {H_k(X+1)}, {H_k(X)} et {H_{k-1}(X)}.

ii) Montrer que {(H_0,\ldots,H_k)} est une base de {\mathbb{R}_k[X]}.

c) i) Calculer {H_k(n)} pour {k,n\in\mathbb{N}}.

ii) Montrer que {H_k(\mathbb{Z})\subset\mathbb{Z}}.

d) Montrer que {\sum\limits_{i=0}^{n}H_k(i)=H_{k+1}(n+1)}.

e) Pour {P\in\mathbb{C}[X]} de degré {d}, montrer que {P(\mathbb{Z})\subset\mathbb{Z}} si et seulement si {P=\sum\limits_{i=0}^{d}m_iH_i} avec {m_i\in\mathbb{Z}}.

Montrer que {P=X^3-(2+i)X^2+3X+i-2} possède une racine réelle, puis le factoriser sur {\mathbb{C}}.

Le polynôme {X^4+4} est-il irréductible sur {\mathbb{R}} ?

Pour {n\ge1}, soit {P_n=nX^{n+2}-(n+2)X^{n+1}+(n+2)X-n}.

Montrer que {(X-1)^3} divise {P_n}, puis donner le reste de sa division par {(X-1)^3}.

Soit {P=(X+1)^7-X^7-1}.

Montrer que {j=e^{2i\pi/3}} est racine, déterminer sa multiplicité et factoriser {P} dans {\mathbb{C}[X]}.