Exercices corrigés du CCINP et d’autres écoles sur le thème « structures Algébriques », regroupés par filière.
MP–MPI
Exercice 1. (★★) Arithmétique ; ordre d’un élément ; groupes cycliques
a) Le groupe {(\mathbb{Z}/10\mathbb{Z})^\times} est-il cyclique ?
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b) Le groupe {(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z})^\times} est-il cyclique ?
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c) Soient des entiers {p,q\geq2} premiers entre eux.
Montrer que {\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}} et {\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}} sont isomorphes.
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Exercice 2. (★★) morphismes de corps ; monotonie ; densité
Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} un morphisme de corps.
a) Déterminer {f} sur {\mathbb{Z}} puis {\mathbb{Q}}.
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b) Montrer que {f(\mathbb{R}_+)\subset\mathbb{R}_+}.
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c) Étudier sa monotonie.
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d) Déterminer entièrement {f}.
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Exercice 3. (★★★) intégration des fonctions trigonométriques ; sous-anneaux ; anneaux intègres
Soit {A} l’ensemble des fonctions {f(t)=a_0+\sum\limits_{k=1}^na_k\cos(kt)}, à coefficients réels.
Montrer que c’est un sous-anneau de {\mathbb{R}^{\mathbb{R}}}, calculer {\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)dt} avec les coefficients, puis montrer que {A} est intègre.
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