Exercices corrigés du CCINP et d’autres écoles sur le thème « nombres réels ou complexes », regroupés par filière.
PSI
Exercice 1. (★★) Formule du binôme ; Exponentielle complexe
Soit {x\in\mathbb{R}}.
Calculer {\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cos(kx)}.
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PC
Exercice 1. (★★) Module et argument ; Racines n-ièmes
a) Résoudre dans {\mathbb{C}} l’équation {z^n=e^{i\pi/3}}.
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b) Résoudre dans {\mathbb{C}} {\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^n +\left(\frac{z+1}{z-1}\right)^n=1.}
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Exercice 2. (★★★) Module ; Racines de l'unité ; Récurrence
Soit {U_n=\left\{z\in\mathbb{C}:z^n=1\right\}} et {U=\left\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\right\}}. Pour {n\geq 1}, on écrit {(3+4i)^n=A_n+iB_n}, avec {A_n,B_n\in\mathbb{R}}.
a) Montrer que {U_n\subset U} et que {((3+4i)/5)^n\in U}.
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b) Exprimer {A_{n+1},B_{n+1}} en fonction de {A_n,B_n}.
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c) Montrer que les deux suites sont entières.
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d) Montrer que {A_n\equiv3} et {B_n\equiv4} modulo {5}.
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e) En déduire que {\bigcup_{n\geq1}U_n\neq U}.
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Exercice 3. (★★) Identités trigonométriques ; Sommes géométriques ; Inégalités
a) Calculer {\sum\limits_{k=1}^n\cos(2k)}.
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b) En déduire que {\sum_{k=1}^n|\sin k| \geq\frac{n(n+1)}4 -\frac{\sin n\cos(n+1)}{2\sin1}.}
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