Espérance, variance et covariance — Centrale-Supélec

Exercices corrigés de Centrale-Supélec sur le thème « espérance, variance et covariance », regroupés par filière.

MP–MPI

Exercice 1. (★★) espérance ; probabilités conditionnelles ; théorème de Fubini

Pour une variable discrète réelle

{X}

et un événement

{A}

, définir

{\mathbb E(X\mid A)=\sum\limits_xx\mathbb{P}(X=x\mid A)}

lorsque cela a un sens, et zéro sinon.

Donner une condition suffisante simple de bonne définition. Pour un système complet ${(A_k)}$ , établir ${\mathbb E(X)=\sum\limits_k\mathbb{P}(A_k)\mathbb E(X\mid A_k)}$ .

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Exercice 2. (★★★★) inégalité de Hölder ; moments d’une somme indépendante ; inégalité de Young

a) i) Pour

{p>1}

{q=p/(p-1)}

montrer ${xy\le x^p/p+y^q/q}$ pour ${x,y\ge0}$ ;

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a) ii) Pour

{p>1}

{q=p/(p-1)}

en déduire Hölder, ${\mathbb E(|XY|)\le\lVert X\rVert_p\lVert Y\rVert_q}$ pour ${X\in L^p}$ , ${Y\in L^q}$ .

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b) Pour

{1\le p\lt q}

, montrer

{L^q\subset L^p}

{\lVert X\rVert_p\le\lVert X\rVert_q}

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c) Pour des Rademacher indépendantes

{\varepsilon_n}

{p\ge1}

, montrer

{\lVert X\rVert_p\le C\sqrt p\lVert X\rVert_2}

pour toute combinaison linéaire finie

{X}

des

{\varepsilon_n}

, avec

{C}

absolue.

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Exercice 3. (★★★) espérance d’une fonction ; orthogonalité ; indépendance

Soient

{E}

préhilbertien réel,

{v_1,\ldots,v_n}

unitaires et

{X_1,\ldots,X_n}

i.i.d. uniformes sur

{\left\{-1,1\right\}}

1) Que dire d’une variable positive ou nulle d’espérance nulle ?

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2) Pour

{U=\sum\limits X_iv_i}

, calculer

{\mathbb E(\lVert U\rVert^2)}

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3) Montrer l’équivalence entre l’existence de signes donnant une norme strictement inférieure à

{\sqrt n}

, et l’existence de signes donnant une norme strictement supérieure à

{\sqrt n}

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4) À quelle condition ces propriétés sont-elles réalisées ?

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Exercice 4. (★★★) variance ; moments ; Séries entières

Soient

{X}

réelle et

{a,b\in\mathbb{R}}

1) Si

{X\in L^2}

, montrer

{aX+b\in L^2}

et donner sa variance.

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2) Pour

{K(X)=\mathbb E((X-\mathbb E(X))^4)/(V(X))^2-3}

lorsqu’il existe, montrer son invariance par

{X\mapsto aX+b}

{a\ne0}

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3) Montrer l’équivalence : (i) il existe

{\delta>0}

tel que

{e^{tX}\in L^1}

pour

{|t|\lt \delta}

;

(ii) tous les moments absolus existent et ${\sum\limits\mathbb E(X^n)t^n/n!}$ a un rayon non nul.

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PSI

Exercice 1. (★★) Espérance ; Loi uniforme ; Bienaymé-Tchebychev

Python. Deux amis arrivent à un rendez-vous avec des retards

{X,Y}

indépendants, uniformes sur

{\left\{0,\ldots,59\right\}}

. On pose

{T=|X-Y|}

1) Interpréter

{T}

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2) Donner sa loi.

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3) Programmer une fonction rdv(n) simulant

{n}

valeurs de

{T}

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4) Calculer son espérance exacte, l’estimer par simulation et commenter.

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5) Estimer sa loi avec

{10^5}

simulations et commenter les écarts.

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6) Si l’heure est découpée en

{N}

divisions, donner un équivalent de la probabilité d’arrivée simultanée lorsque

{N\to+\infty}

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Exercice 2. (★★) Loi uniforme ; Indépendance ; Espérance

Soit

{(X_n)}

une suite de variables indépendantes, uniformes sur

{\left\{1,\ldots,N\right\}}

. On pose

{S_n=\max_{1\leq k\leq n}X_k}

{T_n=\min_{1\leq k\leq n}X_k}

{S_n}

{T_n}

sont-elles indépendantes?

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2) Exprimer

{\mathbb E(T_n)}

comme une somme sans la calculer.

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3) En déduire sa limite lorsque

{n\to+\infty}

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Exercice 3. (★★) Cauchy-Schwarz ; Covariance ; Permutations

1) Rappeler Cauchy-Schwarz et calculer

{\operatorname{Cov}(\mathbf1_A,\mathbf1_B)}

En déduire ${|\mathbb{P}(A\cap B)-\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)|\leq1/4}$ .

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2) On choisit uniformément une permutation de

{\left\{1,\ldots,n\right\}}

. On note

{E_i}

l’événement «

{i}

est fixe ».

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3) Calculer

{\mathbb{P}(E_i)}

{\mathbb{P}(E_i\cap E_j)}

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4) Exprimer le nombre

{F}

de points fixes à l’aide des indicatrices, puis calculer son espérance et sa variance.

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Exercice 4. (★★) inégalité de Markov ; espérance d’une exponentielle ; indépendance

Pour des Rademacher indépendantes

{X_1,\ldots,X_n}

, poser

{S_n=n^{-1}\sum\limits X_k}

{\Psi(\lambda)=\log\cosh\lambda}

a) Montrer

{\mathbb{P}(Z\ge t)\le e^{-\lambda t}\mathbb E(e^{\lambda Z})}

pour

{\lambda>0}

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b) Montrer

{\mathbb{P}(S_n\ge0)\ge1/2}

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c) Montrer

{\frac1n\log\mathbb{P}(S_n\ge t) \le\inf_{\lambda>0}(\Psi(\lambda)-\lambda t)}

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Exercice 5. (★★★) inégalité de Markov ; formule des queues ; indépendance

Soient

{X_i}

i.i.d. à valeurs dans

{\mathbb{N}}

{M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)}

a) Montrer

{\mathbb{P}(M_n\le k)=\mathbb{P}(X_1\le k)^n}

. Supposer

{m_\alpha=\mathbb E(X_1^\alpha)\lt \infty}

pour un

{\alpha>1}

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b) Montrer

{\mathbb{P}(X_1\le k-1)\ge1-m_\alpha/k^\alpha}

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c) Montrer que

{M_n}

est intégrable.

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d) Si

{X_1\sim\mathcal G(1/2)}

, montrer

{\mathbb E(M_n)=\sum\limits_{k\ge0}(1-(1-2^{-k})^n)}

{\mathbb E(M_n)\sim\log n/\log2}

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Exercice 6. (★★★★) variance ; sommes de variables indépendantes ; inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit

{\theta>0}

. Des individus numérotés

{1,2,\ldots}

arrivent successivement dans un restaurant disposant d’une infinité de tables infiniment longues. Lorsque le

{(k+1)}

-ième individu se présente,

{k\geq1}

, il choisit chacun des

{k}

individus déjà attablés avec probabilité

{1/(k+\theta)}

et s’assied à la même table, ou occupe une nouvelle table avec probabilité

{\theta/(k+\theta)}

. On note

{K_n}

le nombre de tables occupées lorsque

{n}

individus sont installés.

1) Déterminer

{\mathbb{P}(K_n=1)}

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2) Soit

{G_n}

la fonction génératrice de

{K_n}

Montrer que ${G_n(x)=L_n(\theta x)/L_n(\theta)}$ , où ${L_n(x)=\prod\limits_{i=0}^{n-1}(x+i)}$ .

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3) Calculer

{\mathbb E(K_n)}

{V(K_n)}

et en donner des équivalents.

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4) Étudier le comportement de

{K_n/\ln n}

lorsque

{n\to+\infty}

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PC

Exercice 1. (★★) Linéarité ; Probabilités totales ; Variables indicatrices

Jeter indépendamment

{n}

balles dans

{N}

trous équiprobables. Soit

{T_n}

le nombre de trous occupés.

a) Donner ses valeurs possibles.

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b) Montrer que

{\mathbb{P}(T_{n+1}=k)=k\mathbb{P}(T_n=k)/N +(N+1-k)\mathbb{P}(T_n=k-1)/N}

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c) Calculer son espérance.

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Exercice 2. (★★★) Variance ; Groupe symétrique, déterminants ; Inégalité de Markov

(Python) Soient

{X_1,\ldots,X_n}

indépendantes uniformes sur

{\left\{-1,1\right\}}

{S_n=\sum\limits X_i}

{P_n=\prod\limits X_i}

{D(x_1,\ldots,x_n)=\det(1+\delta_{ij}x_i)_{i,j}}

Poser ${A_n=D(X_1,\ldots,X_n)}$ .

a), b), c) a) Calculer les espérances de

{S_n,P_n}

b) Calculer leurs variances.

c) Donner la loi de ${P_n}$ .

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d) Calculer

{\mathbb E(S_nP_n)}

; sont-elles indépendantes ?

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e), f), g), h) e) Programmer la liste

{[1+\sum\limits x_i,\prod\limits x_i,D(x_1,\ldots,x_n)]}

f) Tester pour ${n=10}$ et conjecturer une relation.

g) La prouver.

h) Tracer ${A_n/n}$ jusqu’à ${200}$ et conjecturer.

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i) Montrer que

{\mathbb{P}(|A_n/n|\geq\varepsilon)\to0}

pour tout

{\varepsilon>0}

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Exercice 3. (★★) Probabilités totales ; Formule des queues ; Indépendance

Deux joueurs tirent alternativement dans leurs urnes avec remise, le joueur

{1}

commençant. Leurs proportions de boules rouges sont

{p_1,p_2}

. Le premier tirage rouge arrête le jeu et fait gagner son auteur.

a) Montrer l’arrêt presque sûr.

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b) Choisir

{p_1,p_2}

donnant des chances de victoire égales.

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c) Calculer l’espérance du nombre de manches.

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Exercice 4. (★★) Variance d'une somme ; Loi de Bernoulli ; Linéarité

Soient

{(X_n)}

indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre

{p}

, et

{S_n=\sum\limits_{k=1}^n(X_k+X_{k+1})}

Calculer son espérance et sa variance.

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Exercice 5. (★★★) Loi uniforme ; Formule de transfert ; Équivalents

Soient

{n=2q+1}

{q\geq1}

, et

{A_k}

d’affixe

{e^{2ik\pi/n}}

. Pour

{1\leq k\lt n}

, soit

{B_k}

l’intersection de

{(A_0A_k)}

avec

{x=-1}

. Si

{W_n}

est uniforme sur

{\left\{1,\ldots,n-1\right\}}

, posons

{Z_n=2\cot(\pi W_n/n)}

Montrer que l’ordonnée de ${B_k}$ est ${2\cot(\pi k/n)}$ , calculer ${\mathbb E(Z_n)}$ et donner un équivalent de ${\mathbb E(|Z_n|)}$ .

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Exercice 6. (★★) lois ; combinaisons ; formule de transfert

On choisit uniformément

{n}

boules parmi

{N}

, sans remise,

{1\le n\le N}

, et

{X}

est le plus grand numéro.

a) Donner sa loi.

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b) Montrer

{\sum\limits_{k=n}^N\binom kn=\binom{N+1}{n+1}}

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c) Calculer son espérance.

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d) Calculer sa variance.

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Exercice 7. (★) variance d'une somme ; loi binomiale ; linéarité

Une particule part de

{0}

et effectue indépendamment à chaque instant un pas uniforme dans

{\left\{-1,1\right\}}

. Soit

{X_n}

son abscisse.

a) Calculer espérance et variance.

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b) Pour

{-k\le\ell\le k}

, calculer

{\mathbb{P}(X_{2k}=2\ell)}

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Exercice 8. (★★) variance d'une somme ; loi géométrique ; équivalents

Chaque tablette contient indépendamment une image uniforme parmi

{N}

types. Soit

{X_k}

le nombre de tablettes nécessaires pour obtenir

{k}

types distincts.

a) Donner la loi de

{X_{k+1}-X_k}

et calculer

{\mathbb E(X_k)}

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b) Donner un équivalent de

{\mathbb E(X_N)}

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c) Donner un équivalent de son écart type.

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Exercice 9. (★★★) Groupe symétrique, déterminants ; variance d'une somme ; développement par une ligne ou colonne

Soit

{A_n}

une matrice de Rademacher indépendantes et

{D_n=\det A_n}

a) Calculer

{\mathbb E(D_n)}

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b) Montrer par récurrence

{V(D_n)=n!}

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Exercice 10. (★★★) loi de Poisson ; dérivation terme à terme ; formule de transfert

Pour

{\lambda>0}

, soit

{Y_\lambda\sim\mathcal P(\lambda)}

1) Montrer qu’il existe

{L_1,L_2\in\mathbb{Z}[X]}

tels que

{\mathbb E(Y_\lambda)=L_1(\lambda)}

{\mathbb E(Y_\lambda^2)=L_2(\lambda)}

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2) Pour tout

{p\geq1}

, montrer l’existence d’un

{L_p\in\mathbb{Z}[X]}

tel que

{\mathbb E(Y_\lambda^p)=L_p(\lambda)}

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Exercice 11. (★★) variance d’une somme ; indépendance ; éléments propres

Soient

{X\sim\mathcal P(\lambda)}

{Y\sim\mathcal G(p)}

indépendantes. On pose

{M=\begin{pmatrix}X&Y\\[4pt]Y&X\end{pmatrix}}

1) Donner

{\mathbb E(\operatorname{rg}M)}

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2) Déterminer l’espérance et la variance de la plus grande valeur propre de

{M}

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