Déterminer le domaine, les limites aux bornes et les variations de {f(x)=\int_0^xdt/\sqrt{\cos t-\cos x}}.

Soit {f(x)=\int_0^\infty t^{x-1}/(1+t)\,dt}.

Déterminer son domaine et prouver sa classe {C^1}.

Tracer {\sin(\pi x)f(x)} et conjecturer sa valeur.

Calculer {\int_0^\infty\ln(1+23x+x^2)/(x\sqrt x)\,dx}.

Montrer {f(1-x)=f(x)}.

Étudier et calculer {\int_0^\infty\ln(1+x)/x^{1+1/k}\,dx}, {k\geq1}, puis démontrer la conjecture.

Pour {\beta>0}, poser {I_\beta(x)=\int_0^\infty e^{-\beta t}\cos(xt)/(1+t^2)dt}, {C(x)=\int_0^\infty\cos(xt)/(1+t^2)dt}.

Justifier leur existence, programmer {C} et tracer {e^xC(x)}. Montrer {I_\beta-I_\beta''=\beta/(\beta^2+x^2)}.

Poser {F_\beta(x)=\int_x^\infty\beta e^{-t}/(\beta^2+t^2)dt}, {J_\beta(x)=(e^xF_\beta(x)+e^{-x}F_\beta(-x))/2}.

Établir son équation différentielle, montrer {I_\beta=J_\beta} et passer à la limite {\beta\to0}.

Pour {x>0}, poser {I(x)=\int_0^\infty e^{-t^2\sqrt x}\cos(t^3/3)dt}.

Justifier et programmer cette fonction. Pour {g_n(x)=x^{1/n}I(x)}, on admet l’existence d’un unique candidat {(n_0,\alpha)}, {1\leq n_0\leq10}, avec {g_{n_0}(x)\to\alpha\ne0}.

Prouver l’unicité et déterminer les limites des autres {g_n}.

Tracer ces fonctions et conjecturer {n_0,\alpha}.

Montrer {\int_0^\infty e^{-t^2\sqrt x}|\cos(t^3/3)-1|dt=O(x^{-7/4})} et conclure, sachant {\int_0^\infty e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2}.

Montrer {I\in C^1(]0,\infty[)}.

a) Déterminer les {\alpha} tels que {\int_0^1t^{-\alpha}dt} converge.

b) Justifier la définition de {Af}.

c) Montrer {Af\in C}.

d) Montrer que {A} est linéaire continue et calculer sa norme.

e) Étudier la dérivabilité de {Af} lorsque {f\in C^1([0,1])}.

a) Rappeler la convergence dominée.

b) Montrer que {\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt} est dérivable sur {]0,\infty[}.

c) Montrer {\Gamma(x)=\lim_n\int_0^nt^{x-1}(1-t/n)^ndt}.

d) Pour {I_n(x)=\int_0^1(1-u)^nu^{x-1}du}, relier {I_n(x)} et {I_{n-1}(x+1)}.

e) Montrer {\Gamma(x)=\lim_n n^xn!/(x(x+1)\cdots(x+n))}.

f) Montrer {e^{-\gamma x}/\Gamma(x+1)=\lim_n\prod\limits_{k=1}^n(1+x/k)e^{-x/k}}.

1) Déterminer le domaine {D}.

2) Énoncer la convergence dominée et calculer les limites aux bornes de {D}.

3) Montrer que {f} est {C^1} et étudier le signe de {f'}.

1) Énoncer la dérivation sous l’intégrale ; pour {g\in C^1}, dériver {\gamma(f,g)}.

2) Si {\varphi\in S}, {\int\varphi=1}, et {\varphi_n(x)=n\varphi(nx)}, montrer que {\gamma(f,\varphi_n)\to f} simplement.

3) Si l’espace engendré par les translatées {f_\tau(x)=f(x-\tau)} est de dimension finie, montrer que {f} est {C^\infty}. On admet qu’une famille libre de fonctions possède une matrice d’évaluation inversible en des points convenables.

1) Montrer que {f} est définie sur {\mathbb{R}_+^\star\setminus\left\{1\right\}}.

2) Tracer sa courbe sur {[0,3]} et comparer sa limite en {1} à {\ln2}, si cette limite existe.

3) Montrer que {x\ln2\leq f(x)\leq x^2\ln2} pour {1\lt x\leq2}.

4) Étudier les limites à droite et à gauche en {1}.

5) Le prolongement continu {\widetilde f} semble-t-il dérivable en {1}?

6) Tracer sa tangente en {1}.

1) Montrer que {\Phi} est un endomorphisme de {E}.

2) Tracer sur {[0,5]} la fonction {g=\Phi(1)} et conjecturer sa limite en {+\infty}.

3) Calculer cette limite.

4) Étudier la dérivabilité de {g} et calculer sa dérivée.

5) Calculer {g(x)+g(1/x)} pour {x\ne0}.

Soit {F(x)=\int_0^\infty\arctan(xt)/(t+t^3)dt}.

Montrer que {F} est {C^1} sur {\mathbb{R}_+} et la calculer.

Justifier puis calculer {J=\int_0^{\pi/2}\ln(\sin\theta)d\theta}.

Soit {F(x)=\int_1^\infty dt/(t^{x+1}+t+1)}.

Déterminer son domaine, montrer qu’elle y est dérivable et donner sa dérivée.

Montrer que {F(x)\sim\ln3/(2x)} à l’infini et {F(x)\sim\ln2/x} en zéro positif.

Pour {x>1}, soit {F(x)=\int_0^1dt/\sqrt{(1-t^2)(x^2-t^2)}}.

Montrer que {F} est bien définie, monotone et continue ; donner un équivalent à l’infini et sa limite quand {x\to1^+}.

Soit {f(x)=\int_0^\infty\cos(tx)/(1+t^2)dt}.

Montrer que {f} est continue sur {\mathbb{R}} et de classe {C^2} sur {\mathbb{R}^\star}.

a) Montrer qu’elle est définie et dérivable sur {\mathbb{R}}.

b) Calculer sa dérivée et l’exprimer avec les fonctions usuelles.

a) Montrer que son domaine est {\mathbb{R}_+} et qu’elle y est continue.

b) Montrer qu’elle est {C^2}.

c) Donner les limites de {f,f'} en {+\infty}.

d) Montrer {f'(x)=\log x-\frac12\log(1+x^2)}, puis calculer {f}.

e) Pour {I=\int_0^\infty\sin t/t\,dt}, exprimer {I} avec {f(0)} et en déduire sa valeur.

a) Montrer l’intégrabilité en {\theta} sur {]0,\pi[}.

b) Pour {f_\lambda(x)=\int_0^\pi g_\lambda(x,\theta)d\theta}, montrer {f_\lambda(x)=2\int_0^{\pi/2}\cos(x\cos\theta) (\sin\theta)^{2\lambda}d\theta}.

c) Montrer que {f_\lambda} est {C^\infty} et {f_\lambda''=f_{\lambda+1}-f_\lambda}.

1) Montrer que {\varphi} est continue sur {[-1,1]^2}.

En déduire l’existence de {\mu}.

2) Soit {T=\left\{(x,y)\in[-1,1]^2:-1\leq x\leq y\leq1\right\}}.

Montrer que, pour {(x,y)\in T}, {\varphi(x,y)=3(y-x)^3+2/3+2xy}.

a) Rappeler la série entière du sinus.

b) Développer {\varphi(x)=\int_0^x\sin(t^2)\,dt} en série entière.

c) Programmer la somme partielle d’indice {80}, tracer sur {[0,6]} et conjecturer une limite en {+\infty}.

d) Montrer la convergence de {\int_0^\infty\sin(t^2)\,dt}.

e) Étudier domaine et continuité de {F(t)=\int_0^\infty e^{-(u^2+i)t^2}/(u^2+i)\,du}.

f) Donner sa limite en {+\infty}.

g) Étudier sa dérivabilité et calculer sa dérivée.

h) En admettant {\int_0^\infty e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi/2}, calculer l’intégrale de Fresnel précédente.

a) Déterminer son domaine.

b) Étudier sa continuité.

c) Étudier ses variations.

d) Donner un équivalent en {0}.

e) Donner sa limite en {+\infty}.

a) Donner son domaine.

b) Montrer qu’elle est {C^1} et étudier ses variations.

c) Relier {f(x+2)} et {f(x)}.

d) Pour {x>0}, poser {\varphi(x)=xf(x)f(x-1)}.

Montrer que {\varphi(x+1)=\varphi(x)} et donner un équivalent de {f} en {-1}.

a) Montrer qu’elle est définie sur {\mathbb{R}}.

b) Montrer sa stricte croissance.

c), d) c) Tracer, avec des axes de même échelle, {x}, {\ln(x+\sqrt{1+x^2})} sur {[-6,6]} et {\sinh x} sur {[-2{,}5,2{,}5]} ; conjecturer et prouver.

d) Comparer graphiquement {f(x)/f(1)} et {\varphi(x)/\varphi(1)} sur {[-1,1]}, où {\varphi=\ln(x+\sqrt{1+x^2})}.

e) Pour {a_n=\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}t\,dt}, comparer {a_{n+1}} et {(2n+1)(a_n-a_{n+1})}, puis calculer {a_n}.

f) Prouver la conjecture de d).

a) Montrer qu’elle est définie, bornée et continue.

b) Pour {\alpha>0}, {f_\alpha(t)=e^{-\alpha t^2}}, montrer que {f_\alpha\in E}, que sa transformée est {C^1}, puis la calculer, en utilisant {\int e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi} sur {\mathbb{R}}.

a) Déterminer le domaine de {g} et montrer qu’elle est {C^\infty}.

b) Montrer que {g''\geq0}.

a) Déterminer son domaine.

b), c) b) Étudier sa continuité.

c) Étudier ses variations.

d) Donner un équivalent en {0} et en {+\infty}.

a) Montrer que {F} est définie et continue sur {\mathbb{R}}.

b), c), d) b) Tester {H} et conjecturer sa convergence pour {x\ne0}.

c) Comparer graphiquement {(F(x+h)-F(x))/h} et {H(x)}, avec {h=0{,}1}.

d) Prouver b).

e) Établir une relation entre {F} et {G} pour {x\ne0}.

f) Montrer que {G} est {C^1} sur {\mathbb{R}^\star} et en déduire que {F} l’est.

g) Prouver la conjecture de c).

a) Donner son domaine.

b) Étudier sa continuité.

c) Étudier ses variations.

d) Donner un équivalent en {0}.

e) Calculer sa limite en {+\infty}.

a) Calculer {I_p=\int_0^\infty t^{2p}e^{-t^2}\,dt} pour {p\in\mathbb{N}}.

b) Montrer, pour {x\in\mathbb{R}}, {\int_0^\infty\cos(xt)e^{-t^2/2}\,dt =\sqrt{\frac\pi2}e^{-x^2/2}.}

Soit {\varphi(t)=\ln t/(t^2-1)} pour {t>0}, {t\ne1}. La prolonger continûment en un, puis montrer, pour {x>0}, {\int_0^x\varphi(t)dt=\int_0^\infty\frac{\arctan(x/t)}{1+t^2}dt.}

Soit {I(x)=\int_0^\infty\arctan(tx)/(1+t^2)dt}.

Montrer qu’elle est définie continue sur {\mathbb{R}}, de classe {C^1} sur {]0,\infty[}, et calculer {I'(x)}.

Pour {x>-1}, soit {f(x)=\int_1^\infty\frac{t-1}{\ln t}t^{-x-3}dt}.

Justifier sa définition, trouver sa limite à l’infini, montrer qu’elle est {C^1}, calculer sa dérivée puis {f(x)}.

Soit {f(x)=\int_0^\infty\sin t/(t+x)dt}.

Montrer qu’elle est définie sur {\mathbb{R}_+}, donner un équivalent à l’infini, puis montrer qu’elle est {C^2} sur {]0,\infty[} et résout {y''+y=1/x}.

Soit {I(x)=\int_0^\infty\sin t/(t^2+x)dt}.

Montrer qu’elle est définie et {C^\infty} sur {]0,\infty[}, puis donner ses limites en zéro et à l’infini.

Préciser le domaine de {f(x)=\int_0^\infty\sin^2(xt)t^{-2}e^{-t}dt} et donner ses équivalents en zéro et à l’infini.

1) Montrer que {f} est {C^\infty} sur {\mathbb{R}} et {g} sur {]0,\infty[} et chaque {]-k-1,-k[}.

2) Montrer que {\Gamma=f+g} pour {x>0}.

Qu’en déduire ?

3) Donner un équivalent de {\Gamma} en zéro.

Soit {f(x)=\int_0^\infty e^{-t^2-x^2/t^2}dt}.

Montrer qu’elle est définie continue sur {\mathbb{R}}, donner ses variations, puis étudier sa régularité {C^1} sur les demi-droites et sur {\mathbb{R}}.

Soit {f(x)=\int_0^\infty e^{-t}e^{itx}/\sqrt t\,dt}. La définir sur {\mathbb{R}} et l’exprimer avec des fonctions usuelles.

Pour {\alpha>0}, déterminer le signe de {I(\alpha)=\int_0^\infty e^{-\alpha t}\sin t/\sqrt t\,dt}.

Pour {0\leq x\leq1}, soit {f(x)=\int_0^{\pi/2}\arctan(\sin t/(x+\cos t))dt}, et {I=\int_0^1\ln(1+x)/x\,dx}.

Montrer {f(1)-f(0)=-3I/4}, puis {I=\sum\limits_{n\geq1}(-1)^{n-1}/n^2}, et en déduire {\sum\limits_{n\geq1}1/n^2=\pi^2/6}.

a) Montrer qu’elle est définie et {C^1} sur {\mathbb{R}}.

b) Calculer {f(0)} avec l’intégrale gaussienne.

c) Exprimer {f} à l’aide des fonctions usuelles.

a) Justifier la définition.

b) Montrer {f(x)=\int_{\mathbb{R}}e^{ixu}/(1+u^2)du} et donner sa limite en {0^+}.

c) Calculer le laplacien de {K(x,t)=x/(x^2+t^2)}.

d) Montrer que {f} est {C^2} et satisfait une équation linéaire d’ordre {2}.

e) Calculer {f}.

a) Donner le domaine.

b) Étudier la continuité.

c) Étudier le caractère {C^1} et calculer {f'}.

a) Montrer qu’elle est définie et l’exprimer avec {I(0)}.

b) Donner un équivalent en {\pm\infty} et un développement asymptotique à l’ordre {2}.

Étudier le domaine et la continuité de {f(x)=\int_0^\infty(1-\cos t)e^{-xt}/t^2dt}.

Montrer qu’elle est {C^2} sur {]0,\infty[} et la calculer.

a) Justifier la définition et donner la limite en {+\infty}.

b) Montrer {f\in C^1(\mathbb{R}_+^\star)} et la calculer.

c) Étudier {\int_0^\infty|\sin t|/t\,dt}.

a) Montrer que {\Phi(f)(t)=\widehat f(t)=\int_{\mathbb{R}}f(x)e^{-ixt}dx} est bien définie et continue de {E} vers {B}.

b) Pour {f_\alpha(x)=e^{-\alpha x^2}}, {\alpha>0}, montrer {\widehat f_\alpha\in C^1} et la calculer.

1) Montrer que {f} est définie sur {]0,2\pi[}, que {f(2\pi-x)=f(x)} et que {f(\pi-x/2)+f(x/2)=f(x)/2}.

2) Montrer que {f} est {C^1} sur {]0,2\pi[} et calculer {f'(x)} pour {x\in]0,\pi]}.

3) On donne {\sum\limits_{n\geq1}(-1)^{n-1}/n^2=\pi^2/12}.

Calculer {\int_0^1\ln(1+t)/t\,dt}.

4) En déduire {f(x)} sur {]0,2\pi[}.

1) Étudier ses variations et la calculer.

2) Pour {x>0}, soit {\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,dt}.

Justifier son existence et donner un équivalent de {\Gamma(x+1)} lorsque {x\to+\infty}. Indication : poser {u=(t-x)/\sqrt x}.

1) Montrer que {f} est définie et continue sur {[0,+\infty[}, et de classe {C^2} sur {]0,+\infty[}.

2) Étudier la convergence et calculer {\int_0^{+\infty}\sin t/t\,dt}.

On donne {\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-u^2}\,du=\sqrt\pi}. Pour {x\in\mathbb{R}}, soit {f(x)=\int_0^{+\infty}e^{ixt}e^{-t}/\sqrt t\,dt}.

Donner une expression simple de {f(x)}.

1) Montrer que {f} est bien définie, continue, et déterminer sa limite en {+\infty}.

2) Déterminer {(a_0,\ldots,a_n)} tel que {f(x)=\sum\limits_{k=0}^na_k/x^k+o(x^{-n})} lorsque {x\to+\infty}.

1) Montrer que {F} est définie et continue sur {\mathbb{R}_+}.

2) Déterminer une équation différentielle linéaire satisfaite par {F} sur {]0,+\infty[}. On admet {\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi/2}.

1) Montrer {\partial_tU=\partial_x^2U}.

2) Montrer que, pour tout {x}, {U(x,t)\to f(x)} lorsque {t\to0^+}.