1) Si {A} est nilpotente, montrer {\ker\tau_A\subset\ker\phi_A}.

2) Si {A=AB-BA}, calculer {P(A)B-BP(A)} et montrer {A} nilpotente.

3) Prouver la réciproque.

Montrer qu’une matrice complexe est nilpotente si et seulement si son spectre est réduit à {\left\{0\right\}}. Pour {A,B\in M_n(\mathbb{R})}, poser {C=[A,B]} et supposer {[A,C]=0}.

Montrer que {\operatorname{tr}(C^k)=0} pour {k\geq1}, puis que {C} est nilpotente, et établir {[B,A^p]=-pA^{p-1}C}.

Un endomorphisme est semi-simple si tout sous-espace stable admet un supplémentaire stable.

Montrer que sur {\mathbb{C}} cela équivaut à être diagonalisable, et que sur {\mathbb{R}} cela équivaut à avoir un polynôme minimal sans facteur carré non constant.

Sur {M_n(\mathbb{C})}, poser {\Phi_A(M)=AM}, {\Psi_B(M)=MB}.

Déterminer leurs polynômes minimaux et leur diagonalisabilité.

Si {A,B} sont diagonalisables, construire une base commune propre formée de matrices de rang un.

1) Montrer que {P(A)} est nilpotente.

2) Montrer que {P'(A)} est inversible et que son inverse est dans {\mathbb{C}[A]}.

3) Si {N} est nilpotente, montrer {I-N} inversible ; si {U} est inversible et commute avec {N}, montrer {U-N} inversible.

4) Établir {P(R+S)=P(R)+SP'(R)+S^2G} pour un polynôme {G}.

5) Montrer que {A_0=A}, {A_{k+1}=A_k-P(A_k)P'(A_k)^{-1}} est bien définie.

1) Montrer que {f(g)} est diagonalisable.

2) Montrer {c(g^{-1})=\overline{c(g)}} et {|c(g)|\leq n}.

3) Montrer que {\ker(M-I)} est l’espace des vecteurs fixes de {G}.

4) Montrer {\operatorname{tr}M\in\mathbb{N}}.

1) Justifier cette définition.

2) Avec Python, comparer {A=\left(\begin{smallmatrix}1&2\\[4pt]1&1 \end{smallmatrix}\right)} et {\sin A}, et résoudre graphiquement {\sin x=x}, {\sin(\sin x)=x} ; prouver les résultats.

3) Si {A\in M_2(\mathbb{R})} est semblable à {\sin A} et de polynôme caractéristique scindé, a-t-on {A=\sin A} ?

Même question en dimensions {4} et {8}.

4) Définir {\cos A} et trouver en dimension {2} un exemple scindé semblable à {\cos A} mais différent de {\cos A}.

Soit {\Gamma\subset GL_n(\mathbb{C})} non vide, compacte et stable par multiplication, et {A\in\Gamma}.

Montrer que ses valeurs propres sont de module {1}, puis que {\ker(A-\lambda I)=\ker(A-\lambda I)^2} pour chaque valeur propre.

Établir la décomposition en espaces caractéristiques et conclure que {A} est diagonalisable.

Munir {M_n(\mathbb{R})} de {\langle U,V\rangle=\operatorname{tr}(U^TV)}.

Pour {T_A(M)=AM-MA}, montrer {(\operatorname{Im}T_A)^\perp=\left\{M:MA^T=A^TM\right\}}, puis {A} nilpotente si et seulement si {A\in\operatorname{Im}T_A}.

Soient {b_n\in\mathbb{R}}, {c_n>0} et {A_n} la matrice symétrique tridiagonale de diagonale {b_1,\ldots,b_n} et de diagonales adjacentes {c_1,\ldots,c_{n-1}}.

Calculer {\chi_{A_1},\chi_{A_2}}, puis une récurrence pour {\chi_{A_n}}.

Si {\lambda\in\operatorname{Sp}A_n}, montrer {\chi_{A_{n+1}}(\lambda)\chi_{A_{n-1}}(\lambda)\lt 0}.

Montrer la simplicité et l’entrelacement strict des spectres successifs.

1) Programmer les sommes partielles de {\exp M} et {\log M}.

Tester les matrices {\operatorname{diag}(\ln2,\ln3)}, {\left(\begin{smallmatrix}1&1/2\\[4pt]0&1\end{smallmatrix}\right)}, {\left(\begin{smallmatrix}1&-i\pi\\[4pt]i\pi&1\end{smallmatrix}\right)}, ainsi que {\exp(\log M)}.

2) Si {\lVert M-I\rVert\lt 1}, montrer que le logarithme existe et que {\exp(\log M)=M}, d’abord si {M} est diagonalisable.

3) Prouver la densité des matrices diagonalisables complexes et étendre l’identité.

4) Montrer {(I+A/k)^k\to e^A}.

Sur {E=C([0,1],\mathbb{R})} muni de la norme {L^2}, poser {K(s,t)=(1-s)t} si {t\leq s}, et {K(s,t)=(1-t)s} sinon, puis {Tf(s)=\int_0^1K(s,t)f(t)dt}.

Montrer que {T} est un endomorphisme, que {\lVert Tf\rVert_2\leq\lVert f\rVert_2/\sqrt3} et qu’il est injectif.

Déterminer ses valeurs propres et espaces propres.

1) Montrer que {\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)}.

2) Trouver les endomorphismes {h} tels que {f(F(A),B)=f(A,h(B))}.

3) Pour {n=2}, soit {h\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+c&b+d-a-c\\[4pt]c&d-c\end{pmatrix}.}Déterminer les endomorphismes {k} tels que {f(h(A),B)=f(A,k(B))}, puis préciser lesquels sont trigonalisables ou diagonalisables.

1) Définir le polynôme minimal {\pi_A} et caractériser la diagonalisabilité.

2) Calculer {\det A} et {A^2}.

3) Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {\ker A=\ker A^2}.

Donner une condition sur les {a_i}.

1) Montrer que toute matrice complexe est trigonalisable.

2) Pour {D=\operatorname{diag}(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)}, trouver {f\in\mathbb{C}[X]} avec {f(\alpha_i)^2=\alpha_i} ; en déduire {f(D)^2=D}.

3) On définit {c_0=1}, {c_{k+1}=\sum\limits_{i=0}^kc_ic_{k-i}} et {\varphi=\sum\limits_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}}.

Déterminer le reste de {\varphi^2} modulo {X^n}.

4) Trouver {g} tel que {g(N)^2=I+N} pour toute matrice nilpotente {N} d’ordre {n}.

5) Si {A} est inversible, montrer qu’il existe {R\in\mathbb{C}[A]} avec {R^2=A}.

1) Montrer que {E=\bigoplus_iE_i}.

2) Montrer que {gf=fg} équivaut à {g(E_i)\subset E_i} pour tout {i}.

En déduire la dimension du commutant de {f}.

3) Pour {A\in M_n(\mathbb{C})} quelconque, montrer que la dimension du commutant est au moins {n}.

1) Montrer que {f_A} est définie dans un voisinage épointé de zéro.

2) Étudier sa limite en zéro si {A} est inversible, puis nilpotente.

3) Pour {u\in\mathcal L(\mathbb{R}^n)}, montrer qu’il existe {p\geq1} tel que {\operatorname{Im}u^p\oplus\ker u^p=\mathbb{R}^n}.

En déduire une décomposition stable avec une restriction inversible et l’autre nilpotente.

4) Caractériser les {A} pour lesquelles {f_A} a une limite en zéro.

Soient {E} complexe de dimension finie et {u\in\mathcal L(E)}.

Montrer qu’il existe {r>0} tel que, pour {|t|\lt r}, {\det(I-tu)=\exp\left(-\sum_{k\geq1}\frac{t^k\operatorname{tr}(u^k)}k\right).}

a) Exprimer les coefficients de {X^{n-1},X^{n-2}} de {\chi_u} avec {\operatorname{tr}u}, {\operatorname{tr}(u^2)}.

b) Si {u} a rang {2}, montrer {\chi_u=X^{n-2}P}, préciser {P}, et donner une condition pour que {u} soit trigonalisable.

a) Montrer que les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique.

b) Pour {p,q\in\mathbb{Q}} distincts, trouver {a,b,c\in\mathbb{Z}} premiers entre eux dans leur ensemble, avec {p=a/c}, {q=b/c}.

c) Existe-t-il des entiers {x,y,z} premiers entre eux dans leur ensemble tels que {x^2+y^2=3z^2} ?

d) Existe-t-il une matrice symétrique de {M_2(\mathbb{Q})} dont {\sqrt2} est valeur propre ?

a) i) Rappeler :

les polynômes minimal {\pi_A} et caractéristique {\chi_A} ;

a) ii) Rappeler :

un critère de trigonalisation portant sur {\pi_A} ;

a) iii) Rappeler :

la définition et la dimension d’un sous-espace caractéristique.

b) i) Pour {k\ge1}, {A} réelle :

si {\chi_A} est scindé, montrer que {\chi_{A^k}} l’est ;

b) ii) Pour {k\ge1}, {A} réelle :

donner un contre-exemple à la réciproque ;

b) iii) Pour {k\ge1}, {A} réelle :

si {\chi_{A^2}} est scindé à racines réelles positives ou nulles, montrer que {\chi_A} est scindé réel.

c) Pour {A} complexe, si pour tout {X} il existe {p\ge1} tel que {A^pX=X}, montrer que {A} est diagonalisable.

a) Décomposer {P'/P} en éléments simples, puis montrer {\chi_A'(x)/\chi_A(x)=\operatorname{tr}((xI-A)^{-1})} hors du spectre.

b) Poser {B_j=\sum\limits_{i=0}^ja_iA^{j-i}} et {Q(x)=\sum\limits_{j=1}^nx^{n-j}B_{j-1}}.

Montrer {Q(x)(xI-A)=\chi_A(x)I} et {\operatorname{tr}Q(x)=\chi_A'(x)}.

c) Pour {S_k=\sum\limits_{j=1}^n\lambda_j^k}, montrer {\sum\limits_{i=0}^ja_iS_{j-i}=(n-j)a_j} pour {0\le j\lt n}.

a) Énoncer Cayley-Hamilton et le prouver pour une matrice diagonalisable. Soient {A,B\in M_n(\mathbb{C})} de spectres disjoints.

b) Montrer que {\chi_A(B),\chi_B(A)} sont inversibles, et que pour tout {C} il existe une unique {D} telle que {AD-DB=C}.

c) Montrer que {\begin{pmatrix}A&C\\[4pt]0&B\end{pmatrix}} est semblable à {\operatorname{diag}(A,B)} et donner un critère de diagonalisation.

a) Calculer trace et déterminant de {\Phi_A}.

b) Exprimer {P(\Phi_A)} et {P(\Psi_A)} pour {P\in\mathbb{R}[X]}.

c) Si {A} est diagonalisable, que dire de ces endomorphismes ?

a) Définir morphisme de groupes et ordre d’un élément. Une représentation de degré {n} est un morphisme {f:\mathfrak S_3\to GL_n(\mathbb{C})}.

b) Montrer que chaque {f(\sigma)} est diagonalisable et que la représentation est déterminée par les images de {(1\ 2)} et {(1\ 2\ 3)}.

c) Donner les représentations de degré {1}.

d) Donner un exemple de degré {3}.

a) Montrer que {1} est valeur propre et que toute valeur propre complexe a module au plus {1}.

b) Si chaque coefficient diagonal est strictement positif, montrer que {1} est la seule valeur propre de module {1}.

c) Montrer {\ker(M-I)^2=\ker(M-I)}.

a) Définir l’exponentielle matricielle et montrer {\exp(P^{-1}AP)=P^{-1}\exp(A)P}.

b) Si {B} est complexe, inversible et diagonalisable, trouver {A} tel que {B=\exp A}.

c) Montrer qu’on peut prendre {A=P(B)} pour un polynôme {P}.

d) Si {M=I+N} avec {N} nilpotente, montrer également {M=\exp(P(M))} pour un polynôme {P}.

a) Justifier la définition de l’exponentielle matricielle.

b) Calculer {\exp\begin{pmatrix}0&t\\[4pt]-t&0\end{pmatrix}} pour {t\in\mathbb{R}}.

c) Pour {A} diagonalisable, calculer {e^A} par changement de base et montrer {e^A\in\mathbb{K}[A]}.

d) Si {A=D+N} est sa décomposition de Jordan-Dunford, montrer que celle de {e^A} est {e^D+e^D(e^N-I)}.

a) Montrer l’orthogonalité des espaces propres d’une matrice symétrique.

b) Montrer que {A} est diagonalisable à valeurs propres réelles.

c) Montrer {\operatorname{Sp}A\subset[0,4]}.

d) Lister ses valeurs propres.

a) Pour {M} symétrique réelle, montrer que {M} est positive si et seulement si son spectre est positif ou nul.

b) Si {M} est symétrique à coefficients positifs ou nuls, toutes ses valeurs propres peuvent-elles être strictement négatives ? Peut-elle avoir une unique valeur propre strictement positive ?

c) Soient {X_i} une base propre orthonormée de {A}, de valeurs {\lambda_1\le\cdots\le\lambda_n}.

Pour {B(\alpha)=\begin{pmatrix}A&\alpha X_n\\[4pt]\alpha X_n^{\mathsf T}&0\end{pmatrix}}, montrer que {\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1}} restent valeurs propres et donner les deux restantes.

1) Définir la signature et calculer celle de {\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\[4pt]2&5&8&3&6&1&7&4\end{pmatrix}}.

2) Pour {\sigma\in\mathfrak S_n}, soient {\varepsilon(\sigma)} sa signature et {\nu(\sigma)} son nombre de points fixes.

(i) Calculer sous forme factorisée le polynôme caractéristique de la matrice {A} de diagonale nulle et de coefficients hors diagonale égaux à {-1}.

(ii) En déduire {\sum\limits_{\sigma\in\mathfrak S_n}\varepsilon(\sigma)/(1+\nu(\sigma))}.

1) (i) Pour un groupe fini {G}, que vaut {x^{|G|}} ? Le démontrer si {G} est abélien.

(ii) Pour {\sigma\in\mathfrak S_n}, soit {f_\sigma(e_i)=e_{\sigma(i)}}.

Montrer que {\sigma\mapsto f_\sigma} est un morphisme vers {GL(E)}.

2) Montrer que {f_\sigma} est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.

3) Déterminer les sous-espaces stables par tous les {f_\sigma}.

1) Montrer qu’une famille finie de matrices complexes diagonalisables commutant deux à deux possède une base propre commune.

2) Montrer que {GL_n(\mathbb{C})} et {GL_p(\mathbb{C})} ne sont pas isomorphes si {n\ne p}.

1) Montrer que {M} commute avec tout polynôme en {M}.

2) Pour {P=\prod\limits_{j=1}^r(X-\lambda_j)}, montrer que {P'(M)} est inversible.

3) Pour deux matrices qui commutent, montrer l’existence d’un vecteur propre commun puis d’une trigonalisation simultanée.

4) Étudier la définition et la convergence de {M_0=M}, {M_{k+1}=M_k-P(M_k)P'(M_k)^{-1}}.

1) Montrer qu’une matrice est diagonalisable sur {\mathbb{K}} si et seulement si elle possède un polynôme annulateur scindé à racines simples.

2) Si {A,B\in M_n(\mathbb{C})} sont diagonalisables et commutent, montrer que {A+\lambda B} est diagonalisable pour tout {\lambda\in\mathbb{C}}.

3) Pour {n\geq3}, donner des matrices réelles non commutantes dont {A+\lambda B} est diagonalisable pour tout réel {\lambda}.

4) Pour {A,B\in M_2(\mathbb{C})} diagonalisables, si {A+\lambda B} est diagonalisable pour tout complexe {\lambda}, montrer qu’elles commutent.

1) Rappeler la division euclidienne et montrer que {\Phi} est un endomorphisme.

2) Donner sa matrice canonique, ses éléments propres et discuter sa diagonalisabilité.

1) Montrer que ses valeurs propres sont les racines de {\chi_u}.

2) Exprimer les coefficients de {X^{n-1},X^{n-2}} avec {\operatorname{tr}u}, {\operatorname{tr}u^2}.

3) Si {\operatorname{rg}u=2}, donner une condition nécessaire et suffisante sur ces deux traces pour que {u} soit diagonalisable.

1) Justifier sa définition et rappeler le lien entre valeurs propres et {\chi_A}.

2) Pour {P_A(X)=X^n\chi_A(1/X)}, décomposer {P_A'/P_A} en éléments simples.

3) Si {\rho(A)\leq1} et {1\notin\operatorname{Sp}A}, montrer la convergence et l’égalité {\sum_{k\geq1}\frac{\operatorname{tr}(A^k)}k =-\int_0^1\frac{P_A'(t)}{P_A(t)}dt.}

1) Énoncer et prouver le critère d’injectivité d’une application linéaire.

2) Pour {T_n(f)(x)=\int_0^1K_n(xt)f(t)dt} : (i) montrer que {T_n} est un endomorphisme ;

(ii) montrer que zéro est valeur propre ;

(iii) comparer ses valeurs propres à celles de {H_n}.

1) Démontrer Cauchy-Schwarz.

2) {N} est-elle une norme ?

3) Montrer que toute valeur propre {\lambda} vérifie {|\lambda|\leq nN(A)}.

1) Montrer {N(AB)\leq N(A)N(B)}.

2) Pour {k\in\mathbb{N}}, différencier {R_k(A)=A^k}.

3) Montrer la dérivabilité de {t\mapsto\chi_{tA}\in\mathbb{R}_d[X]} et calculer sa dérivée.

4) Montrer la dérivabilité de {t\mapsto\chi_{tA}(B)} et calculer sa dérivée.

1) Exprimer {A} comme polynôme en {J}.

2) Montrer que {J} est diagonalisable sur {\mathbb{C}}.

Quand {V} est-il un vecteur propre de {J}?

3) Diagonaliser {A} et donner son déterminant.

1) Montrer que {\Phi(AB)=\Phi(BA)}.

2) En déduire que {\Phi(M)=\alpha\operatorname{tr}M} pour un {\alpha\in\mathbb{C}}.

3) Montrer que {n} divise {p}.

4) Montrer que {f(A)} est diagonalisable si {A} l’est.

5) Pour {n=p=2}, montrer que {f} est bijective.

1) Montrer que {\mathcal A} est un espace vectoriel réel et donner sa dimension.

2) Est-ce un espace vectoriel complexe?

3) Caractériser {\mathcal A\cap G}.

4) Une matrice de {G} est-elle diagonalisable?

1) Si {A,B\in M_n(\mathbb{C})} sont semblables et {P\in\mathbb{C}[X]}, montrer que {P(A)} et {P(B)} sont semblables.

2) Soit {B_k\to B}, où chaque {B_k} est semblable à une même matrice diagonalisable {A}.

Montrer que {B} est semblable à {A}.

3) Est-ce encore vrai si {A} n’est pas diagonalisable?

1) Si {A} est inversible, montrer que {A^{-1}} est entière si et seulement si {\det A=\pm1}.

2) Si {A^p=I} pour un entier {p\geq1}, montrer que {A^{-1}} est entière, et qu’il n’y a qu’un nombre fini de polynômes caractéristiques possibles.

1) Montrer que {A} a une valeur propre double {a>0} et une simple {b>0}.

Est-elle diagonalisable ?

2) Pour {f\in C^2(\mathbb{R}_+^\star,\mathbb{R})}, montrer l’existence et l’unicité de {P_f\in\mathbb{R}_2[X]} tel que {P_f(a)=f(a)}, {P_f(b)=f(b)}, {P_f'(a)=f'(a)}.

3) On pose {f(A)=P_f(A)}.

Calculer cette matrice pour {f(x)=x^2}, puis {x^3}.

4) Pour {f(x)=1/x}, calculer {Af(A)}.

Sur l’espace {E} des fonctions polynomiales, on pose {L(P)(x)=e^{-x}\int_{-\infty}^xP(t)e^t\,dt}.

Montrer que {L} est un endomorphisme de {E}, puis déterminer ses éléments propres.

Soit {A\in M_3(\mathbb{R})} antisymétrique non nulle.

Montrer que zéro est sa seule valeur propre réelle et qu’il existe {P\in O_3(\mathbb{R})}, {\alpha\in\mathbb{R}} tels que {A=P\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&-\alpha\\[4pt]0&\alpha&0\end{pmatrix}P^T.}

1) Pour {n\geq2}, les matrices nilpotentes forment-elles un sous-espace ?

2) Montrer que {M} est nilpotente si et seulement si {M^n=0}.

3) Déterminer les matrices symétriques nilpotentes.

4) Si {A} est singulière et {N} nilpotente avec {AN=NA}, montrer que {A+N} est singulière.

a) Si {|z_1+z_2+z_3|=|z_1|+|z_2|+|z_3|}, montrer qu’il existe {|u|=1} et {\alpha_i\ge0} tels que {z_i=\alpha_i u}.

b) Donner les valeurs propres de {J=\begin{pmatrix}0&1&0\\[4pt]0&0&1\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix}}.

c) Déterminer la limite éventuelle des puissances de {M=\begin{pmatrix}a&b&c\\[4pt]c&a&b\\[4pt]b&c&a\end{pmatrix}}.

a) donner valeurs propres et déterminant ;

b) déterminer noyau et image ;

c) étudier la diagonalisation.

a) Déterminer ses puissances.

b) Déterminer ses éléments propres.

a) Soit {u} complexe possédant exactement deux valeurs propres distinctes {\lambda_1,\lambda_2}.

Montrer qu’il est diagonalisable si et seulement s’il existe des projecteurs {p_1,p_2} tels que {u=\lambda_1p_1+\lambda_2p_2}, {p_1+p_2=I}.

b) Pour {a,b\in\mathbb{C}^\star}, montrer que la matrice de diagonale {a+b} et de coefficients hors diagonale {a} est diagonalisable.

a) Montrer que c’est un endomorphisme et donner sa matrice canonique.

b) Étudier sa diagonalisation, ses valeurs et espaces propres.

c) Est-il inversible ?

Donner son inverse.

b) Donner sa matrice {A}.

c) Résoudre {AB-BA=B} dans {M_2(\mathbb{R})}.

Plus généralement, poser {\psi_f(g)=fg-gf} sur {\mathcal L(E)}, en dimension finie, et supposer {\psi_f(g)=g}.

d) Montrer {\psi_f(g^k)=kg^k} pour {k\ge1}.

e) En déduire que {g} est nilpotent.

a) Exprimer {\Phi^2} avec {\Phi}.

b) Donner un critère de diagonalisation et les espaces propres.

a) Montrer que les valeurs propres de {A} sont racines de tout polynôme annulateur de {A}.

b) Montrer {P(A)U=UP(B)} pour tout polynôme {P}.

c) Montrer {\operatorname{Sp}A\cap\operatorname{Sp}B\ne\varnothing}.

a) Montrer qu’elle est diagonalisable, à valeurs propres de module {1}, et {|\operatorname{tr}M|\le2}.

b) Si ses valeurs propres sont réelles, donner les ordres possibles.

c) Sinon montrer qu’elle est annulée par {X^2+1}, {X^2-X+1} ou {X^2+X+1}, et donner les ordres possibles.

a) Calculer {R(U),R(V)} pour un polynôme {R}.

b) Si {U,V} sont semblables et {A} diagonalisable, montrer qu’il existe un polynôme scindé simple {P} avec {AP'(A)=0}, puis {A=0}.

c) Sans diagonalisation, montrer que la similitude impose {A} nilpotente.

Étudier la réciproque pour {n=1}, puis {n=2}.

a) Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {f_A} l’est.

b) Pour deux bases {(X_i),(Y_j)} de {\mathbb{C}^n}, montrer que les {X_iY_j^{\mathsf T}} forment une base de {M_n(\mathbb{C})}.

c) Si {A} est diagonalisable, construire une base propre de {f_A}.

a) Si {M^2} est diagonalisable et {M} inversible, montrer que {M} est diagonalisable. Supposer plus généralement {q(M)} diagonalisable et {q'(M)} inversible.

b) Trouver un polynôme {p} scindé simple avec {(p\circ q)(M)=0}.

c) En considérant les facteurs {q(X)-\beta_j}, montrer que chaque valeur propre de {M} est racine simple de {p\circ q}, puis conclure.

a) Si {f} est diagonalisable, montrer que {f^2} l’est.

b) Montrer alors {\ker f=\ker f^2}.

c) Pour {\lambda\ne0} et {\mu^2=\lambda}, montrer {\ker(f^2-\lambda I)=\ker(f-\mu I)\oplus\ker(f+\mu I)}.

d) Si {f^2} est diagonalisable inversible, montrer que {f} l’est aussi.

e) Si {f^2} est diagonalisable, montrer que {f} l’est exactement lorsque {\ker f=\ker f^2}.

a) Montrer la linéarité et le caractère autoadjoint.

b) Pour quelles valeurs de {\lambda} est-ce une isométrie ?

Identifier alors cet endomorphisme.

c) Donner les éléments propres et étudier la diagonalisation.

a) Montrer que c’est un endomorphisme.

b) Étudier injectivité et surjectivité.

c) Déterminer ses éléments propres.

1) Montrer qu’une nilpotente d’indice {n} dans {M_n(\mathbb{R})} est semblable à {J_n}.

2) Montrer que tout indice est au plus {n}.

3) Pour {M^2=0}, {M\ne0}, de rang {r}, montrer la similitude à {\operatorname{diag}(J_2,\ldots,J_2,0_{n-r})}.

1) Montrer qu’une matrice complexe est nilpotente exactement si son polynôme caractéristique est {X^n}.

2) Si {A} est semblable à {2A}, montrer qu’elle est nilpotente et préciser {\chi_A}.

3) Montrer que {\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}} est semblable à son double.

4) Généraliser à {A^{n-1}\ne0}, {A^n=0}.

1) Montrer que {\operatorname{Sp}u=\left\{0\right\}}.

2) Pour {v=\sum\limits_{k=0}^{p-1}u^k}, montrer son inversibilité et donner l’inverse.

3) Montrer {\ker(v-I)=\ker u}.

4) Donner le spectre de {v}.

1) Rappeler Taylor pour un polynôme en un point {a} et le démontrer en zéro.

2) Montrer que pour chaque {P\in E} il existe un unique {Q\in E} tel que {(x-1)Q(x)=\int_1^xP(t)dt}.

3) Montrer que l’application {f:P\mapsto Q} est un endomorphisme diagonalisable.

1) Donner un exemple non nul diagonalisable en dimension trois.

2) Montrer en général que {f} est diagonalisable.

3) Montrer que {u,v} sont des projecteurs commutants.

1) Donner sa matrice dans {(E_{11},E_{22},E_{12}+E_{21})}.

2) Montrer {\chi_\Phi(X)=4(X-a-d)\chi_A(X/2)}.

3) Si {\Phi} est diagonalisable, {A} l’est-elle ?

4) Si {A} est diagonalisable, {\Phi} l’est-elle ?

1) Pour {M\in S_n(\mathbb{R})}, montrer que toute valeur propre complexe est réelle, en considérant {\overline Z^TMZ}.

2) Soit {A} dont la dernière ligne et colonne sont {(1,2,\ldots,n)}, les autres coefficients étant nuls.

(i) Calculer {\operatorname{tr}A,\operatorname{tr}A^2}.

(ii) Donner ses valeurs propres et vecteurs propres.

a) Calculer {D_1,D_2,D_3}.

b) Donner une récurrence linéaire d’ordre {2}.

c) Programmer D1(n,a,b).

d) Pour {b} réel, donner le degré en {a}.

e), f), g), h) e) Tracer pour {3\leq n\leq5}, {1\leq b\leq n} sur {[-2\sqrt b,2b\sqrt b]}.

Conjecturer les zéros.

f) En déduire une conjecture de réduction de {A_n(b)}.

g) Pour {T_0=1}, {T_1=X}, {T_{n+2}=2XT_{n+1}-T_n}, calculer {T_n(\cos\theta)}.

h) Donner les racines de {T_n}.

i) Donner les zéros de {D_n} pour {b} complexe.

a) Déterminer le polynôme caractéristique d’une matrice de rang {1}.

b) Pour {A\in GL_n(\mathbb{R})} et {X\in M_{n,1}(\mathbb{R})}, montrer {\det(A+XX^T)=(1+X^TA^{-1}X)\det A}.

Pour {n\geq2}, déterminer le rang et le polynôme caractéristique de {A=(\sin(i+j))_{1\leq i,j\leq n}}.

a) Calculer son polynôme caractéristique.

b) Étudier sa diagonalisabilité.

a) Montrer que {P_{n+1}=(X-n)P_n-\prod\limits_{k=0}^{n-1}(X-k)}.

b) Montrer que {(-1)^{n+k}P_n(k)>0} pour {0\leq k\lt n}.

c) Montrer que {H_n} possède {n} valeurs propres réelles distinctes ; conclure.

a) Si {1} est sa seule valeur propre, montrer que {\operatorname{tr}(A^k)=n} pour {1\leq k\leq n}.

b) Établir la réciproque.

a) Montrer que {f,u} sont diagonalisables dans une même base.

b) Si {g} commute avec {f}, est-il diagonalisable ?

a) Montrer que {g\in C_f} exactement si chaque espace propre de {f} est stable par {g}.

b) Montrer que {\dim C_f=\sum\limits_\lambda m_\lambda^2}, où {m_\lambda} est la multiplicité de {\lambda}.

c) Si le spectre est simple, montrer que {(\operatorname{id},f,\ldots,f^{n-1})} est une base de {C_f}.

a) Calculer son déterminant.

b) Montrer sa diagonalisabilité et calculer ses valeurs propres.

c) Montrer que toutes les {M(x)} sont simultanément diagonalisables.

d) Donner un plan vectoriel de matrices simultanément diagonalisables.

a) Existe-t-il des matrices de rang {1} diagonalisables ? non diagonalisables ?

b) Donner une condition nécessaire et suffisante sur leur trace.

c) Pour {A\in M_n(\mathbb{K})} de rang {1}, démontrer de deux manières que {A^2=\operatorname{tr}(A)A}, puis calculer son polynôme caractéristique.

a) Montrer que {A} est diagonalisable sur {\mathbb{C}}, mais pas sur {\mathbb{R}}.

b) Montrer qu’elle est semblable à {\begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&2\cos(2k\pi/p)\end{pmatrix}}, pour un {1\leq k\lt p} premier avec {p}.

a) Déterminer son noyau.

b) Est-elle surjective ?

c) Déterminer ses valeurs propres et ses vecteurs propres.

a) Montrer que c’est un endomorphisme et donner sa matrice {A_n}.

b) Montrer sa diagonalisabilité.

c), d), e), f) c) Programmer A(n), VP(n), puis observer les résultats pour {0\leq n\leq4}.

d) Montrer l’existence d’un unique polynôme propre unitaire {P_n} de degré {n}.

e) Programmer le calcul des premiers {P_n}.

f) Exprimer ses coefficients.

a) Montrer que {1} est valeur propre.

b) Montrer que toute valeur propre a un module inférieur à {1}.

c) Montrer que {1} est la seule valeur propre de module {1}.

a) Calculer son déterminant.

b) Montrer qu’elle est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.

a) Montrer que chaque élément est trigonalisable.

b) Déterminer {D_2}.

c) Si {A,D\in D_n}, montrer que {\begin{pmatrix}A&B\\[4pt]0&D\end{pmatrix}\in D_{2n}} pour tout {B}.

d) Si {A\in D_n} est antisymétrique, montrer que {A^n=0}, puis {A^2=0} et {A=0}.

e) Donner la dimension maximale d’un sous-espace inclus dans {D_n}.

a) Calculer {\Phi_n(1)} et montrer que, pour {1\leq i\leq n}, {\Phi_n(X^i)=(n-i)^2X^{i+1}+2i(n-i)X^i+i^2X^{i-1}}.

b) Montrer que {\Phi_n} est un endomorphisme de {\mathbb{R}_n[X]} et donner sa matrice canonique.

c), d) c) Programmer mat(n).

d) Afficher mat(2) et conjecturer ses valeurs propres.

a) Montrer que toute matrice triangulaire l’est.

b) Est-elle nécessairement diagonale ? triangulaire supérieure ?

c) Déterminer celles d’ordre {2}.

d) Programmer un test d’ordre {3}, au seuil {10^{-5}}.

e) Pour {A} symétrique, exprimer {\operatorname{tr}(A^TA)} de deux façons et montrer que la propriété équivaut à être diagonale.

f) Déterminer les matrices antisymétriques à diagonale propre.

a) Montrer que {A} est limite de matrices diagonalisables.

b) En déduire {\chi_A(A)=0}.

a) Donner une base de {A_3(\mathbb{R})}.

b) Montrer que {0} est valeur propre.

c), d), e) c) Programmer une matrice antisymétrique aléatoire.

Pour {X'=AX}, {X(0)=(1,2,3)^T} :

d) Résoudre numériquement.

e) Tracer l’arc et conjecturer sa forme.

f) Donner le coefficient de {X} dans {\chi_A}.

g) Construire une base orthonormée donnant {A=P\operatorname{diag}(0,\begin{pmatrix}0&\alpha\\[4pt]-\alpha&0\end{pmatrix})P^T}.

h) Prouver la conjecture géométrique.

a) Montrer que c’est un endomorphisme de {\mathbb{R}_n[X]}.

b), c), d) b) Programmer son action sur un polynôme.

c) Programmer ses valeurs propres.

d) Conjecturer leur expression.

e) Prouver la conjecture avec {X^k(X-1)^{n-k}} ; étudier la diagonalisabilité.

f) Dans une urne de {n} boules, effectuer des tirages uniformes avec remise.

Si {Y_k} compte les boules distinctes obtenues après {k} tirages, montrer que {\mathbb{P}(Y_{k+1}=i)=i\mathbb{P}(Y_k=i)/n +(n-i+1)\mathbb{P}(Y_k=i-1)/n}.

g) Pour {G_k(X)=\sum\limits_{i=0}^n\mathbb{P}(Y_k=i)X^i}, montrer que {G_{k+1}=\Phi_n(G_k)}.

Pour {\alpha\in\mathbb{K}} ({\mathbb{K}=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}), soit {f_\alpha(M)=M^T+\alpha M}.

Montrer que {f_0} est diagonalisable, déterminer les {\alpha} pour lesquels {f_\alpha} l’est, puis les {\alpha,B} pour lesquels {f_\alpha(M)=B} a une unique solution.

1) Montrer {\varphi(X^n)=X^n+R_n}, {\deg R_n\lt n}.

2) Montrer la stabilité de {\mathbb{R}_n[X]} et caractériser la diagonalisabilité de la restriction.

3) Montrer que {\varphi} est un automorphisme et déterminer ses valeurs propres.

Soit {A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{R})} avec {a_{ij}>0} et {\sum\limits_ja_{ij}=1} pour tout {i}.

Montrer que un est valeur propre, que toute valeur propre complexe a module au plus un, que celles de module un sont égales à un et que {E_1(A)} est une droite.

Soit {E=\left\{f\in C^0(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}):f(0)=0\right\}}. Posons {\varphi(f)(0)=0} et {\varphi(f)(x)=x^{-1}\int_0^xf(t)dt} pour {x>0}.

Montrer que {E} est un espace vectoriel et {\varphi} un endomorphisme.

Étudier son injectivité, sa surjectivité et ses éléments propres.

Soit {E=\left\{f\in C^1([0,1],\mathbb{R}):f(0)=0\right\}} et {\Phi(f)(x)=\int_0^xf(t)/t\,dt}.

Justifier que {\Phi\in\mathcal L(E)} et déterminer ses éléments propres.

a) Calculer {\Phi^2,\Phi^3}.

b) Montrer la diagonalisation.

c) Donner les valeurs propres et dimensions des espaces propres.

a) Montrer que c’est un endomorphisme.

b) Déterminer noyau et image.

c) Déterminer les éléments propres.

Soit {A} de sous-diagonale {-1}, de dernière colonne {(-a_0,\ldots,-a_{n-1})^{\mathsf T}}, et nulle ailleurs.

Poser {P=X^n+\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kX^k}.

Donner une condition nécessaire et suffisante de diagonalisation de {A}.

a) Montrer {g} diagonalisable.

b) Trouver {P\in\mathbb{K}_{n-1}[X]} avec {g=P(f)}.

c) Calculer la dimension du commutant de {f}.

a) {B=\begin{pmatrix}A&A\\[4pt]0&A\end{pmatrix}} est-elle diagonalisable ?

b) Montrer que {C=\begin{pmatrix}0&A\\[4pt]I&A\end{pmatrix}} est diagonalisable si et seulement si {A} l’est.

a) S’il existe {x} tel que {(x,ux,\ldots,u^{n-1}x)} soit une base, montrer que {u} est diagonalisable exactement lorsqu’il a {n} valeurs propres distinctes.

b) Montrer la réciproque : {n} valeurs propres distinctes donnent un tel vecteur {x}.

c) Si les seuls sous-espaces stables sont {0,E}, montrer que tout {x\ne0} a cette propriété.

a) Pour {u} autoadjoint positif, montrer {\langle x,ux\rangle=0\iff x\in\ker u}.

b) Pour {a,b} autoadjoints positifs :

i) construire {h\ge0} avec {h^2=b} ;

ii) montrer que {g=hah} est diagonalisable ;

iii) comparer valeurs propres et dimensions des espaces propres de {f=ab} et de {g}, puis conclure sur {f}.

a) Est-elle diagonalisable ?

b) Est-elle limite de matrices diagonalisables ?

c) Pour {P\in\mathbb{R}_n[X]}, montrer qu’il est scindé réel exactement s’il existe {c>0} avec {|P(z)|\ge c|\operatorname{Im}z|}.

d) Montrer qu’une limite de matrices diagonalisables réelles est trigonalisable réelle.

1) Montrer que {P_\sigma P_s=P_{\sigma\circ s}} et que {P_\sigma} est orthogonale.

2) Montrer qu’il existe {\ell\geq1} tel que {P_\sigma^\ell=I_n}.

Montrer que ses valeurs propres complexes sont de module un et que un est valeur propre.

3) À quelle condition est-elle diagonalisable sur {\mathbb{C}} ? Sur {\mathbb{R}} ?

1) Montrer que, si {A} est nilpotente, {f} l’est également.

2) Si {|\operatorname{Sp}(A)|=n}, montrer que {(I_n,A,\ldots,A^{n-1})} est une base de {\ker f}.

3) Montrer que, si {A} est diagonalisable, {A^T} l’est également.

Donner alors une base de vecteurs propres de {f}.

Soient {n\geq1} et {A\in M_n(\mathbb{K})} diagonalisable, ayant {p} valeurs propres distinctes.

Dénombrer les {P\in\mathbb{K}_{p-1}[X]} tels que {A} et {P(A)} soient semblables.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} diagonalisable.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {A^T=P(A)}.

1) Soient {u,v\in\mathcal L(\mathbb{C}^n)} non nuls tels que {u\circ v=0}.

Montrer que {\ker u\ne\left\{0\right\}} et qu’il est stable par {v}.

En déduire un vecteur propre commun.

2) Soient {A,B\in M_n(\mathbb{C})} tels que {AB=0}.

Montrer qu’ils sont trigonalisables dans une même base.

1) Montrer que {\chi_A(B)} est inversible.

2) Montrer que, pour tout {Y\in M_n(\mathbb{C})}, il existe {M} tel que {AM-MB=Y}.

3) Si les spectres ne sont plus disjoints, montrer qu’il existe {M\ne0} tel que {AM=MB}.

1) Montrer que tout endomorphisme d’un espace vectoriel réel de dimension finie {n\geq2} admet une droite ou un plan stable.

2) Montrer que toute matrice de {O_n(\mathbb{R})} est diagonalisable dans {\mathbb{C}}.

1) Pour {A\in C}, calculer {\operatorname{tr}(A^TA)}.

2) Déterminer {C\cap S_n(\mathbb{R})}.

3) Déterminer {C\cap A_n(\mathbb{R})}, où {A_n(\mathbb{R})} désigne les matrices antisymétriques.

1) Montrer que {\varphi} est un endomorphisme.

2) Est-elle injective ? Surjective ?

3) Déterminer ses valeurs propres et ses espaces propres.