Tracer sur {]0,10]} ; que se passe-t-il sur {[-10,10]} ?

Justifier l’unicité et programmer {a_n}, {u_n=\int_{a_n}^{a_{n+1}}\cos(P(t))dt}.

Tracer l’intégrande pour {x=1}.

Montrer {a_n\sim(3n\pi)^{1/3}}, déterminer un équivalent de {a_{n+1}-a_n}, étudier {u_n} et prouver l’existence de {A(-x)}.

Justifier {f}, sa continuité, sa classe {C^1} et ses variations.

Programmer {f} et trouver {m\in\left\{0,1,2,3,4\right\}} tel que {t^mf(t)} ait une limite finie non nulle.

Prouver la convergence de {I_n} et {I=\int_0^\infty f}, puis {f(t)\sim I_1/t^m}.

Montrer {|\int_0^af-\sum\limits I_n|\leq\zeta(2)/a} pour {a>0}.

Tracer {\sqrt n I_n} pour {100\leq n\leq200}.

Poser {f(t)=(1+t)e^{-t}}, {\phi(t)=-\ln(f(t))/t^2}.

Prolonger {\phi} en zéro, étudier sa limite en {-1} et prouver une minoration strictement positive sur {]-1,1[}.

Étudier {g_n(t)=f(t/\sqrt n)^n} et en déduire {I_n\sim\sqrt{2\pi/n}}. Pour {J_n=\int_1^\infty(1+t)^ne^{-nt}dt}, prouver {n!=e^{-n}n^{n+1}(I_n+J_n)}, {J_n=o(I_n)}, et retrouver Stirling.

Donner leurs conditions d’existence et programmer leur quotient pour {n=10,\ldots,29}.

Pour {\alpha>-1}, étudier {\prod\limits_{k=1}^n(1+t/k)}, {n!J_n}, prouver {t/k-t^2/(2k^2)\leq\ln(1+t/k)\leq t/k} sur {[0,1]}, puis déterminer des équivalents de {J_n} et {I_n}.

Montrer que {a_k=(-1)^{k-1}\frac1{(k-1)!}\binom{n-1}{k-1}}.

Montrer que {\int_1^\infty f(t)t^{-\alpha}dt} converge pour tout {\alpha>0}.

Justifier la convergence, montrer que {I_n\to0}, l’exprimer par une série et en donner un équivalent.

Montrer que {f} ne s’annule pas, n’a pas de limite en {+\infty} et n’est pas bornée.

Montrer que {I} est borné.

Expliciter {y}.

e) Tracer {3(a_n-n)} et conjecturer.

ii) Trouver un indice donnant une erreur au plus {10^{-3}}.

iii) Montrer que {\ln(\tanh x)} est intégrable sur {]0,+\infty[}.

ii) Calculer numériquement {\int_0^\infty x/\sinh(2x)\,dx} et en donner une expression exacte par intégration par parties.

Étudier l’existence et calculer {\int_0^\infty(f(ax)-f(bx))/x\,dx} pour {a,b>0}.

Étudier alors {I}.

e) Faire de même pour {f(t)=10\ln t}.

Poser {F(x)=\int_x^\infty f(t)\,dt}, {G(x)=F(\sqrt x)}.

Trouver un équivalent de {W_n=\int_0^{\pi/2}\cos^nt\,dt}. On pourra poser {x=\sqrt n t}.

Montrer que {g} est {C^1} et {\pi}-périodique, puis donner un développement asymptotique de {F} à l’infini par intégration par parties.

Montrer qu’elle est définie et {C^\infty} sur {]0,\infty[}, que {F(x)=\cos x/x^2+O(x^{-3})} à l’infini et {F(x)\sim-\ln x} en zéro.

Justifier la convergence et trouver sa limite ; relier {I_n,I_{n+1}} ; trouver {\alpha} tel que {\ln(n^\alpha I_n)} converge ; montrer la convergence de {\sum\limits I_n/n} et calculer sa somme.

Trouver {\ell=\lim I_n}, calculer {J} avec {\sum\limits_{n\geq1}1/n^2=\pi^2/6}, puis déterminer {\alpha,\beta} dans {I_n=\ell+\alpha/n+\beta/n^2+o(n^{-2})}.

Étudier la convergence des deux suites, puis la convergence et la somme de {\sum\limits(-1)^na_n}.

Justifier ces intégrales et donner un équivalent de {u_n}.

Calculer la seconde somme pour {a=1,b=3}.