Déterminer les limites de {\alpha_n+\beta_n} et de {\beta_n}.

Déterminer leurs images, calculer {\alpha_n,\beta_n} pour {n} pair et en déduire la limite de {\alpha_n}.

Montrer que les {O_p} partitionnent les matrices symétriques inversibles.

Pour l’unicité, étudier les dimensions des espaces où la forme est strictement positive ou négative.

Comparer {X^TAX} et {|X|^TA|X|}.

Si {X\in\ker A}, montrer {Y^TA|X|=0} pour tout {Y}, puis que toute coordonnée d’un vecteur non nul du noyau est non nulle.

En déduire {\dim\ker A\leq1}.

Montrer que {\max_{\lVert x\rVert=1}\langle Ax,x\rangle} est la plus grande valeur propre de sa partie symétrique.

Pour {A} définie positive et {B} symétrique, trouver {P} inversible et {\Delta} diagonale tels que {A=P^TP}, {B=P^T\Delta P}. Si {\left(\begin{smallmatrix}A_1&B^T\\[4pt]B&A_2\end{smallmatrix}\right)} est définie positive, comparer son déterminant à {\det A_1\det A_2}.

Montrer que ce sont exactement les endomorphismes symétriques de spectre dans {[-1,1]} dont les valeurs propres dans {]-1,1[} ont une multiplicité paire.

Si {B} est aussi définie positive et {\alpha,\beta\geq0}, {\alpha+\beta=1}, montrer {\det(\alpha A+\beta B)\geq\det(A)^\alpha\det(B)^\beta}.

Montrer que {u,v} sont les valeurs propres d’une matrice de {SP_2} si et seulement si {u+v\geq0}.

Pour {S\in SP_n}, montrer que sa plus grande valeur propre est {\max_{\lVert X\rVert=1}X^TSX}.

Établir les bornes {\lambda_1\leq\langle f(x),x\rangle\leq\lambda_n} pour {x} unitaire, avec les cas d’égalité.

Si sa matrice est strictement positive coefficient par coefficient, montrer que la valeur propre maximale possède un vecteur propre dont toutes les coordonnées ont même signe, qu’elle est simple, et que toute autre valeur propre {\lambda} satisfait {|\lambda|\lt |\lambda_n|}.

Rappeler le théorème spectral et calculer {m_\alpha(I)}.

Poser {f(M)=(I-M)(I+M)^{-1}}.

montrer la conservation du produit scalaire sur ce sous-espace ;

montrer que {u^\staru} est le projecteur orthogonal sur {(\ker u)^\perp}.

Montrer que {L} préserve les matrices symétriques positives.

Montrer, d’abord pour {A=I}, puis pour {A\in S_n^+}, que {\inf_{M\in S_\alpha}\operatorname{tr}(AM)=n(\alpha\det A)^{1/n}}.

(ii) Calculer {n_{\alpha,\beta}n_{\beta,\alpha}}.

(iii) Si {\alpha,\beta} sont non colinéaires et {n_{\alpha,\beta}>0}, montrer que l’un des deux entiers vaut un.

On munit {E} d’un ordre total compatible avec addition et multiplication par des réels positifs. Soit {R^+} l’ensemble des racines strictement positives, et {B} celles qui ne sont pas somme de deux éléments de {R^+}.

(ii) Montrer que {B} est une base de {E}.

(ii) Pour {f} autoadjoint positif, de matrice {M=(m_{ij})} en base orthonormée, montrer que {m_{ii}=0} impose la nullité de la ligne et colonne {i}. Indication : considérer {t\mapsto\langle f(e_j+te_i),e_j+te_i\rangle}.

(ii) montrer que {\ker f\cap\ker g\ne0}.

Montrer que les extrema du quotient {x^TAx/(x^Tx)} sur {S\setminus\left\{0\right\}}, ou de {x^TAx} sur sa sphère unité, valent {\mu_1,\mu_k}.

(ii) déterminer ses points extrémaux, c’est-à-dire ceux dont le retrait laisse {B} convexe.

(ii) Définir {S_n^+(\mathbb{R})} et caractériser ses éléments par le spectre.

(i) Justifier sa définition, sa continuité et sa dérivée en zéro ; donner deux expressions de cette dérivée.

(ii) Conclure sur le maximum.

Donner la symétrie orthogonale par rapport à {S_3(\mathbb{R})}.

Montrer que {1\in\operatorname{Sp}(S_A)\subset[-1,1]}.

Montrer que {W\in C} et {\mu\geq|\alpha|}.

Calculer {M=(\operatorname{Cov}(S_i,S_j))_{1\leq i,j\leq n}}.

Trouver {T} triangulaire supérieure telle que {A=T^TT}.

La matrice est-elle diagonalisable? Quel est son rang?

Montrer que le caractéristique de {p+q} est scindé réel.

(ii) En déduire {\Omega_1A\Omega_2=\operatorname{diag}(a,b)} avec {\Omega_i} orthogonales.

(iii) Si {A\in C}, montrer {a,b\in[-1,1]}.

d) Programmer {B(n)=P^{-1}AP} ; conjecturer le spectre et la nature des {X_j}.

c) Montrer que ses valeurs propres sont strictement positives.

i) Montrer que {a_{ij}^2\leq a_{ii}a_{jj}}.

ii) Montrer que {A=V(V^T)} pour un vecteur {V}.

Montrer {\lVert px\rVert\leq\lVert x\rVert} et traiter l’égalité ; montrer que {u} est autoadjoint positif, que son spectre est dans {[0,1]}, déterminer {\ker(u-I)} et montrer {u^kx\to\pi x}.

Montrer que, si {A} est nilpotente, {A=0}.

Montrer que la famille est libre si et seulement si {\det G>0}, que son rang est celui de {G}, et que {\operatorname{Sp}G\subset\mathbb{R}_+}.

Réciproquement, représenter toute {S\in S_p^+} de rang au plus {n} sous cette forme.

Montrer la stabilité par produit, que {\lVert X\rVert_A=\sqrt{X^TAX}} est une norme, et que, pour {S} symétrique, {S=0} équivaut à {X^TSX=0} pour tout {X}.

En déduire {M\in G_A\Longleftrightarrow\lVert MX\rVert_A=\lVert X\rVert_A} pour tout {X}.

Poser {f(x)=\ell(x)a-\ell(a)x}.

En déduire que {A,B} commutent.