Soit {L:E\to F} linéaire entre espaces euclidiens.

Montrer que {M=L|_{(\ker L)^\perp}} est un isomorphisme sur {\operatorname{Im}L}. Si {\Pi} est la projection orthogonale sur {\operatorname{Im}L}, poser {L^+=M^{-1}\Pi}.

Montrer que {L^+L} et {LL^+} sont les projections orthogonales sur {(\ker L)^\perp} et {\operatorname{Im}L}, qu’elles sont symétriques, et que {LL^+L=L}, {L^+LL^+=L^+}.

Montrer que {L^+b} minimise {\lVert Lx-b\rVert} et possède la norme minimale parmi tous les minimisateurs.

Pour {M\in M_n(\mathbb{R})} non nulle et {S} sphère unité, montrer que {\sigma_1=\sup_{u,v\in S}\langle u,Mv\rangle} est atteint et strictement positif.

Pour {u_1,v_1\in\mathbb{R}^n} tels que {\sigma_1=\langle u_1,Mv_1\rangle}, montrer {Mv_1=\sigma_1u_1}, {M^Tu_1=\sigma_1v_1}.

1) Montrer que {F\oplus F^\perp=E} pour tout sous-espace {F}.

2) Montrer que {p(x)=x-\langle a,x\rangle a}.

3) Posons {\Omega=\left\{x:\langle a,x\rangle\geq0,\ \langle x,\sigma(x)\rangle\leq0\right\}}.

Montrer les équivalences : {x\in\Omega\Longleftrightarrow\langle a,x\rangle\geq\lVert p(x)\rVert} ; {x\in\Omega\Longleftrightarrow\forall y\in\Omega,\ \langle x,y\rangle\geq0}.

1) Montrer que {\langle P,Q\rangle=\int_0^1PQ} est un produit scalaire sur {\mathbb{R}_{n-1}[X]} et qu’il existe un unique {P=\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_iX^i} tel que {\int_0^1x^kP(x)\,dx=1} pour {0\leq k\lt n}.

2) Si {f} est continue et vérifie les mêmes égalités, montrer que {\int_0^1f^2\geq\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_i}, puis {\int_0^1f^2\geq n^2}.

1) {\mathbb{R}} est-il séparable ?

2) Montrer qu’un espace de dimension finie est séparable.

3) Pour {E} préhilbertien réel de dimension infinie, montrer que la séparabilité équivaut à l’existence d’une suite orthonormée dont l’espace engendré est dense.

1) Exprimer la projection orthogonale sur {F} avec une base orthonormale.

2) Montrer que {d_F:x\in E\setminus F\mapsto d(x,F)} est différentiable, et calculer sa différentielle.

a) Exprimer coordonnées et norme d’un vecteur par produits scalaires, puis les coefficients de {A,B,A^{\mathsf T}B}. Si {(x_i)} est une base, choisir une base {(y_i)} telle que {\langle x_i,y_j\rangle=\delta_{ij}}.

b) Si {\lVert x_i\rVert=1}, {\langle x_i,x_j\rangle\lt 0} pour {i\ne j}, et s’il existe {v} avec {\langle x_i,v\rangle>0} pour tout {i}, montrer que {(x_i)} est une base.

a) Rappeler Gram-Schmidt.

b) Pour {M\in GL_n(\mathbb{R})}, montrer {M=OT} avec {O} orthogonale et {T} triangulaire supérieure.

En déduire, pour toute matrice de colonnes {C_i}, {|\det M|\le\prod\limits_i\lVert C_i\rVert}.

c) En admettant cette inégalité dans le cas hermitien complexe, déterminer le maximum de {\prod\limits_{i\lt j}|z_i-z_j|} sur le polydisque {|z_i|\le1}, et tous ses points de maximum.

1) Énoncer et démontrer Cauchy-Schwarz.

2) Si {ff'} a une limite non nulle, finie ou infinie, en {+\infty}, montrer que {f^2\to+\infty}.

3) Si {f^2} et {(f'')^2} sont intégrables sur {\mathbb{R}}, montrer que {(f')^2} l’est.

4) Montrer que {(\int_{\mathbb{R}}(f')^2)^2\leq(\int_{\mathbb{R}}f^2)(\int_{\mathbb{R}}(f'')^2)}.

5) Montrer que {f} est uniformément continue et tend vers zéro aux deux infinis.

1) Montrer que {\langle f,g\rangle=\int_0^\infty fg} est un produit scalaire.

2) Rappeler Cauchy-Schwarz.

3) Montrer que {x^{-1}\int_0^xf} se prolonge continûment en une fonction {\psi} sur {\mathbb{R}_+}.

4) Montrer que {\psi\in L^2} et {\int_0^\infty\psi^2\leq4\int_0^\infty\varphi^2}.

1) Soit {P_{X^3}} le projeté orthogonal de {X^3} sur {\mathbb{R}_2[X]}.

Montrer avec Python que {X^3-P_{X^3}} est scindé sur {\mathbb{R}}.

2) Programmer le calcul de {\sum\limits_{i=1}^3\lambda_iQ(y_i)}.

3) Déterminer les triplets réels {(y_1,y_2,y_3)} pour lesquels il existe un unique triplet réel {(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)} tel que {\forall Q\in\mathbb{R}_3[X],\quad \int_0^1Q(t)\,dt=\sum_{i=1}^3\lambda_iQ(y_i).}

4) Calculer ces coefficients avec Python.

1) Donner les conditions d’inversibilité de {M}.

2) Dans {\mathbb{R}^n} euclidien, on considère {n+1} vecteurs unitaires {u_i} tels que {\langle u_i,u_j\rangle=\alpha} si {i\ne j}. On pose {G=(\langle u_i,u_j\rangle)_{1\leq i,j\leq n+1}}.

3) Montrer que {\operatorname{rg}G\leq n}.

4) Déterminer {\alpha} pour que {\operatorname{rg}G=n}.

Sur {\mathbb{R}[X]}, posons {\langle P,Q\rangle=\sum\limits_{k\geq0}P^{(k)}(1)Q^{(k)}(1)}.

Montrer que c’est un produit scalaire et que {((X-1)^n)_{n\geq0}} est une base orthogonale.

Déterminer {\mathbb{R}_n[X]^\perp}.

1) Montrer {\lVert x-(a+b)/2\rVert^2+\lVert a-b\rVert^2/4=(\lVert x-a\rVert^2+\lVert x-b\rVert^2)/2}.

2) Montrer que {f} est continue.

3) Pour {z_0\in K}, poser {r=\lVert z_0-x\rVert}, {K_0=K\cap\overline B(z_0,r)}.

Montrer que {f} atteint un minimum en {z^\star} sur {K_0}.

4) Montrer que {z^\star} réalise le minimum sur tout {K}, et que ce point est unique.

a) Calculer {L_i(k)} et montrer que les {L_i} forment une base.

b) Montrer que {\varphi(P,Q)=\sum\limits_{k=0}^3(P(k)+P(1))(Q(k)+Q(1))} est un produit scalaire.

c) Donner une base orthonormée.

a) Montrer qu’un sous-espace {F\subset\mathbb{R}^n} est stable par {M} si et seulement si {F^\perp} est stable par {M^{\mathsf T}}.

b) Trouver les plans stables par {A=\begin{pmatrix}1/2&1&1/2\\[4pt]0&1&0\\[4pt]-1/2&1&3/2\end{pmatrix}}.

1) Rappeler et justifier Gram-Schmidt.

2) Pour {A\in GL_n(\mathbb{R})}, montrer l’existence de {A=UT} avec {U\in O_n(\mathbb{R})} et {T\in T_n^+(\mathbb{R})}.

3) Montrer l’unicité.

a) Vérifier que c’est un produit scalaire.

b) Pour {E=\left\{M:\operatorname{tr}M=0\right\}}, calculer {\inf_{M\in E}\lVert A-M\rVert}.

c) Calculer les distances de {A} à {S_n(\mathbb{R})} et {A_n(\mathbb{R})}.

a) Montrer qu’ils forment une base orthogonale et calculer leurs normes.

b) Si {n\geq1}, montrer que {T_n\perp\mathbb{R}_{n-1}[X]}.

c) Calculer {\int_0^\pi\cos^kv\cos(nv)\,dv} pour {0\leq k\leq n}.

a) Montrer que {\langle f,g\rangle=\int_0^1(fg+f'g')} est un produit scalaire.

b) Montrer que {V=\left\{f:f(0)=f(1)=0\right\}} et {W=\left\{f:f''=f\right\}} sont supplémentaires orthogonaux.

c) Pour {U=\left\{f:f(0)=f(1)=1\right\}}, déterminer {\inf_{f\in U}\int_0^1(f^2+f'^2)}.

a) Montrer que {v} est un endomorphisme.

b) Déterminer l’unique {v^\star} tel que {\langle v(f),g\rangle=\langle f,v^\star(g)\rangle}.

a) Que dire si {A} est inversible ?

b) Montrer que {\ker A^2=\ker A^T} et {\ker A=\ker A^2}.

c) Montrer que {\mathbb{R}^n=\ker A\mathbin{\oplus^\perp}\operatorname{Im}A}.

d) Montrer que {A} est symétrique.

a) Montrer que {\operatorname{tr}(A^TB)} est un produit scalaire.

Quel est l’orthogonal de {\operatorname{Vect}(GL_n(\mathbb{R}))} ?

b), c) b) Pour {\psi(t)=\det(I-tA)}, justifier la dérivabilité et programmer un taux d’accroissement en {0} avec un pas {10^{-15}}.

c) Générer des matrices aléatoires d’ordre {3} à coefficients dans {[0,10]}, calculer ce taux et conjecturer.

d) Démontrer la conjecture.

a) Si {A} n’est pas inversible :

i) Montrer l’existence d’une solution constante non nulle.

ii) Montrer que toute solution vérifie {\langle L,X(t)\rangle=\alpha} pour un {L\ne0} et un réel {\alpha}.

b) Si {A} est antisymétrique, montrer que le produit scalaire de deux solutions est constant ; en déduire que chaque trajectoire est contenue dans une sphère centrée en {0}.

Soit {(e_1,\ldots,e_p)} dans un espace euclidien {E}, telle que {\lVert x\rVert^2=\sum\limits_{k=1}^p\langle x,e_k\rangle^2} pour tout {x}.

Montrer que cette famille engendre {E}, que {\lVert e_k\rVert\leq1}, et qu’elle est une base orthonormée si et seulement si tous les {e_k} sont unitaires.

Soit {p} un projecteur sur un espace euclidien {E}.

Montrer que {\lVert p(x)\rVert\leq\lVert x\rVert} pour tout {x} équivaut à son orthogonalité.

1) Sur un espace euclidien {E}, montrer que {a\mapsto(x\mapsto\langle a,x\rangle)} est un isomorphisme vers le dual.

2) Trouver l’unique {A\in\mathbb{R}_2[X]} tel que {P(1/2)=\int_{-1}^1A(t)P(t)dt} pour tout {P\in\mathbb{R}_2[X]}.

a) Montrer que c’est un produit scalaire.

b) Montrer {\lVert AB\rVert\le\lVert A\rVert\lVert B\rVert}.

c) Montrer que les matrices symétriques et antisymétriques sont des sous-espaces orthogonaux supplémentaires.

Pour {(x_0,x_1,x_2,x_3)=(1,3,2,3)}, montrer que {\left\{\sum\limits_{i=0}^3(x_i-P(i))^2:P\in\mathbb{R}_2[X]\right\}} possède un minimum et le déterminer.

1) Montrer que {\varphi} est un produit scalaire.

2) Pour {F=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\[4pt]b&-a\end{pmatrix}:a,b\in\mathbb{R}\right\}}, déterminer {F^\perp}.

3) Pour {\alpha\in\mathbb{R}} et {J_\alpha=\begin{pmatrix}1&\alpha\\[4pt]1&1\end{pmatrix}}, calculer sa distance à {F^\perp}.

1) Montrer que {\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1(1-x^2)f(x)g(x)\,dx} est un produit scalaire.

2) Soient {E_p,E_i} les sous-espaces des fonctions paires et impaires.

Montrer qu’ils sont orthogonaux et que {E_p\oplus E_i=E}.

3) Expliciter {E_p^\perp} et {E_i^\perp}.

1) Montrer qu’il existe un unique {u^\star} tel que {\langle u(x),y\rangle=\langle x,u^\star(y)\rangle} pour tous {x,y}.

2) Montrer que {u^\staru} est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives.

3) Montrer que {x\mapsto\lVert u(x)\rVert} est bornée sur la sphère unité.

Exprimer son maximum et son minimum en fonction des valeurs propres de {u^\staru}.