Déterminer le rayon de {\sum\limits u_nz^n}, puis la condition exacte de convergence absolue sur son cercle de convergence.

Programmer l’insertion de {n} dans une partition de {n-1}, puis l’énumération de toutes les partitions.

Calculer {S(n,1),S(n,n),S(n,k)} pour {k>n}, et prouver {S(n+1,k)=S(n,k-1)+kS(n,k)}.

Développer {f_k(x)=\prod\limits_{j=1}^k(1-jx)^{-1}} en série entière, préciser son rayon et exprimer {\sum\limits_{n\geq1}S(n,k)x^n}.

Montrer {g(x)\to\infty} puis {\sum\limits a_nx^n\sim g(x)}.

Enfin établir {\sum\limits_{n\geq p}n!x^n/(n-p)!=p!x^p/(1-x)^{p+1}} et conclure.

Calculer {A_1,A_2,A_3} et programmer {A_n}.

Comparer {A_n(0),A_n(1)} et {A_n(X),A_n(1-X)}.

Tracer {x/(e^x-1)} et {\sum\limits_{k=0}^{10}A_k(0)x^k}. Formuler et démontrer les identités observées.

Montrer que {f} est somme d’une série entière.

Pour {u\in C^1(\mathbb{R})}, montrer que {T_u(x)=\int_0^xf(t)u(x-t)dt} est {C^1} et exprimer sa dérivée.

Étudier leurs limites et comportements asymptotiques, la nature de {\sum\limits u_n^2,\sum\limits u_n^3}, puis le rayon de {\sum\limits a_nx^n} et sa convergence en {1} et {-1}.

Justifier les intégrales, programmer {J_0,\ldots,J_N} et tracer {f}. On admet {J_0,J_1\leq1}.

Trouver une récurrence entre {J_n,J_{n-2}}, montrer {0\leq J_n\leq n!} et développer {f} en série entière en précisant son rayon. Montrer {f'''(x)=xf(x)/4}, puis la bornitude de {x^kf^{(n)}(x)}.

Déterminer le rayon de {\sum\limits z^n/(q_1\cdots q_n)}.

Si {(q_n)} est stationnaire, montrer que {x=\sum\limits_{n\geq1}1/(q_1\cdots q_n)} est rationnel. Admettant provisoirement que {q_n\to\infty} entraîne l’irrationalité de {x}, montrer que {e}, {\cosh\sqrt2} et {e^{\sqrt2}} sont irrationnels.

Montrer que {f} est {C^\infty}, puis développable en série entière au voisinage de zéro.

Montrer que {c_n} est entier.

Déterminer les fonctions additives {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continues en zéro.

Montrer que l’absolue convergence de {\sum\limits a_n} entraîne {(P)} ; étudier la réciproque.

Déterminer les suites périodiques vérifiant {(P)}.

Pour {F(z)=\sum\limits a_nz^n} entière et {G=\operatorname{Re}F}, montrer les formules, pour {n\geq1} : {\int_0^{2\pi}F(Re^{it})e^{-int}dt=2\pi a_nR^n,\qquad \int_0^{2\pi}G(Re^{it})e^{-int}dt=\pi a_nR^n,}et {\int_0^{2\pi}G(Re^{it})dt=2\pi\operatorname{Re}a_0}.

donner le domaine réel ;

développer en série entière en {0} ;

donner un équivalent en {1}.

On admet qu’il existe {\mu>2} tel que {|1/\pi-p/q|>1/q^\mu} pour {p\in\mathbb{Z}}, {q\geq2}.

Montrer l’existence et l’unicité de polynômes {P_n} tels que, pour un {\rho>0}, {\frac{te^{xt}}{e^t-1}=\sum_{n\geq0}\frac{P_n(x)}{n!}t^n, \quad x\in\mathbb{R},\quad0\lt |t|\lt \rho.}

Soit {(E):xy''+y'+xy=0}.

Pour {|t|\lt 1}, poser {f(t)=\sum_{n\geq0}u_{2n+1}t^{2n+1},\qquad g(t)=\sum_{n\geq0}u_{2n}t^{2n}.}Comparer graphiquement {f+g} à {\tan t+1/\cos t} et conjecturer.

Déterminer {f}.

d) Observer {2\lVert \psi_{k+1}\rVert^2/\lVert \psi_k\rVert^2} pour {0\leq k\leq9}. On donne {\int_{\mathbb{R}}e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi} et on admet la conjecture.

Montrer que {\sum\limits u_nz^n} et {\sum\limits v_nz^n} ont des rayons non nuls et égaux.

d) Démontrer la conjecture.

f) Calculer {W_n=\int_0^\pi\cos^{2n}u\,du} et les coefficients de {H}.

Justifier sa définition et calculer sa somme avec des fonctions usuelles.

Déterminer son rayon {R}. En utilisant {x(x-4)y'+(x+2)y=2} sur {]0,4[}, exprimer {f} avec des fonctions usuelles.

Étudier la convergence en {R} et {-R}.