Espaces vectoriels, applications linéaires — Centrale-Supélec

Exercices corrigés de Centrale-Supélec sur le thème « espaces vectoriels, applications linéaires », regroupés par filière.

MP–MPI


Exercice 1. (★★) supplémentaires ; projecteurs ; isomorphismes
Soit {F} un sous-espace d’un espace vectoriel {E} de dimension quelconque.

Montrer que tous les supplémentaires de {F} sont isomorphes.

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Exercice 2. (★★★) noyau et image ; théorème du rang ; sommes directes
Soit {u:E\to F} linéaire, {E=H_1\oplus H_2}, avec {H_2} et {\ker u} de dimension finie. Montrer {\dim\ker u=\dim(H_1\cap\ker u)+\dim(H_2\cap\ker u) +\dim(u(H_1)\cap u(H_2)).}
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Exercice 3. (★★★) Dimension ; Théorème spectral ; Extremums
Pour {S\in S_n(\mathbb{R})}, on note {\lambda_1(S)\leq\cdots\leq\lambda_n(S)}. Soit {\mathcal V_d} l’ensemble des sous-espaces de dimension {d}.
1) Montrer que {\lambda_1(S)=\min_{\lVert x\rVert=1}\langle Sx,x\rangle}.
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2) Montrer les formules {\lambda_k(S)=\min_{V\in\mathcal V_k}\max_{x\in V,\lVert x\rVert=1}\langle Sx,x\rangle =\max_{V\in\mathcal V_{n-k+1}}\min_{x\in V,\lVert x\rVert=1}\langle Sx,x\rangle.}
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3) Pour {i+j\leq n+1}, montrer l’inégalité {\lambda_{i+j-1}(S+S')\geq\lambda_i(S)+\lambda_j(S')}.
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Exercice 4. (★★) accroissements finis ; sous-espaces de fonctions ; applications lipschitziennes
Pour {0\lt \alpha\leq1}, soit {H_\alpha=\left\{f:[0,1]\to\mathbb{R}:\exists L>0,\ |f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^\alpha\right\}}.
1) Définir une fonction lipschitzienne et montrer sa continuité.
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2) Montrer que {H_\alpha} est un espace vectoriel, que {H_\beta\subset H_\alpha} si {\alpha\leq\beta\leq1}, et que {x^\alpha\in H_\alpha}.
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3) Montrer que l’inclusion est stricte si {\alpha\lt \beta}.
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4) Montrer que {C^1([0,1])\subset H_\alpha\subset C^0([0,1])}, strictement.
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Exercice 5. (★★★) groupes finis ; projecteurs ; sous-espaces stables
Soient {E} réel de dimension finie, {G\subset GL(E)} un sous-groupe fini, {p=|G|^{-1}\sum\limits_{g\in G}g} et {V^G=\left\{x:\forall g\in G,gx=x\right\}}.
a) Montrer que {g\mapsto hg} est une bijection de {G}, puis que {p} est un projecteur.
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b) Montrer {\dim V^G=|G|^{-1}\sum\limits_{g\in G}\operatorname{tr}g}.
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c) Montrer que chaque sous-espace stable par {G} admet un supplémentaire stable, en moyennant un projecteur.
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Exercice 6. (★★★) rang ; Espaces euclidiens ; matrice de Gram
Soit {E} euclidien de dimension {n}.
a) Montrer que tout hyperplan est de la forme {\operatorname{Vect}(a)^\perp}.
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b) Si {x_0,\ldots,x_n} sont unitaires et {\langle x_i,x_j\rangle=\alpha\lt 0} pour {i\ne j}, déterminer {\alpha}.
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c) Montrer l’existence d’une telle famille.
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PSI


Exercice 1. (★★) Interpolation de Lagrange ; Formes linéaires ; Bases
Soit {(L_0,\ldots,L_n)} une famille de {\mathbb{R}_n[X]} telle que {L_k(i)=\delta_{i,k}} pour {0\leq i,k\leq n}.
1) Donner la forme factorisée de {L_k} et son coefficient dominant.
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2) Montrer que cette famille est une base de {\mathbb{R}_n[X]}.
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3) Soit {P\in\mathbb{R}_n[X]} tel que {P(k)=k^n} pour {0\leq k\leq n}.

Exprimer {P} de deux manières différentes.

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4) Simplifier {\sum\limits_{k=0}^n\binom nk(-1)^{n-k}k^n}.
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5) Donner la dimension de {\mathcal L(\mathbb{R}_n[X],\mathbb{R})}.

Montrer qu’il existe un unique {(\lambda_0,\ldots,\lambda_n)} tel que {\forall P\in\mathbb{R}_n[X],\quad \int_0^nP(t)\,dt=\sum_{k=0}^n\lambda_kP(k).}

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Exercice 2. (★★★★) Noyau et image ; Bases ; Commutation
Soit {\Delta:P\mapsto P(X+1)-P(X)} sur {\mathbb{R}[X]}. On pose {Q_0=1} et {Q_n=\frac1{n!}\prod_{k=0}^{n-1}(X-k)\quad(n\geq1).}
1) Montrer que {(Q_0,\ldots,Q_n)} est une base de {\mathbb{R}_n[X]}.
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2) Calculer {\Delta Q_n}.
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3) Préciser {\ker\Delta} et {\operatorname{Im}\Delta}.
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4) Soit {f\in\mathcal L(\mathbb{R}[X])} commutant avec {\Delta}. Montrer qu’il existe une suite réelle {(u_n)} telle que {\forall P\in\mathbb{R}[X],\quad f(P)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n\Delta^nP.}
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Exercice 3. (★★) Projecteurs ; Noyau et image ; Polynômes annulateurs
Soient {E} réel, {f\in\mathcal L(E)} et {a\ne b} tels que {(f-aI)(f-bI)=0}.
1) Déterminer {\lambda,\mu} tels que {\lambda(f-aI)} et {\mu(f-bI)} soient des projecteurs.
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2) Montrer {\ker(f-aI)=\operatorname{Im}(f-bI)}.
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3) Calculer {f^n} pour {n\in\mathbb{N}}.
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Exercice 4. (★★) Supplémentaires orthogonaux ; Projection orthogonale ; Noyau et image
Soient {u=(a,b,c)^T} unitaire, {D=\mathbb{R}u}, {p} la projection orthogonale sur {D}, et {f} de matrice {M=\begin{pmatrix}0&c&-b\\[4pt]-c&0&a\\[4pt]b&-a&0\end{pmatrix}}.

Exprimer {p(v)} et {f^2} ; déterminer {\ker f,\operatorname{Im}f} et montrer qu’ils sont supplémentaires orthogonaux ; montrer {f^3=-f}.

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Exercice 5. (★★) noyau ; dimension ; commutation
Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, poser {\Phi_A(M)=MA-AM}.
a) Montrer que c’est un endomorphisme non injectif.
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b) Calculer la dimension de son noyau pour {A=\operatorname{diag}(1,\ldots,n)}.
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c) Montrer la linéarité de {\Phi:A\mapsto\Phi_A} et trouver son noyau.
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Exercice 6. (★★) rang ; restrictions aux images ; suites monotones
Soit {f} sur un espace complexe de dimension {n} et {r_k=\operatorname{rg}(f^k)}.
a) Montrer que {(r_k)} décroît et devient stationnaire.
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b) Montrer que {(r_k-r_{k+1})} décroît. Indication : restreindre {f} à {f^k(E)}.
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Exercice 7. (★★) polynôme annulateur ; Réduction des endomorphismes et des matrices ; lemme des noyaux
Soit {f\in\mathcal L(\mathbb{R}^3)} avec {f^3+f^2+f=0}, sans annulateur non nul de degré au plus {2}.
a) Est-il diagonalisable ?

Montrer {\operatorname{rg}f=2}.

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b) Montrer {\operatorname{Im}f\subset\ker(f^2+f+I)} et {\mathbb{R}^3=\ker f\oplus\ker(f^2+f+I)}.
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c) Pour {x\ne0} dans le second noyau, montrer {(x,fx)} libre.
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d) Construire une base où la matrice est {\begin{pmatrix}0&0&0\\[4pt]0&0&-1\\[4pt]0&1&-1\end{pmatrix}}.
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Exercice 8. (★★) dimension infinie ; Intégration sur un segment ; orthogonalité trigonométrique
Pour {h>0}, soit {W_h} l’espace des fonctions continues satisfaisant {\int_{x+h}^{x+2h}f=2\int_x^{x+h}f} pour tout {x}.
a) Montrer que c’est un espace vectoriel.
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b) Montrer que les {f_n(x)=\sin(2\pi nx/h)}, {n\ge1}, y forment une famille libre ; conclure sur sa dimension.
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c) Existe-t-il une fonction non bornée dans {W_h} ?
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Exercice 9. (★★★) noyau et image ; sous-espaces stables ; sommes directes
Soit {M=\begin{pmatrix}0&1&1\\[4pt]0&2&0\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}}.
1) Déterminer les noyaux et images de {M,M^2} ; les deux derniers sont-ils supplémentaires ?

Pour un endomorphisme {u} en dimension finie, posons {N(u)=\bigcup_{k\geq0}\ker u^k}, {C(u)=\bigcap_{k\geq0}\operatorname{Im}u^k}.

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2) Montrer qu’ils sont supplémentaires et stables, avec {u} nilpotent sur {N(u)} et inversible sur {C(u)}.
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3) Montrer l’existence de {p} tel que {N(u)=\ker u^p}, {C(u)=\operatorname{Im}u^p}.
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4) Réciproquement, si {E=F\oplus G} est stable, {u} inversible sur {F} et nilpotent sur {G}, montrer {F=C(u)}, {G=N(u)}.
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Exercice 10. (★★) matrices dans une base adaptée ; espaces propres ; symétries
Soient {f,g} en dimension finie tels que {f^2=g^2=I} et {fg+gf=0}. Posons {A_f=\ker(f-I)}, {B_f=\ker(f+I)}, et de même pour {g}.
1) Montrer que {g(A_f)=B_f}, {g(B_f)=A_f}.
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2) Montrer que la dimension est paire.
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3) Construire une base où {f} et {g} ont matrices {\operatorname{diag}(I_n,-I_n)} et {\begin{pmatrix}0&I_n\\[4pt]I_n&0\end{pmatrix}}.
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PC


Exercice 1. (★★) Noyau ; Trace ; Projecteurs
Soient {A\ne0} dans {M_n(\mathbb{R})} et {\varphi(X)=X-\operatorname{tr}(X)A}.
a) Montrer que {\varphi} est non injective exactement si {\operatorname{tr}A=1}.
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b) Dans ce cas, reconnaître sa nature géométrique.
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c) Résoudre {\varphi(X)=B} en général.
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Exercice 2. (★★★) Matrices par blocs ; Noyau et image ; Bases adaptées
Soit {u\in\mathcal L(E)} sur un espace réel de dimension finie, avec {u^2=0}.

Montrer qu’il existe une base où la matrice est diagonale par blocs, les blocs non nuls étant {\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}}.

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Exercice 3. (★★★) Noyau ; Trace ; Trigonalisation
Soit {M\in M_n(\mathbb{C})}.
1) Montrer {\ker M^k\subset\ker M^{k+1}}, puis l’existence de {k_0\geq1} avec {\ker M^{k_0}\ne\ker M^{k_0-1}} et stationnarité ensuite.
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2) Si {M^{p-1}\ne0}, {M^p=0}, montrer que {M} est semblable à une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle.
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3) Montrer que {\ker\operatorname{tr}} est l’espace engendré par les matrices nilpotentes.
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Exercice 4. (★★★) Noyau et image ; Sous-espaces stables ; Continuité de l'inversion
Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, posons {f_A(x)=(A+xI)^{-1}A}.

Montrer qu’elle est définie dans un voisinage épointé de zéro ; étudier son comportement si {A} est inversible ou nilpotente. Pour {u\in\mathcal L(\mathbb{R}^n)}, établir une décomposition {\operatorname{Im}u^p\oplus\ker u^p=\mathbb{R}^n}, stable, avec restriction injective sur le premier terme et nilpotente sur le second.

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Exercice 5. (★★★) Rang ; Bases adaptées ; Commutation
Soit {u} nilpotent d’indice deux sur {E} réel de dimension {n\geq2}. Posons {r=\operatorname{rg}u}, {p=n-r} et {I_{p,r}=\begin{pmatrix}I_r\\[4pt]0\end{pmatrix}}.
1) Montrer {2r\leq n}.
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2) Trouver une base où {u} a matrice {\begin{pmatrix}0&I_{p,r}\\[4pt]0&0\end{pmatrix}}.
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3) Montrer que {C(u)=\left\{v:uv=vu\right\}} est un sous-espace et en donner la dimension.
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Exercice 6. (★★★) Projecteurs orthogonaux ; Supplémentaires ; Noyau
Soient {F,G\subset\mathbb{R}^n}.
1) Montrer qu’un projecteur est orthogonal si et seulement si sa matrice canonique est symétrique.
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2) Si {F,G} sont supplémentaires, montrer que {F^\perp,G^\perp} le sont.
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3) Pour leurs projecteurs orthogonaux {p,q}, montrer que {p-q} est inversible si et seulement si {F,G} sont supplémentaires.
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Exercice 7. (★★★) bases ; dérivées successives ; formule du binôme
Pour {n\in\mathbb{N}}, {a\in\mathbb{C}}, poser {A_0=1} et {A_k=X(X-ka)^{k-1}/k!} pour {1\le k\le n}.
a) Montrer que {(A_0,\ldots,A_n)} est une base de {\mathbb{C}_n[X]}.
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b) Montrer {A_k'=A_{k-1}(X-a)}.
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c) Calculer {A_k^{(j)}(ja)}.
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d) Si {P=\sum\limits\alpha_kA_k}, montrer {\alpha_j=P^{(j)}(ja)}.
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e) En déduire {(x+y)^n=y^n+\sum_{k=1}^n\binom nk x(x-ka)^{k-1}(y+ka)^{n-k}.}
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Exercice 8. (★★) bases ; formes linéaires ; diagonalisation
Sur {\mathbb{R}_n[X]}, {n\ge1}, poser {D(P)=P(X+1)-P(X)}, {\Delta_k(P)=D^k(P)(0)} et {H_k=X(X-1)\cdots(X-k+1)/k!}, {H_0=1}.
a) {D} est-il diagonalisable ?
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b) Montrer que {(\Delta_0,\ldots,\Delta_n)} est une base du dual.
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Exercice 9. (★★) noyau et image ; sommes directes ; déterminant
Soit {A} antisymétrique réelle, associée à {f}.
a) Montrer {\mathbb{R}^n=\operatorname{Im}f\oplus\ker f}.
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b) Montrer que {A} est semblable à {\operatorname{diag}(C,0)}, où {C} est inversible de taille paire.
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Exercice 10. (★★★) noyau et image ; rang ; sommes directes
Soient {E} un espace vectoriel de dimension finie et {f\in\mathcal L(E)}. On dit que {f} admet un pseudo-inverse s’il existe {g\in\mathcal L(E)} tel que {fgf=f}, {gfg=g} et {fg=gf}.
1) Que dire si {f} est inversible ? Si {f=0} ?
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2) Si {f} admet un pseudo-inverse, montrer que {\operatorname{Im}f\oplus\ker f=E}.
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3) Réciproquement, sous cette dernière hypothèse, soit {f_1} l’endomorphisme induit sur {\operatorname{Im}f}.

Montrer que {f_1} admet un pseudo-inverse et en déduire que {f} en admet un.

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4) Montrer que {f} admet un pseudo-inverse si et seulement si {\operatorname{rg}f=\operatorname{rg}f^2}.
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.