1) Programmer les suites, tracer {f_{100}} sur {]0,10]} et {g_0,\ldots,g_{10}} sur {]0,6]} ; conjecturer leur convergence.

2) Montrer que {f_n(x)}, {n\geq1}, décroît vers {\sqrt x}, et {|f_n(x)-\sqrt x|\leq(\sqrt x-1)^2/2^n}.

Pour {x>1}, montrer {\delta_{n+1}\sim\delta_n^2/(2\sqrt x)}, majorer l’erreur, prouver la convergence uniforme sur les segments et identifier la méthode numérique.

3) Montrer {g_n} polynomiale et sa convergence sur {]0,1]}.

Calculer {\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(px)dx}, {n,p\in\mathbb{N}}.

Pour {g(x)=\pi^2/3+\sum\limits_{n\geq1}4(-1)^n\cos(nx)/n^2}, calculer {\int_{-\pi}^{\pi}g^2} et simplifier l’expression de {g}.

Pour {k\geq1}, {0\lt x\lt 1}, poser {g_k(x)=(1-x)^2x^k/(1-x^k)^2}.

Tracer ces fonctions et les constantes {1/k^2}. Énoncer l’inégalité arithmético-géométrique et en déduire la convergence normale de {\sum\limits g_k}.

Programmer une approximation à {10^{-6}} de {\sum\limits k^{-2}}. Pour {g(x)=(1-x)^2\sum\limits_{n\geq0}nx^n/(1-x^n)}, programmer son calcul, conjecturer et prouver sa limite en {1^-}.

1) Pour {f(t)=t} sur {[0,\pi]}, {f(t)=2\pi-t} sur {[\pi,2\pi]}, tracer {f} sur {[-4\pi,4\pi]}, programmer les coefficients et {S_3,S_{10},S_{30}}.

Calculer les coefficients, prouver la convergence normale et trouver {\lim S_n(f)(\pi)} en admettant {\sum\limits n^{-2}=\pi^2/6}.

2) Dans le cas général, montrer {\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt\to0} et exprimer {\int_0^{2\pi}f(t)D_n(x-t)dt}, où {D_n=\sum\limits_{k=-n}^ne^{ikx}}.

1) Montrer {\int_a^b\varphi(t)e^{ixt}dt\to0} pour {\varphi\in C^1}.

2) Montrer {S_N(x)=\pi^{-1}\int_0^\pi \frac{f(x+u)+f(x-u)}2D_N(u)du}.

3) Montrer, pour {u\notin2\pi\mathbb{Z}}, {D_N(u)=\sin((N+1/2)u)/\sin(u/2)}.

4) Montrer la convergence simple puis uniforme vers {f}.

1) Montrer que {f} est définie continue et, si {\alpha\lt \beta}, dérivable.

2) Si {\alpha\geq\beta}, montrer que {f} n’est pas dérivable en zéro.

1) Démontrer l’intégration terme à terme d’une série uniformément convergente sur un segment.

2) Pour {\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}} de classe {C^1}, définir {\int_\gamma f(z)dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)dt}, aussi pour les fonctions matricielles.

Avec {\gamma_r(t)=re^{it}}, montrer, pour {f} entière et {r>|a|}, {f(a)=\frac1{2i\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-a}dz.}

3) En déduire, pour {M\in M_n(\mathbb{C})} et {r} assez grand, {e^M=\frac1{2i\pi}\int_{\gamma_r}e^z(zI-M)^{-1}dz.}

a) Rappeler Weierstrass.

b) Montrer {\lVert Q_n\rVert_\infty\le\prod\limits_{j=1}^n|1-m/\lambda_j|}, puis la convergence uniforme vers {0} sur {[0,1]}.

c) Montrer la densité uniforme de {\operatorname{Vect}\left\{x^{\lambda_n}:n\in\mathbb{N}\right\}} dans {C^0([0,1])}.

a) Énoncer le théorème de dérivation terme à terme.

b) Si {f} est constante, étudier les convergences simple et uniforme de {f_n} et de {\sum\limits f_n}.

c) Dans le cas général, montrer les convergences simples et que {T:f\mapsto\sum\limits_{n\ge0}f_n} est un automorphisme de {E}.

a) Étudier la convergence simple.

b) Étudier la convergence uniforme sur {[1,\infty[} et sur tout segment.

a) Justifier cette limite.

b) Montrer que {f} est continue et {1}-périodique.

c) Exprimer {f(x/2)+f((x+1)/2)}.

d) Montrer {f(x)=\pi\cot(\pi x)}.

1) Calculer {\sum\limits_{k=m}^nq^k} pour {m\leq n} entiers.

2) Montrer que, pour {x\notin2\pi\mathbb{Z}}, {K_n(x)=\frac1n\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=-j}^je^{ikx} =\frac1n\left(\frac{\sin(nx/2)}{\sin(x/2)}\right)^2.}

3) Pour {f} continue {2\pi}-périodique, soient {c_k=(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-ikt}dt}, {S_n=\sum\limits_{k=-n}^nc_ke^{ikx}} et {f_n=n^{-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}S_k}.

(i) Montrer {f_n(x)=(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}f(t)K_n(x-t)dt}.

(ii) Montrer la convergence uniforme de {f_n} vers {f} sur {\mathbb{R}}.

1) Montrer que {f} est définie et {C^1} sur {\mathbb{R}} ; la convergence est-elle uniforme sur {\mathbb{R}_+} ?

2) Montrer que {f(x)\to+\infty}, {f'(x)\to0} en {+\infty}.

3) Donner un équivalent de {f'} à l’infini.

1) Énoncer un théorème d’intégration terme à terme.

2) Étudier la convergence simple de {(f_n)} et de {\sum\limits f_n}, pour {f} constante puis en général.

3) Montrer que {T(f)=\sum\limits_{n\geq0}f_n} est un automorphisme de {E}.

1) Montrer la convergence simple de cette série.

2) Programmer sa somme partielle d’indice {n}.

3) Calculer {S(1)} à {10^{-7}} près et comparer à sa valeur exacte.

4) Conjecturer la valeur de {xS(x)-S(x+1)}.

5) Vérifier la conjecture et montrer que {S(n+1)=o(n!)}.

6) Étudier la continuité de {S}.

1) Montrer que {f} est définie sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}} et {1}-périodique.

2) Montrer qu’elle est continue sur ce domaine.

3) Représenter approximativement {f} sur {[10.1,10.9]}.

4) Poser {g(x)=f(x)-\pi^2/\sin^2(\pi x)}.

Montrer que {g} se prolonge continûment à {\mathbb{R}}.

Comparer graphiquement les deux termes et émettre une conjecture.

1) Montrer que {g} est {1}-lipschitzienne sur {[0,1]} et y prend ses valeurs.

2) Poser {h_0(x)=1} et {h_{n+1}(x)=h_n(x/2)-\frac x2h_n(x/2)^2}.

Montrer {h_n(x)\in[0,1]} et {|h_{n+1}(x)-h_n(x)|\leq|h_n(x/2)-h_{n-1}(x/2)|} pour {n\geq1}.

En déduire la convergence uniforme de {(h_n)}.

1) Trouver {0\lt k\lt 1} tel que {0\leq(1-\cos x)/x\leq k} pour {0\lt x\leq1}.

2) Justifier la définition et la continuité des {u_n} sur {[0,1]}.

3) Étudier la convergence uniforme de {\sum\limits(u_{n+1}-u_n)} ; en déduire une limite {u}.

4) Déterminer {u}.

1) Étudier la convergence simple de {\sum\limits f_n}.

2) Pour une suite croissante positive {(a_n)}, montrer {0\leq(-1)^n\sum\limits_{k=0}^n(-1)^ka_k\leq a_n}.

3) Étudier la convergence uniforme de {\sum\limits f_n}.

Soit {F(x)=\sum\limits_{n\geq1}e^{-nx}/(n^2+n)}.

Montrer que {F} est définie continue sur {\mathbb{R}_+}, de classe {C^2} sur {\mathbb{R}_+^\star}, puis calculer {F(0)} et sa limite en {+\infty}.

Posons {\varphi(x)=\sum\limits_{k\geq1}1/(k(k+x))} pour {x\geq0} et {H_N=\sum\limits_{k=1}^N1/k}.

Montrer l’existence, la continuité et la monotonie de {\varphi} ; calculer {\varphi(1),\varphi(2)}, sa limite à l’infini, établir {\varphi(x)=O(x^{-1/2})}, puis {\varphi(x)\sim\ln(1+x)/x}.

Pour {x\in[0,\pi/2[} et {n\geq0}, soit {f_n(x)=(\cos x)^n}.

Étudier la convergence simple et uniforme de {(f_n)}, puis de {\sum\limits f_n}.

Étudier et calculer {\sum\limits_{n\geq0}(-1)^n\int_0^{\pi/2}f_n(t)dt}.

a) Déterminer la limite simple sur {\mathbb{R}}.

b) La convergence est-elle uniforme sur {\mathbb{R}} ?

a) Étudier la convergence simple et uniforme sur {]0,\infty[}. Pour {\varepsilon>0}, poser {A_n=\left\{x>0:f_n(x)\ge\varepsilon\right\}} et {u_n=\mathbf1_{A_n}}.

b) Tracer {f_5} et en déduire que {u_n} est continue par morceaux.

c) Déterminer la limite simple de {u_n}.

d) Montrer {\int_0^\infty u_n\to0}.

a) Montrer la convergence simple de {\sum\limits f_n} sur {\mathbb{R}}.

b) Montrer que sa somme est {C^1} sur {\mathbb{R}}.

a) Donner son domaine et étudier la convergence uniforme.

b) Montrer sa continuité puis sa régularité {C^\infty}.

c) Donner la tangente à la courbe de {f_n} en {x=1/e}.

a) Donner le domaine de convergence {D} de {S=\sum\limits_{n\ge2}U_n}.

b) La convergence est-elle normale sur {D} ?

c) Pour {R_n=\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}U_k}, montrer {|R_n(x)|\le1/\log(n+1)} pour {x\in D}, {n\ge2}.

d) En déduire la continuité de {S} ; est-elle intégrable sur {D} ?

a) Montrer qu’elle est définie, périodique et continue.

b) Majorer le reste et donner {g} avec {|S-g|\le10^{-3}} partout.

c) Résoudre l’équation de la chaleur {u_t=u_{xx}} sur {]0,\pi[\times]0,\infty[}, avec {u(x,0)=S(x)} et {u(0,t)=u(\pi,t)=0}, en cherchant {u} continue sur {[0,\pi]\times[0,\infty[}, de classe {C^2} pour {0\lt x\lt \pi}, {t>0}, dont les dérivées d’ordre au plus deux se prolongent continûment aux bords spatiaux pour {t>0}.

i) Vérifier la solution {u(x,t)=\sum\limits_{n\ge1}\sin((2n+1)x)e^{-(2n+1)^2t}/(2n+1)^3}.

ii) Tracer les profils pour {t=1,2}.

iii) Prouver l’unicité en étudiant {\int_0^\pi(u-v)^2dx}.

1) Étudier la convergence simple de {\sum\limits f_n}.

Montrer que sa somme {S} est continue.

2) Y a-t-il convergence uniforme sur {[0,+\infty[} ?

1) Pour {n\geq1}, montrer qu’il existe un unique {f_n\in C^2(\mathbb{R}_+^\star,\mathbb{R})} tel que {f_n(1)=f_n(2)=0} et {f_n''(x)=(-1)^n2^{-nx^2}}.

2) Montrer la convergence uniforme des séries {\sum\limits f_n''}, {\sum\limits f_n'} et {\sum\limits f_n} sur tout segment de {\mathbb{R}_+^\star}.

3) Montrer que {F=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}f_n} est de classe {C^2} sur {\mathbb{R}_+^\star}.

Montrer : {\lVert F\rVert\leq1/3}.

a) Majorer {|f(x)-B_n(f)(x)|} en séparant les indices dans {A} et hors de {A}, avec la borne {2M} hors de {A}.

b) Choisir {\alpha>0} par uniforme continuité pour borner la première somme par {\varepsilon/2}.

c) Montrer que la somme des poids hors de {A} est au plus {1/(4n\alpha^2)}.

d) En déduire la convergence uniforme de {B_n(f)} vers {f}.

Sur {[0,1]}, poser {f_0(x)=e^x\ln(1+x)} et {f_n(x)=\int_0^xf_{n-1}(t)\,dt} pour {n\geq1}.

Montrer que {g=\sum\limits_{n\geq1}f_n} est définie et l’exprimer simplement.

a) Montrer la convergence pour {0\leq x\lt 1} et la divergence pour {x\geq1}.

b) Montrer la croissance de {u_n} sur {[0,1[} ; y a-t-il convergence normale ?

c) Utiliser {N(x,\varepsilon)=\lfloor\ln(\varepsilon(1-x))/\ln x\rfloor} pour tracer la somme et conjecturer une limite en {1}.

d) Montrer la continuité de la somme.

e) Prouver la limite en {1}.

f)–g) Tracer puis étudier {S(x)/(-\ln(1-x))}.

h) Y a-t-il convergence uniforme sur {[0,1[} ?

a) Déterminer le domaine de {\Phi(x,y)=\sum\limits_{n\geq0}x^n/(x^n+y^n)}.

b) Montrer que {\varphi(t)=\sum\limits_{n\geq0}t^n/(1+t^n)} est {C^1} sur {]-1,1[}.

c) Donner un domaine sur lequel {\Phi} est {C^1}.

Soit {f(x)=\lim_{N\to\infty}\prod\limits_{k=1}^N(1-e^{k(1+x^2)})}.

Déterminer le domaine de définition, montrer la régularité {C^1} et étudier les variations et les limites aux bornes.

Pour {x>0}, soit {S(x)=\sum\limits_{n\geq1}1/(n(nx+1))}.

Justifier l’existence et la continuité ; donner les limites et équivalents en zéro et à l’infini.

Soient {f_n(x)=x/(n(1+n^2x^2))} et {S(x)=\sum\limits_{n\geq1}f_n(x)}.

Justifier l’existence et étudier la continuité de {S} ; donner un équivalent en zéro positif.

Pour {n\geq1}, soit {f_n(x)=x/(n(1+n^2x))}.

Justifier l’existence de {S(x)=\sum\limits_{n\geq1}f_n(x)} et sa continuité sur {\mathbb{R}}, puis donner un équivalent en zéro positif.

Pour {x\geq0}, soit {S(x)=\sum\limits_{n\geq0}(\tanh(x+n)-\tanh n)}.

Montrer qu’elle est définie, continue et strictement croissante. Admet-elle une limite à l’infini ?

Soit {u_0\in C^0([0,1])} et {u_{n+1}(x)=1+\int_0^xu_n(t-t^2)dt}.

Étudier les convergences simple et uniforme.

a) Montrer qu’elle est définie et {C^\infty}.

b) Relier {F(x+1)} et {F(x)}.

c) Donner des équivalents en {0^+} et en {+\infty}.

1) Déterminer son domaine de définition et montrer qu’elle est de classe {C^1}.

2) Donner un équivalent de {f} en un. Indication : considérer {g(t)=f(e^{-t})} et en chercher un équivalent en zéro.

1) Montrer la convergence simple de {\sum\limits f_n} sur {[0,1]}.

2) Montrer qu’elle converge normalement sur {[0,1]} si et seulement si {\sum\limits_{n\geq1}a_n/n} converge.

3) Donner une condition nécessaire et suffisante de convergence uniforme sur {[0,1]}.