1) Si {u} stabilise toutes les droites, montrer que c’est une homothétie.

2) Si {\operatorname{tr}u=0}, trouver une base où sa diagonale est nulle.

3) Montrer que {\operatorname{tr}M=0} équivaut à {M=AB-BA}.

4) Le résultat de la deuxième question subsiste-t-il sur un corps fini ?

a) Montrer que ses matrices ont trace nulle et que l’ensemble est stable par similitude et multiplication scalaire.

b) Montrer qu’une matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.

c) Montrer que {\mathcal E} est l’ensemble des matrices de trace nulle.

a) Relier l’inverse d’une matrice à sa comatrice.

b) Montrer que {GL_2(\mathbb{Z})} est un groupe et contient {S_a,T_a}.

c) Calculer {T_bS_aT_b^{-1}}.

d) Si {M\in M_2(\mathbb{Z})} a polynôme caractéristique {X^2-1}, montrer qu’elle est conjuguée dans {GL_2(\mathbb{Z})} à {S_0} ou {S_1}.

a) Montrer {\operatorname{rg}A\le\operatorname{rg}C_1+\operatorname{rg}C_2}.

b) Montrer {\operatorname{rg}A\le\sum\limits_{k=1}^4\operatorname{rg}A_k}.

c) Si {A_1,A_4} sont inversibles et {A_3=0}, {A} est-elle inversible ?

Donner son inverse.

a) Si {X,Y} sont les coordonnées de {x,y} dans cette base, montrer {\langle x,y\rangle=X^{\mathsf T}A_{\mathcal B}Y}.

b) Pour une autre base {\mathcal C} et sa matrice de passage {P}, montrer {A_{\mathcal C}=P^{\mathsf T}A_{\mathcal B}P}.

c) Montrer {\det A_{\mathcal B}>0}, {\operatorname{tr}A_{\mathcal B}>0}.

d) Montrer que {A_{\mathcal B}} est définie positive.

1) Montrer {\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)} sur {M_n(\mathbb{C})}.

2) Pour {f:M_n(\mathbb{C})\to M_p(\mathbb{C})} linéaire multiplicative, poser {\phi(M)=\operatorname{tr}(f(M))} et montrer {\phi(AB)=\phi(BA)}.

3) En déduire {\phi(M)=\alpha\operatorname{tr}M} pour une constante complexe {\alpha}.

a) Donner une base et la dimension de {A_2(\mathbb{R})}.

b) Calculer les puissances d’une matrice de cet espace.

c) Montrer que {f_n(M)} converge et donner sa limite.

d) Programmer f(A,n).

a) Montrer que c’est un sous-espace et donner sa dimension.

b) Montrer que toute matrice de {H} est semblable à une matrice de diagonale nulle.

c) Montrer que {H=\left\{AB-BA:A,B\in M_n(\mathbb{R})\right\}}.

a) Montrer que chaque {O_S} est borné ; qu’en déduire pour {\mathcal E} ?

b) Montrer que {PMP^{-1}\in\mathcal E} pour {M\in\mathcal E} et {P} inversible.

c) Déterminer les matrices dont la classe de similitude est bornée.

d) En déduire {\mathcal E=\left\{I,-I\right\}}.

a) Étudier sa convergence par les logarithmes et montrer que sa limite {L(t)} est strictement positive sur {[-2,2[}. Calculer {L(2)}.

b) Montrer l’unicité de la solution {(a_{0,n},\ldots,a_{n,n})} du système {\sum\limits_{j=0}^n2^{ij}x_j=(-1)^i}, {0\leq i\leq n}.

c) Programmer {M(n)=(2^{ij})}, {\Gamma(n)=((-1)^i)} et {u(n,t)}, puis la matrice triangulaire {\lambda_{k,n}=u_{n-k}(1)a_{k,n}/u_k(-1)}, {1\leq k\leq n}.

Tester jusqu’à {n=6}, conjecturer et relier {a_{k,n}} à sa limite {a_k}, avec {\lambda=L(1)/L(-1)}.

d), e) d) Tester le déterminant obtenu en remplaçant la colonne {k} de {M_n} par {a_{k,n}C_k-\Gamma_n} ; conjecturer.

e) Démontrer cette dernière conjecture.

Pour {n\geq2}, soit {f} une forme linéaire sur {M_n(\mathbb{R})}.

Montrer qu’il existe {A} tel que {f(M)=\operatorname{tr}(AM)}.

En déduire que tout hyperplan contient une matrice inversible.