Soit {f:I\to\mathbb{R}}.

Si {f} est {C^1}, montrer que {f'(I)} est un intervalle.

Donner une fonction dérivable non {C^1}.

Si {f} est seulement dérivable, montrer que {\left\{(x,y)\in I^2:x\lt y\right\}} est connexe par arcs et en déduire que {f'(I)} est encore un intervalle. La partie entière possède-t-elle une primitive sur {\mathbb{R}} ?

1) Si {f} est somme d’une série entière sur {\mathbb{R}} et {f(0)=0}, montrer qu’il existe une unique fonction entière {g} avec {f(x)=xg(x)}.

2) Montrer que {\mathcal A} contient les constantes et calculer leur dérivée par {d}.

3) Pour {\mathcal A=C^0(\mathbb{R})}, montrer {d(f)(x_0)=0} si {f(x_0)=0}, puis {d=0}.

4) Caractériser les dérivations de {C^\infty(\mathbb{R})}.

Étudier {f(x)=2x/(1+e^x)} sur {]0,+\infty[} ; noter {\alpha} son point de maximum.

Pour {0\lt x\leq\alpha}, montrer qu’il existe un unique {\varphi(x)\geq\alpha} avec {f(\varphi(x))=f(x)}.

Montrer sa continuité et déterminer sa limite et un équivalent en zéro.

Soit {f(x)=1/x-x}.

Étudier variations, limites, asymptotes et réciproques {g_+,g_-} sur les demi-droites positive et négative.

Tracer sur {[-5,5]} et programmer les itérés {u_n(x)=f^n(x)}.

Montrer que {g_\pm} sont {1}-lipschitziennes et que leurs carrés par composition sont contractants.

Si {A} est l’ensemble des points où tous les itérés sont définis, montrer que {A} possède une infinité de points de chaque signe.

1) Si {f'} est strictement monotone sur un intervalle {I}, montrer que {f} prend une même valeur au plus deux fois sur {I}.

2) Poser {\Gamma=\left\{x\in\mathbb{R}:f''(x)=0\right\}}.

Montrer que, si {\Gamma\ne\varnothing}, il n’est ni majoré ni minoré.

3) Montrer que {\Gamma} est un intervalle et déterminer {f}.

1) Si {f} est dérivable sur {]a,b[}, avec {a,b} éventuellement infinis, et admet la même limite finie aux deux bornes, montrer que {f'} s’annule.

2) Pour {f(x)=e^{1/(x^2-1)}} sur {]-1,1[}, montrer que {f} est {C^\infty} et que {f^{(n)}(x)=P_n(x)f(x)/(x^2-1)^{2n}} ; déterminer le degré de {P_n}.

3) Combien {f^{(n)}} a-t-elle de zéros ?

a) Énoncer Rolle et l’étendre à une fonction dérivable sur {]a,b[} ayant une même limite finie aux deux bornes, éventuellement infinies.

b) Pour {f(x)=\exp(-1/(1-x^2))} sur {]-1,1[} : montrer {f\in C^\infty} et {f^{(n)}=P_n(x)f(x)/(1-x^2)^{2n}} avec {P_n} polynomial ; déterminer son degré et étudier le nombre de zéros de {f^{(n)}}.

a) Sur un segment réel, montrer que ces deux espaces coïncident.

b) Montrer la stabilité de la continuité uniforme par composition.

Qu’en est-il du produit ?

c) Montrer qu’une fonction réelle continue périodique est uniformément continue.

a) Démontrer le théorème des accroissements finis.

b) Si {f\in C^\infty(\mathbb{R}_+)} et {u_n=f(n)}, montrer que pour tout {n\ge0}, {p\ge1}, il existe {x\in]n,n+p[} tel que {(\Delta^pu)_n=f^{(p)}(x)}.

a) Montrer que {f(x)=e^{-1/x^2}} si {x\ne0}, {f(0)=0}, est {C^\infty}.

Est-elle analytique en {0} ?

b) Si {f\in C^\infty} et {|f^{(n)}(x)|\le Ca^nn!} pour {|x|\le\delta}, montrer qu’elle est analytique en {0}.

c) Étudier la réciproque.

1) Définir la continuité uniforme sur {\mathbb{R}}.

2) Montrer qu’une fonction continue périodique est uniformément continue.

3) Montrer qu’une telle fonction non constante possède une plus petite période positive {P(f)}.

4) Donner un contre-exemple sans continuité.

5) Pour {f,g} continues périodiques non constantes, montrer que {f+g} est périodique exactement lorsque {P(f)/P(g)\in\mathbb{Q}}.

1) (i) Énoncer Taylor-Lagrange à tout ordre.

(ii) Montrer que {S} est définie.

2) Si {\sum\limits|a_n|\lt \infty} et {\ell=0} : (i) montrer la continuité ;

(ii) pour {m\geq1}, montrer {T^{-1}\int_0^TS(x)\cos(x/m)dx\to0} ;

(iii) montrer {a_m=0}.

3) Traiter le cas général.

1) Montrer que {\varphi\in C^\infty(\mathbb{R})} et calculer ses dérivées en zéro.

2) Soit {E} l’ensemble des {f\in C^\infty(\mathbb{R})} dont la série de Taylor {\sum\limits f^{(n)}(0)x^n/n!} converge pour tout réel {x}.

Montrer que {E} est un espace vectoriel stable par produit.

3) Montrer que {T(f)=f-\sum\limits f^{(n)}(0)X^n/n!} est un projecteur sur {E}, différent de zéro et de l’identité.

a) Montrer {|f'(x)|\le2M_0/a+aM_2/2}, puis en déduire {M_1^2\le2M_0M_2}.

b) Si {M_{2n}\le K_1(2n)!R^{2n}} pour tous {n}, montrer une borne {M_{2n+1}\le K_2(2n+1)!R^{2n+1}} et l’analyticité près de {0}.

a) Pour {\alpha>1}, montrer qu’elle est dérivable et la déterminer.

b) Pour {0\lt \alpha\lt 1}, montrer que {x^\alpha} est {\alpha}-höldérienne.

c) Montrer que {f(0)=0}, {f(x)=1/(-1+\ln x)} pour {x>0} n’est pas {\alpha}-höldérienne.

a), b), c), d), e), f), g) a) Montrer que {f} est continue et dérivable.

b) Tracer {f'} ; {f} est-elle {C^1} ?

c) Calculer {g'(0)} et montrer que {g(x)>g(0)} pour {x>0} assez petit.

d) Tracer {g,g'} près de {0} ; {g} y est-elle croissante ?

e) Calculer {h'(0)} ; {h} est-elle croissante près de {0} ?

f) Étudier {h'(1/u_n)} pour {u_n=2n\pi+\alpha/n}, avec {\alpha} bien choisi.

g) Tracer ces valeurs aux indices {30+10n}, {0\leq n\leq17}.

h) {f} est-elle lipschitzienne sur {[0,1]} ?

Est-ce vrai de toute fonction dérivable ?

i) Montrer que {F(x)=\sum\limits_{n\geq1}n^{-2}f(x-1/n)} est dérivable sur {[0,1]}.

a) Donner domaine, continuité et régularité {C^1} de {\arcsin}.

b) Étudier domaine et continuité de {\varphi(t)=\arcsin(2t/(1+t^2))} ; tracer.

c) Donner ses maxima.

d) Étudier sa dérivabilité.

e) Pour {f(x,y)=\varphi(xy)}, donner domaine, continuité et domaine {C^1} ; tracer.

f) Donner les maxima de {f}.

a) Montrer que les points où le plan tangent passe par {A=(0,4a,4a)} forment une courbe plane {\Gamma}.

b) Pour {L=E\cap\left\{z=2a\sqrt2\right\}}, vérifier la paramétrisation {(a\sqrt2\cos t,2a\sin t,2a\sqrt2)}.

c) Paramétrer la réunion {S} des normales à {E} aux points de {L}, et préciser {S\cap\left\{z=0\right\}}.

1) Montrer que {f} est définie et de classe {C^1} sur {\mathbb{R}}.

2) Étudier ses variations.

1) Rappeler la formule de Taylor avec reste intégral.

2) Montrer que somme et produit de deux fonctions absolument monotones le sont encore.

3) Soit {f} absolument monotone sur {[0,R[}, {R>0}.

Pour {R_n(x)=f(x)-\sum\limits_{k=0}^nf^{(k)}(0)x^k/k!}, montrer que {R_n(x)/x^n} croît sur {]0,R[}.

En déduire que la série de Taylor converge simplement vers {f} sur {[0,R[}.