1) Calculer {|\mathcal P_d|}.

2) La fonction suivante construit-elle quels objets ?

Tracer ensemble {W_1,\ldots,W_7} et les courbes {\frac{|z|}{1-|z|}=\left|\frac{2-z}{1-z}\right|, \qquad\frac1{|z|-1}=\left|\frac{2z-1}{z-1}\right|.}

3) Montrer que {W} est stable par conjugaison et inversion.

4) Pour {z\in W}, {|z|\lt 1}, poser {Q(z)=P(z)-1-\frac12\sum\limits_{k\geq1}z^k}.

Montrer {|Q(z)|\leq |z|/[2(1-|z|)]} et en déduire {|z|/(1-|z|)\geq|(2-z)/(1-z)|}.

5) En déduire pour {|z|>1} l’inégalité correspondante {1/(|z|-1)\geq|(2z-1)/(z-1)|}.

6) Résoudre l’égalité de la première courbe sur {]-1,1[}.

Soit {P\in\mathbb{R}[X]} positif ou nul sur {\mathbb{R}}.

Montrer que son coefficient dominant est positif et que ses racines réelles sont de multiplicité paire.

Montrer qu’il s’écrit {A^2+B^2}, avec {A,B\in\mathbb{R}[X]}.

Quels sont les polynômes {Q} positifs ou nuls sur {[-1,1]} ?

1) Vérifier que {\mathbb{Z}[X]} et {M_n(\mathbb{Z})} sont des sous-anneaux de {\mathbb{C}[X]} et {M_n(\mathbb{C})}.

2) Pour {P\in\mathbb{Z}[X]} unitaire de degré {n}, exhiber une matrice entière de polynôme caractéristique {P}.

3) Si les racines de {P} sont {\lambda_i}, montrer que {\prod\limits_i(X-\lambda_i^q)\in\mathbb{Z}[X]} pour tout {q\geq1}.

4) Si toutes les racines ont un module au plus {1}, montrer que les racines non nulles sont des racines de l’unité.

1) Programmer et tracer {P_n(t)}, comparer à {\sin t/t}.

Exprimer {P_n(\pi/2)} avec des factorielles et prouver sa limite {2/\pi}.

2) Poser {Q_p(X)=(-1)^p\sum\limits_{k=0}^p\binom{2p+1}{2k+1} X^{2k+1}(X^2-1)^{p-k}}.

Programmer ces polynômes et leurs racines jusqu’à {p=6}.

Montrer {Q_p(\sin\theta)=\sin((2p+1)\theta)} et en déduire {\sin((2p+1)\theta)=(-1)^p4^p \prod_{k=-p}^p\left(\sin\theta-\sin\frac{k\pi}{2p+1}\right).}

3) En déduire {P_n(t)\to\sin t/t} pour {t\ne0}.

1) Montrer que {T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)}.

2) Montrer que {T_n\circ T_m=T_m\circ T_n}.

3) Pour {n\geq m}, montrer que {2T_nT_m=T_{n+m}+T_{n-m}}.

4) Montrer que {\pm T_n} résolvent {(E):\ (1-x^2)P'(x)^2=n^2(1-P(x)^2)} sur {\mathbb{R}}.

5) Montrer que tout polynôme solution est de degré {n}, puis déterminer les solutions.

1) Définir la multiplicité d’une racine et la caractériser avec les dérivées.

2) Pour {P\in\mathbb{C}[X]\setminus\left\{0\right\}}, exprimer {P'/P} avec les racines.

3) Si {P} ne s’annule pas sur {|z|=r}, montrer que {N_r(P)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{P'(re^{it})}{P(re^{it})}re^{it}\,dt}est le nombre de racines, avec multiplicité, dans {|z|\lt r}.

a) Définir {P\circ Q} pour {P,Q\in\mathbb{C}[X]} et préciser son degré.

b) Montrer que seuls les polynômes de degré {1} sont inversibles pour la composition.

c) Pour {P=X^2+\alpha}, montrer qu’il existe au plus un polynôme de degré {n} qui commute avec {P}.

a) Montrer que tout idéal non nul de {\mathbb{Q}[X]} est de la forme {\mu\mathbb{Q}[X]}.

b) Pour {\lambda\in\mathbb{C}}, montrer que {I_\lambda=\left\{P\in\mathbb{Q}[X]:P(\lambda)=0\right\}} est un idéal.

c) Montrer que les racines d’un irréductible de {\mathbb{Q}[X]} sont simples.

d) Si {\lambda} est racine de {P\in\mathbb{Q}[X]} de multiplicité {m>\deg P/2}, montrer {\lambda\in\mathbb{Q}}.

a) rappeler les relations coefficients-racines, montrer {|a_k|\le\binom nk}, puis que {S_n} est fini.

b) Montrer que {P} est le polynôme caractéristique de sa matrice compagnon, à sous-diagonale {1} et dernière colonne {(-a_0,\ldots,-a_{n-1})}.

c) Pour tout {p\in\mathbb{N}}, trouver {Q_p\in S_n} s’annulant aux {z_i^p}.

Conclure que les racines non nulles ont module {1}.

a) Formuler et prouver le cas d’égalité du théorème des accroissements finis. Soit {\mathcal E} l’ensemble des polynômes de coefficients dans {\left\{-1,0,1\right\}} et {A} leurs racines réelles.

b) Montrer que {A\setminus\left\{0\right\}} est stable par opposition et inversion, puis que {A\cap]2,\infty[=\varnothing} et {A\subset]-2,-1/2[\cup\left\{0\right\}\cup]1/2,2[}.

c) Montrer {\overline A=[-2,-1/2]\cup\left\{0\right\}\cup[1/2,2]}.

1) Montrer que {\omega(\xi)} divise {n}.

2) Si {n} est premier, exprimer {(X-1)F_n} et {F_n}.

3) Si {A,B\in\mathbb{Q}[X]}, {AB\in\mathbb{Z}[X]} et {A\in\mathbb{Z}[X]} est unitaire, montrer que {B\in\mathbb{Z}[X]}.

4) Montrer que {F_n\in\mathbb{Z}[X]} pour tout {n}.

5) Calculer {F_n(1)}.

1) Montrer que {\deg(A+B)\leq\max(\deg A,\deg B)} et donner un cas strict.

On suppose ensuite {A,B} sans racine commune, {C=A+B}, et {A,B,C} non constants ; soit {W=A'B-AB'}.

2) Si {z} est racine de multiplicité {m} de {ABC}, montrer qu’elle a multiplicité {m-1} dans {W}.

3) Si {\mu} est le nombre de racines distinctes de {ABC}, montrer que {\mu\geq\deg A+\deg B+\deg C-\deg W}.

4) En déduire {\mu>\max(\deg A,\deg B,\deg C)}.

1) Rappeler la définition d’un polynôme irréductible sur un corps et d’Alembert-Gauss.

2) Pour {P\in\mathbb{R}[X]\setminus\left\{0\right\}} positif ou nul sur {\mathbb{R}}, montrer que ses racines réelles ont multiplicité paire et son coefficient dominant est positif, puis {P=A^2+B^2} avec {A,B} réels.

3) Pour {Q\ne0} positif ou nul sur {[-1,1]} : (i) si {\deg Q\leq2}, montrer que {Q=a(X-\lambda)^2+b(1-X^2)} avec {a,b\geq0}, {\lambda\in[-1,1]} ;

(ii) montrer en général que {Q=A^2+(1-X^2)B^2}.

1) Préciser le nombre de racines réelles de {P} en fonction de {\omega}.

2) Montrer que {P} admet au moins une racine de module {1}.

3) Vérifier que toute racine {z} de {P} vérifie {|z|\leq1+|\omega|}.

1) Montrer que {(P_0,\ldots,P_n)} est une base de {\mathbb{R}_n[X]}.

2) Soient {a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{R}}, {b_1,\ldots,b_n\in\mathbb{N}^\star} et {b_0=0}. On suppose que {Q=\sum\limits_{i=0}^na_iX^{b_i}=(1-X)^nP}, avec {P\in\mathbb{R}[X]}.

Exprimer {\sum\limits_{i=0}^na_iP_k(b_i)} pour {0\leq k\leq n}.

3) On pose {B_i=(1,b_i,\ldots,b_i^n)} et {\mu=(-1)^nn!P(1)}.

Exprimer {S=\sum\limits_{i=0}^na_iB_i} en fonction de {\mu}.

1) Écrire une fonction renvoyant la matrice {\begin{pmatrix} a_0&1&0&\cdots&0\\[4pt] 0&a_1&1&\ddots&\vdots\\[4pt] \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\[4pt] 0&\cdots&0&a_{n-1}&1\\[4pt] \mu_0&\cdots&\cdots&\mu_{n-1}&\alpha \end{pmatrix}.}

2) Résoudre {FL(2)} et montrer que la condition nécessaire et suffisante est {a_0+a_1=\lambda_0+\lambda_1}.

3) Résoudre {FL(3)} pour {(a_0,a_1,a_2)=(1,-1,0)} et {(\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2)=(1,2,-3)}.

4) Pour {0\leq k\leq n-1}, poser {P_k=\prod\limits_{i=0}^{k-1}(X-a_i)}.

5) Justifier que {(P_0,\ldots,P_n)} est une base de {\mathbb{R}_n[X]}, puis qu’il existe {\mu_0,\ldots,\mu_{n-1}} tels que {\prod_{k=0}^{n-1}(X-\lambda_k) =P_n-\sum_{k=0}^{n-1}\mu_kP_k.}

6) Programmer le calcul de {[P_0,\ldots,P_n]}.

7) Programmer le calcul des {\mu_k}.

1) Exprimer {(\Delta^pu)_n} par une somme.

2) Le calculer pour une suite géométrique.

3) Si {u_n=f(n)}, {f\in C^\infty(\mathbb{R})}, montrer que {(\Delta^pu)_n=f^{(p)}(x)} pour un {x\in]n,n+p[}.

a) Déterminer degré et parité de {P_n}.

b) Montrer {P_n(z+1/z)=z^n+z^{-n}} pour {z\in\mathbb{C}^\star}.

c) Montrer que {P_n} est scindé réel à racines simples pour {n\ge1}.

a) Montrer qu’il existe un unique {T_n\in\mathbb{R}[X]} tel que {T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)} pour tout réel {\theta}.

b) Calculer {T_0,T_1,T_2,T_3}.

c) Donner son degré et son coefficient dominant.

d) Montrer que {(X^2-1)T_n''+XT_n'-n^2T_n=0}.

e) Expliciter ses coefficients.

a) Donner une condition nécessaire et suffisante d’unicité de la solution.

b) Montrer que {x_j=\det A_j/\det A}, où {A_j} est obtenue en remplaçant la colonne {j} de {A} par {B}.

c) Supposer {(1-X)^nP(X)=\sum\limits_{i=0}^na_iX^{b_i}}, avec {a_0=1}, {b_0=0} et {0\lt b_1\lt \cdots\lt b_n} entiers.

Montrer que {\sum\limits a_ib_i^p=0} pour {0\leq p\lt n} et {\sum\limits a_ib_i^n=(-1)^nn!P(1)}.

d) Montrer que {P(1)=b_1\cdots b_n/n!} et exprimer les {a_i}.

1) Pour {P\in\mathbb{C}[X]}, justifier {S_P=\sup_{z\in D}|P(z)|}.

2) Si {P=1+\alpha X^n}, {n\geq1}, montrer que {S_P=1} entraîne {\alpha=0}.

3) Si {S_P=|P(0)|}, montrer que {P} est constant.

a) Trouver les {P\in\mathbb{R}[X]} tels que {P(X^2)=(X^3+1)P(X)}.

b) Trouver les {P\in\mathbb{R}[X]} tels que {P(X^2)=P(X)P(X-1)}.

a) Pour {k} impair, montrer qu’il existe {P\in\mathbb{R}[X]} avec {P(A^k)=A}.

b) Donner une condition sur les valeurs propres pour obtenir {P(A^2)=A}.

1) Soient {A,B\in\mathbb{R}[X]} et {P=A^2+B^2}.

(i) Montrer que {P} est nul ou de degré pair, de coefficient dominant strictement positif.

(ii) Les polynômes {X^4-X^2+1} et {X^4-1} peuvent-ils s’écrire ainsi ?

(iii) Que dire des racines de {P} et de leurs multiplicités ?

2) Montrer que tout {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(x)\geq0} pour tout réel {x} s’écrit {A^2+B^2}, avec {A,B\in\mathbb{R}[X]}.