1) Pour {\sigma} fixée, montrer que {P\sim Q} si {Q=\sigma^k\bullet P} pour un {k\in\mathbb{Z}} définit une équivalence.

2) Si {\sigma} est un {p}-cycle, {p} premier, montrer que les classes ont pour cardinal {1} ou {p}.

3) Sur les partitions de {\left\{1,\ldots,n+p\right\}}, prendre {\sigma=(1,\ldots,p)}.

Montrer qu’une partition fixe contient soit une partie contenant {\left\{1,\ldots,p\right\}}, soit tous les singletons {\left\{1\right\},\ldots,\left\{p\right\}}.

En déduire {B_{n+p}\equiv B_n+B_{n+1}\pmod p}.

1) Montrer que {G_d} est un sous-groupe.

2) Montrer que {(x_1,\ldots,x_r)\mapsto x_1\cdots x_r} est un isomorphisme de {\prod\limits_iG_{p_i^{\alpha_i}}} sur {G}.

3) On suppose {|G_d|\leq d} pour tout {d\mid n}.

Montrer qu’il existe un élément d’ordre {p_i^{\alpha_i}} pour chaque {i}, puis que {G} est cyclique.

1) Montrer que cet ensemble est un sous-anneau si et seulement si {\omega^2=\alpha\omega+\beta} avec {\alpha,\beta\in\mathbb{Z}}.

2) Dans ce cas, montrer que {\mathbb{Z}[n+\omega]=\mathbb{Z}[\omega]} pour {n\in\mathbb{Z}} et que l’anneau est stable par conjugaison.

3) Construire {\omega'} engendrant le même anneau, avec {\operatorname{Im}\omega'>0} et {0\leq\operatorname{Re}\omega'\lt 1}.

Expliciter l’ensemble des {\omega'} possibles et montrer qu’il est dénombrable.

1) Montrer que {\mathbb{N}^\star}, {\mathbb{N}^2} et {\mathbb{Q}} sont dénombrables.

2) Un complexe est algébrique s’il annule un polynôme non nul de {\mathbb{Q}[X]}.

Montrer que leur ensemble {\mathcal A} est dénombrable, que {z} est algébrique si et seulement si {\mathbb{Q}[z]} est de dimension finie sur {\mathbb{Q}}, puis que {\mathcal A} est un sous-corps.

3) Trouver un polynôme annulateur de {\sqrt2+\sqrt[3]5}.

1) Montrer que {f_A:k\mapsto k1_A} est l’unique morphisme d’anneaux de {\mathbb{Z}} vers {A}, et que {\ker f_A=k_A\mathbb{Z}} pour un {k_A\in\mathbb{N}}.

2) Si {A} est un corps, montrer que {k_A} vaut zéro ou est premier.

Étudier la réciproque.

3) Si {A} est un corps fini d’ordre {p^n}, montrer que {\phi:x\mapsto x^p} est un automorphisme et déterminer son ordre.

1) {\mathbb{Z}} et {\mathbb{R}[X]} sont-ils noethériens ?

2) Montrer l’équivalence avec la stationnarité de toute suite croissante d’idéaux.

On note {GL_n(\mathbb{Z})} l’ensemble des matrices réelles inversibles dont la matrice et l’inverse sont entiers.

Montrer que ce sont exactement les matrices entières de déterminant {\pm1}.

Si {M^d=I} et {A=(M-I)/3}, étudier {(A^k)}.

En déduire une borne du cardinal des sous-groupes finis de {GL_n(\mathbb{Z})}.

Déterminer les morphismes de groupes continus {\phi:\mathbb{U}\to GL_n(\mathbb{C})}.

Pour {\widetilde\phi(t)=\phi(e^{it})}, montrer que {\alpha^{-1}\int_0^\alpha\widetilde\phi(t)dt\to I}, puis que {\widetilde\phi} est dérivable et s’écrit {e^{tA}}. Conclure.

1) Définir un automorphisme et montrer que {\varphi:x\mapsto x^{-1}} est un automorphisme.

Montrer que {x^2=e} pour tout {x\in G}.

2) Montrer que {G} possède un sous-groupe {V} d’ordre quatre et préciser les automorphismes de {V}.

1) {\mathbb{Z}} et {\mathbb{R}[X]} sont-ils noethériens ?

2) Montrer que cela équivaut à la stationnarité de toute suite croissante d’idéaux.

3) Dans un anneau non commutatif, on appelle idéal à gauche un sous-groupe additif {I} vérifiant {AI\subset I}, et définit symétriquement les idéaux à droite.

Si tous les idéaux des deux côtés sont de type fini, montrer {\forall a\in A,\quad (\exists b,\ ab=1)\Longleftrightarrow(\exists b,\ ba=1).}On pourra considérer {\varphi:x\mapsto ax}.

1) Dans un groupe fini commutatif, quel est l’ordre de {ab} si les ordres de {a} et {b} sont premiers entre eux ?

2) Montrer qu’il existe un élément dont l’ordre est le ppcm des ordres des éléments.

3) Pour {p} premier, montrer que {\mathbb{F}_p^\star} est cyclique.

a) Montrer que l’ensemble des morphismes {G\to H} est fini.

b) Pour {a\in\ker f}, trouver {b_n} tel que {f^n(b_n)=a} et calculer {g(f^m(b_n))} pour {m>n}.

c) Montrer {\ker f\subset\ker g}.

d) Montrer que {\Gamma=\left\{M\in M_2(\mathbb{Z}):\det M=1\right\}} est un groupe engendré par {S=\begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}} et {T=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&1\end{pmatrix}}.

e) Montrer que tout endomorphisme surjectif de {\Gamma} est bijectif.

a) Rappeler les définitions d’une {\mathbb{K}}-algèbre et d’un endomorphisme de {\mathbb{K}}-algèbre.

b) Pour un tel endomorphisme {\varphi} de {\mathbb{K}(X)}, montrer {\varphi(X)\ne0}.

c) Déterminer les endomorphismes de {\mathbb{K}(X)}.

d) Déterminer ses automorphismes.

a) Rappeler les axiomes d’un groupe, la définition d’une différentielle et son lien avec les dérivées partielles dans le cas {C^1}.

b) Soit {*} une loi de groupe sur {\mathbb{R}}, de neutre {e}, telle que {f(x,y)=x*y} soit {C^1}.

Montrer {\partial_2f(x*y,e)=\partial_2f(x,y)\partial_2f(y,e)}, puis {\partial_2f(y,e)>0}.

c) Construire un difféomorphisme {C^1} {\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} tel que {\varphi(x*y)=\varphi(x)+\varphi(y)}.

1) Montrer que {\widehat G} est un groupe multiplicatif et que ses éléments sont à valeurs dans {\mathbb{U}_n}.

2) Si {G} est cyclique, montrer que {G\simeq\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} et {\widehat G\simeq G}.

3) Si {G} est abélien, {H} un sous-groupe et {\xi\in\widehat H}, montrer qu’il existe {\chi\in\widehat G} tel que {\chi_{|H}=\xi}.