Déterminer ses points critiques et les lieux de ces extrema.

Déterminer les extrema de {f(x)=\varphi(x)e^{-\lVert x\rVert^2}}.

Montrer sa continuité et étudier ses extrema.

Montrer l’existence et déterminer minimum et maximum.

Étudier continuité et extrema.

Montrer que {f} n’admet pas d’extremum local.

2) On suppose {\Delta f\geq0}.

Montrer que {\max_Kf=\max_{\operatorname{Fr}(K)}f}.

2) Déterminer le minimum global de {f}.

3) Soit une suite convergente de vecteurs non nuls telle que {X_{k+1}=X_k-\frac{\lVert \nabla f(X_k)\rVert}{X_k^TAX_k}\nabla f(X_k)}.

Déterminer sa limite.

Calculer {dg}, montrer que {g} admet un minimum et en déduire la surjectivité de {f}.

Montrer que {f} est convexe si et seulement si {f(y)-f(x)\geq df_x(y-x)}.

Que devient cette caractérisation pour {n=1} ?

2) Pour {\alpha,\beta\in\mathbb{R}}, soit {E=\left\{f\in C^1([0,1]):f(0)=\alpha,f(1)=\beta\right\}}.

Montrer que {\Phi(f)=\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx} atteint son infimum en un unique élément de {E}, à préciser.

2) Montrer que {h} atteint son minimum en une matrice {M_0}.

3) Pour {H\perp\nabla g(M_0)}, construire un chemin {C^1} dans {SL_n} de valeur {M_0} et de dérivée {H} en {0}.

4) Montrer {(\nabla f(M_0))^\perp=(\nabla g(M_0))^\perp}.

5) Calculer le minimum.

Montrer que {f} est convexe si et seulement si, pour tous {x\in\mathbb{R}} et {r\ge0}, {2rf(x)\le\int_{x-r}^{x+r}f(t)\,dt}.

Montrer que toute fonction {C^2} sur {I} est la différence de deux fonctions convexes.

Montrer qu’il existe {x_n} avec {f(x_n)\le m+2^{-n}} et {|x_n|\ge n}.

En déduire l’existence de {u_n} tels que {|u_n|\to\infty} et {f'(u_n)\to0}.

2) Pour {p\ge2} et {f\in C^1(\mathbb{R}^p,\mathbb{R})} minorée, montrer que {g_\varepsilon(x)=f(x)+\varepsilon\lVert x\rVert} atteint son minimum.

En déduire une suite {u_n} avec {\nabla f(u_n)\to0}.

2) En déduire que {f} admet un minimum.

2) Déterminer ses extrema locaux.

3) En étudiant sa restriction à {K=\left\{(x,y)\in D:x,y\in[0,7/9],\ x+y\ge2/9\right\}}, déterminer ses extrema globaux.

Étudier les extrema de {f(x)=\varphi(x)e^{-\lVert x\rVert^2}}.

2) Montrer que {f} admet un minimum global.

2) Montrer que {\langle f(x),x\rangle>0} pour {x\ne0}.

3) Montrer que {g(x)=\tfrac12\langle f(x),x\rangle-\langle v,x\rangle} est {C^1}.

4) Calculer ses dérivées partielles dans la base propre et son gradient.

5) Montrer qu’elle a un unique point critique {c}.

6) Montrer que {c} est un minimum global.

Existe-t-il d’autres extrema locaux ?

2) Si {\Delta f=0}, montrer que les minimum et maximum sur {\overline B} sont ceux sur {S}.

Montrer que {x\mapsto\langle Ax,x\rangle} est convexe sur {\mathbb{R}^n} et étudier sa stricte convexité.

Montrer que {f} est convexe si et seulement si, pour tous {x\lt y}, {f((x+y)/2)\le\frac1{y-x}\int_x^yf(t)\,dt.}

Quelles fonctions sur {[a,b]} sont limites uniformes de polynômes {p_n} tels que {p_n''(x)\ge0} pour tout {x\in[a,b]} ?

Déterminer ses extrema et leur nature.

Déterminer les extrema de {\varphi(x,y)=\sin x\sin y\sin(x+y)} sur {D}.

Montrer que {g(x)=f(x)e^{-\lVert x\rVert^2}} atteint un minimum et un maximum.

Si {g_1,g_2} sont différentiables sur {U}, montrer que {f} est différentiable en {x_0}.

Montrer qu’elle est {C^2}.

Pour {z_1,z_2\in C}, montrer que {\Psi(t)=\Phi(tz_1+(1-t)z_2)} est concave et que {\Psi''} ne s’annule pas.

Si {C} est bornée, montrer qu’elle contient un unique point critique de {\Phi} et préciser sa nature.

Montrer que {f(x)\ge f(0)+\langle\nabla f(0),x\rangle+\lVert x\rVert^2/2}, puis que {f} possède un minimum.

Que se passe-t-il si le gradient est nul ?

Montrer que {f(x,y)=x^ay^b(1-x-y)^c} admet des extrema sur {D} et les calculer.

Montrer l’existence d’extrema locaux et les déterminer.

2) Montrer qu’elle est bornée sur {D=\left\{|z|\leq1\right\}} et déterminer son maximum.

Montrer que {\sin a\sin b\sin c\leq1/8}.