On lance une pièce avec probabilité {p\in]0,1[} de Pile jusqu’au premier Pile, de rang {Z}. On tire ensuite uniformément un numéro {X} entre {1} et {Z}.

Déterminer sa loi, son espérance et sa variance.

Deux dés identiques indépendants ont une somme de même loi que celle de deux dés équilibrés indépendants.

Montrer que les dés sont équilibrés.

{N\geq1} passagers choisissent indépendamment et uniformément un étage parmi {m\geq1}. Soit {Y_{ij}} l’indicatrice du choix de l’étage {i} par le passager {j}, {X_i} celle d’un arrêt à cet étage et {X} le nombre d’arrêts.

Déterminer leurs lois, {\mathbb E(X)}, puis la loi de {X} avec les nombres {s_{n,p}} de surjections d’un ensemble à {p} éléments sur un ensemble à {n} éléments.

Pour {f\in C^1([0,1],\mathbb{R}_+)}, poser {p_n=\int_0^1t^nf(t)\,dt}.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que {(p_n)} soit une loi sur {\mathbb{N}}.

L’hypothèse {C^1} est-elle nécessaire ?

Deux lustres {A,B} possèdent {m,n\geq1} lampes. Chaque lampe de {A} a une probabilité quotidienne {p} de panne, et chaque lampe de {B} une probabilité {p'}.

Déterminer la probabilité que les premières pannes des deux lustres aient lieu le même jour, puis que toutes les lampes de {B} soient en panne alors que toutes celles de {A} fonctionnent encore.

Soit {X\sim\mathcal B(n,p)} et {Y\sim\mathcal B(m,q)} indépendantes, {n,m\geq1}. Montrer que, pour {0\lt p,q\lt 1}, {X+Y} est binomiale si et seulement si {p=q}.

Étudier également les cas où un paramètre vaut zéro ou un.

Soit {(X_n)} i.i.d. de Bernoulli de paramètre {p\in]0,1[}. Soit {Y} la longueur de la première suite de résultats identiques et {Z} la longueur de la suite identique immédiatement suivante.

Déterminer leurs lois et espérances.

Pour un nombre premier {p}, calculer le cardinal des carrés de {\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}.

Soit {A,B} uniformes sur ce corps et {N} le nombre de solutions de {x^2+Ax+B=0}.

Déterminer la loi, l’espérance et la variance de {N} dans le modèle où {A,B} sont indépendantes.

Soit {X} réelle discrète et {a,b\in\mathbb{R}}, avec {X} de même loi que {aX+b}.

Que peut-on dire de {X} ?

Soit {(X_n)} i.i.d. à valeurs {\pm1}, avec {\mathbb{P}(X_n=1)=p\in]0,1[}, et {S_n=\sum\limits_{j=1}^nX_j}.

Montrer que {0} maximise la loi de chaque {S_{2n}} si et seulement si {p=1/2}.

Soit {X_1,\ldots,X_n} i.i.d. géométriques de paramètre {p} sur {\mathbb{N}^\star}.

Déterminer la loi de {S_n=\sum\limits X_i} et les indices où sa probabilité est maximale.

Pour {X} de variance finie et {\lambda>0}, montrer {\mathbb{P}(X\geq \mathbb E(X)+\lambda) \leqVX/(V(X)+\lambda^2)}.

Si les {X_n} sont indépendantes, centrées, de variance au plus {1}, poser {N=\inf\left\{n\geq1:X_n\leq1\right\}}.

Montrer que {e^{aN}} est intégrable pour {0\leq a\lt \log2}.

Soit {(X_k)} i.i.d. de Rademacher et {S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k}.

Montrer {\mathbb E(e^{tS_n})\leq e^{nt^2/2}} pour {t\geq0}, puis {\mathbb{P}(|S_n|\geq a)\leq2e^{-a^2/(2n)}} pour {a>0}.

Soit {(X_n)} i.i.d. géométriques de paramètre {p}.

Montrer que {\max_{k\leq n}X_k/\log n} converge en probabilité vers une constante à déterminer.

Soit {X} de loi {\mathbb{P}(X=k)=\binom{k-1}{n-1}p^n(1-p)^{k-n}}, {k\geq n}, avec {n\geq1}, {0\lt p\lt 1}.

Déterminer la loi de la somme de {n} géométriques indépendantes de paramètre {p}, puis calculer {\mathbb E(X)} et {V(X)}.

Une urne contient {n\geq1} boules noires et {b\geq1} blanches. On les retire dans un ordre uniforme.

Déterminer la loi et l’espérance du rang {X} de la première noire.

Soit {E} de cardinal {n\geq2}.

Compter les couples de parties {(X,Y)} tels que {X\subseteq Y}.

On choisit deux fois indépendamment une partie uniforme des {n} boules d’une urne, avec remise entre les choix.

Calculer la probabilité qu’aucune boule ne soit choisie deux fois.

Soit {X,Y,Z} indépendantes géométriques de paramètres respectifs {p,q,r>0}.

Calculer {\mathbb{P}(Z\geq Y\mid Y\geq X)}.

Les événements {Y\geq X} et {Z\geq Y} sont-ils indépendants ?

Soit {\alpha>0}. Construire une variable {X} de support {\mathbb{N}} et de fonction génératrice {G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}} sur {[0,1]}.

Donner un équivalent de {\mathbb{P}(X=n)} en {+\infty} et montrer, pour {\lambda>0}, {\mathbb{P}(X\geq(\lambda+1)\alpha)\leq2/(\lambda^2\alpha)}.

On choisit uniformément {A\in\mathcal P(\left\{1,\ldots,n\right\})}.

Calculer la probabilité que {|A|} soit pair.

1) {A,B}, puis {A,C}, sont-ils indépendants ?

2) {A,B,C} sont-ils mutuellement indépendants ?

Un sac contient {n} jetons numérotés de {1} à {n}. On en tire {S}, où {S\sim\mathcal B(n,p)}, {0\lt p\lt 1}.

Quelle est la probabilité d’obtenir des numéros consécutifs ?

On lance une pièce de probabilité de pile {p\in]0,1[} jusqu’à obtenir un écart de deux entre les nombres de piles et de faces. Soit {X} le nombre de lancers.

Déterminer sa loi, sa finitude presque sûre et son espérance.

Dans une urne de proportion blanche {p\in]0,1[}, on tire avec remise. {X_n} est le nombre de tirages nécessaires pour obtenir {n} blanches.

Donner la loi et la fonction génératrice de {X_1}, puis celles de {X_n} et son espérance.

1) Probabilité que les impaires apparaissent dans l’ordre {1,3,\ldots,2n-1} ?

2) Si {X} compte les tirages nécessaires pour obtenir toutes les impaires, déterminer sa loi et son espérance.

Une urne contient {n\geq2} numéros, tirés avec remise. Soit {X} le rang du premier tirage dont le numéro est supérieur ou égal aux précédents.

Déterminer sa loi, son espérance et sa variance.

Le joueur {J_0} affronte {J_1}, puis le gagnant affronte {J_2}, etc. L’entrant gagne avec probabilité {p\in]0,1[}. Le jeu s’arrête dès qu’un joueur totalise trois victoires.

Si {A_n} signifie que le {n}-ième match est joué, déterminer {\lim P(A_n)}.

Une naissance donne fille ou garçon avec probabilités {1/2}. Dans une famille, {Z} est le nombre d’enfants et {X} celui des filles.

Montrer {G_X(t)=G_Z((1+t)/2)} pour {t\in[0,1]}.

Expliciter la loi de {X} lorsque {Z\sim\mathcal P(\lambda)}.

{X_1,X_2} sont indépendantes géométriques de paramètre {p\in]0,1[}.

Poser {Y=|X_1-X_2|}.

Calculer {P(Y=0)}, la loi, l’espérance et la variance de {Y}.

1) Déterminer la loi d’une somme de {n} géométriques indépendantes de paramètre {p}.

2) Un dé donne {6} avec probabilité {p}.

Déterminer la loi et l’espérance du rang {X} du {n}-ième {6}.

Pour {\sigma} uniforme dans {S_n} et {1\leq m\leq n}, poser {X_m=\min\left\{k:\sigma(k)\geq m\right\}} et {Y_m=\max\left\{k:\sigma(k)\geq m\right\}}.

Calculer leurs lois et leurs espérances.

Soit {X\sim\mathcal P(\lambda)}, {\lambda>0}, et {b\geq1} entier.

Déterminer la loi du reste {Y} de {X} modulo {b}.

Soient {X_k} i.i.d., {P(X_k=1)=p}, {P(X_k=-1)=1-p}, et {S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k}.

Montrer que {p=1/2} équivaut à {\max_{k\in\mathbb{Z}}P(S_{2n}=k)=P(S_{2n}=0)} pour tout {n\geq1}.

Soient {A,B,C} indépendantes, {A} de Rademacher, {B,C} géométriques de paramètre {p}.

Calculer les probabilités que {AX^2+BX+C^2} ait deux racines réelles distinctes, une seule racine réelle, aucune racine réelle.

Cette dernière probabilité peut-elle valoir {1/2} ?

Si oui, donner {p} à {10^{-1}} près.

Soit {X\sim\mathcal P(\lambda)} et {Y=X^2+1}.

Calculer {\mathbb E(Y)}, {P(2X\lt Y)} et comparer les probabilités que {X} soit pair ou impair.

Soit {M=\begin{pmatrix}A&b\\[4pt]b^T&c\end{pmatrix}}, avec {A} symétrique réelle.

Si son polynôme caractéristique possède une racine multiple, montrer que {M} a un vecteur propre {(v,0)^T}, puis que {Av=\lambda v} et {b^Tv=0}.

Soient {X_1,\ldots,X_5} Bernoulli indépendantes de paramètre {p} et {N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\[4pt]0&1&X_5&X_2\\[4pt]0&X_5&-1&X_3\\[4pt]X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}.}Montrer que la probabilité d’un spectre simple est au moins {3p^3-2p^4}.

Caractériser les couples {(X,a)}, où {X} est une variable aléatoire discrète complexe et {a\in\mathbb{C}}, tels que {X} et {aX} aient même loi.

Pour {\alpha>1}, munir {\mathbb{N}^\star} de la probabilité {P_\alpha(\left\{n\right\})=1/(\zeta(\alpha)n^\alpha)}.

Calculer {P_\alpha(m\mathbb{N}^\star)}, montrer l’indépendance mutuelle des événements {p_k\mathbb{N}^\star}, où {p_k} parcourt les nombres premiers, et en déduire {\zeta(\alpha)=\prod\limits_k(1-p_k^{-\alpha})^{-1}}.

Soient {X_i} i.i.d. géométriques de paramètre {p\in]0,1[}, {Y_n=\min_{i\leq n}X_i}, {Z_n=\max_{i\leq n}X_i}, {\alpha_n=\mathbb E(Y_n)}, {\beta_n=\mathbb E(Z_n)}.

Étudier leur monotonie, calculer {\alpha_n}, puis la limite et un équivalent de {\beta_n}.

{X,Y} indépendantes suivent des lois géométriques de paramètres {p,q}.

Quelle est la probabilité que {\begin{pmatrix}X&1\\[4pt]0&Y\end{pmatrix}} soit diagonalisable ?

Soit {X} géométrique de paramètre {p\in]0,1[} et {Y=\lfloor(X+1)/2\rfloor}.

Montrer que {Y} est géométrique et que {Y,2Y-X} sont indépendantes.

Soient {X_1,\ldots,X_n} i.i.d. uniformes sur {\left\{1,\ldots,d\right\}}. Pour {j\in\left\{1,\ldots,n\right\}}, poser {Y_j=|\left\{i\leq n:X_i=j\right\}|}.

Déterminer la loi de {Y_j} et {P(Y_i=k,Y_j=\ell)} pour {i\ne j}.

1) Montrer que {F_X} est bien définie et continue.

2) Calculer {\int_0^\infty F_X(t)\,dt} et justifier sa convergence.

3) Calculer {\mathbb E(1/(X+Y))} pour deux géométriques indépendantes de paramètre {p}.

4) Généraliser à {m} géométriques i.i.d.

Soient {X_n} i.i.d. uniformes sur {\left\{-1,2\right\}} et {S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k}, {S_0=0}. Pour {n\in\mathbb{Z}}, poser {p_n=P(\exists k\geq0:S_k=-n)}.

Exprimer la probabilité de retour en zéro après le départ à l’aide de {p_{-1},p_2}, établir une relation entre {p_{n+2},p_n,p_{n-1}}, puis déterminer {p_n}.

Soient {X_k} i.i.d. à valeurs dans {\left\{-1,1\right\}} et {S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k}.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que {\sum\limits_{n\geq1}P(S_n\in A)\lt \infty} pour toute partie finie {A\subset\mathbb{Z}}.

Soient {X_n} i.i.d. Bernoulli de paramètre {1/2} et {Z_n=\sum\limits_{k=0}^n2^{n-k}X_k}.

Déterminer sa loi, puis {\lim P(Z_n\geq3^n)} et {\lim P(Z_n\geq2^n)}.

1) Pour {X\geq0}, montrer {P(X\geq x)\to0}.

2) Si {\mathbb E(X)\lt \infty}, montrer {P(X\geq x)=o(1/x)}.

3) Pour des {X_i} i.i.d., poser {R_n=|\left\{X_1,\ldots,X_n\right\}|}.

Donner un équivalent de {\mathbb E(R_n)} pour la loi géométrique de paramètre {p}, puis montrer dans le cas général {\mathbb E(R_n)=o(n)}.

Soient {X_i} i.i.d. telles que {X_i+1} soit géométrique de paramètre {p}.

Pour {S_n=\sum\limits_{i=1}^nX_i}, déterminer la loi et {M_n=\max_{k\geq0}P(S_n=k)}, puis un équivalent de {M_n}.

Soient {X_k} i.i.d. géométriques de paramètre {p\in]0,1[}.

Déterminer {\alpha>0} tel que {\max_{k\leq n}X_k/\ln n} converge en probabilité vers {\alpha}.

Soit {g(t)=e^t/(1+e-t)}.

Montrer que {g} est la fonction génératrice d’une variable {X\in\mathbb{N}}. Pour des {X_{i,j}} i.i.d. de cette loi, déterminer la probabilité que la matrice strictement triangulaire supérieure {M=(X_{i,j})} ait un nombre fini de sous-espaces stables.

Soient {X_i} i.i.d. Bernoulli de paramètre {p}, {U=(X_1,\ldots,X_n)} et {M=U^TU}.

Déterminer les lois de {\operatorname{tr}M} et {\operatorname{rg}M}, puis la probabilité que {M} soit une matrice de projection.

1) Soient {X_1,\ldots,X_n} i.i.d. de Rademacher et {S=\sum\limits X_k}.

Montrer, pour {t\geq0}, {\mathbb E(e^{tS})\leq e^{-nt^2/2}}.

En déduire {P(|S|\geq a)\leq2e^{-a^2/(2n)}} pour {a>0}.

2) Généraliser à des variables i.i.d. discrètes centrées dans {[-1,1]}.

Déterminer la limite de {u_n=16^{-n}\sum\limits_{k=n}^{3n}\binom{4n}{k}}.

Un magasin a un stock de {N} produits. Le nombre de clients dans la journée suit une loi de Poisson de paramètre {\lambda} ; chaque client a une probabilité {p} d’acheter le produit.

Quelle est la probabilité de rupture de stock avant la fin de la journée ?

1) Donner la loi binomiale de {S_n}.

2) Montrer que {\mathbb{P}(\bigcup_{n\ge1}\left\{S_n=N\right\})=1}.

3) Pour {T_N=\inf\left\{n\ge1:S_n=N\right\}}, donner la loi et calculer l’espérance.

Une urne contient des boules numérotées de {0} à {n}. On en prend une poignée au hasard et on note les numéros obtenus. On effectue deux tirages indépendants.

Déterminer la loi du nombre {X} de numéros communs aux deux poignées.

Soient {m,n,p\ge1} avec {p\le\min(m,n)}. Une urne contient {m} boules mauves et {n} noires ; on tire simultanément {p} boules.

Quelle est la valeur la plus probable du nombre {X} de mauves ?

Une urne contient {a\ge1} boules blanches et {b\ge1} rouges. À chaque tirage, on remet la boule et on ajoute {c\ge1} boules de sa couleur. Soit {Y} le rang de la première blanche.

Donner sa loi. Admet-elle une espérance ? Un moment d’ordre {p\ge2} ?

1) Déterminer {M} tel que {U_{n+1}=MU_n}.

2) Pour {P(X)=\sum\limits_{k=0}^{2N}v_kX^k}, montrer que {V\in\ker(M-\lambda I)} équivaut à {\lambda P=XP-(1-X^2)P'/(2N)}.

3) Quand les {X_n} ont-ils tous la même loi ?

4) {M} est-elle diagonalisable ?

1) Montrer l’identité de Vandermonde {\sum\limits_{k=0}^n\binom ak\binom b{n-k}=\binom{a+b}n}, puis calculer {\mathbb{P}(E_n)}.

2) Combien de piles obtient-on en moyenne lorsque {E_n} est réalisé ?

Montrer que deux événements {A,B} sont indépendants si et seulement si {\mathbb{P}(A\cap B)\mathbb{P}(\overline A\cap\overline B) =\mathbb{P}(A\cap\overline B)\mathbb{P}(\overline A\cap B)}.

Soient {X,Y} indépendantes de loi géométrique de paramètre {1/2}.

Poser {U=\max(X,Y)} et {V=\min(X,Y)}.

Déterminer la loi de {(X,Y)}.

Soient {A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\[4pt]2&1&-2\\[4pt]1&-1&-1\end{pmatrix}} et {U=(X,Y,Z)^T}, avec {X,Z} indépendantes de loi {\mathcal G(p)}, {0\lt p\lt 1}, et {Y\sim\mathcal P(\lambda)}, {\lambda>0}, indépendante.

Calculer la probabilité que {U} soit un vecteur propre de {A}.

Soient {X_1,\ldots,X_n} i.i.d. à valeurs dans {\mathbb{R}_+^\star}.

Pour {1\le k\le n}, calculer {\mathbb E((X_1+\cdots+X_k)/(X_1+\cdots+X_n))}.

1) Calculer {\mathbb{P}(A_p)}, où {A_p} signifie « {p} divise {n} ».

2) Calculer {\mathbb{P}(A_2\cup A_3)}.

3) Pour {B=} « {n} est premier », montrer {13/32\lt \mathbb{P}(B)\lt 209/504}, puis donner une approximation à {10^{-2}} près.

Soient {A,B} indépendantes de loi géométrique de paramètre {p\in]0,1[}.

Calculer {\mathbb{P}(A^B\le B^A)}.

Soit {X\sim\mathcal P(\lambda)}, {\lambda>0}, et {p\ge1} entier.

Déterminer la loi de sa classe {Y} dans {\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}}.

Soient {(X_n)} i.i.d. de loi de Bernoulli {\mathcal B(p)} et {S_n=X_1+\cdots+X_n}.

Montrer que {p=1/2} si et seulement si, pour tous {n\ge1} et {k\in\mathbb{Z}}, {\mathbb{P}(S_{2n}=k)\le\mathbb{P}(S_{2n}=0)}.

1) Donner le développement de {(1-t)^{-n}} pour {n\ge1}.

2) En déduire que le nombre de {(k_1,\ldots,k_n)\in\mathbb{N}^n} de somme {s} est {\binom{s+n-1}{n}}.

3) Pour des {X_i} i.i.d. de loi {\mathcal G(p)}, calculer {\mathbb{P}(\bigcup_{n\ge1}\left\{X_1+\cdots+X_n=s\right\})}.

1) Montrer que {X_1+X_2,X_3,\ldots,X_n} sont indépendantes.

2) En déduire l’indépendance de {X_1+\cdots+X_r,X_{r+1},\ldots,X_n} pour {2\le r\le n-1}.

1) Déterminer la loi de {X_n}.

2) Étudier l’asymptotique de {\mathbb{P}(X_n=j)} pour {j} fixé.

1) Montrer {\mathbb{P}(X\ge2\lambda)\le1/\lambda}.

2) Si {Z} est centrée de variance {\sigma^2}, montrer pour {a,x>0} {\mathbb{P}(Z\ge a)\le(\sigma^2+x^2)/(a+x)^2}.

En déduire {\mathbb{P}(Z\ge a)\le\sigma^2/(\sigma^2+a^2)} et {\mathbb{P}(X\ge2\lambda)\le1/(\lambda+1)}.

1) Justifier la loi et calculer l’espérance.

2) Pour {A_n=\left\{n\mid X\right\}}, étudier l’indépendance de {A_p,A_q} si {p,q} sont pairs.

3) Étudier le cas de {p,q} entiers positifs quelconques.

Soient {X_i} i.i.d. de loi {\mathcal G(p)}, {0\lt p\lt 1}.

Poser {Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)}, {Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n)}, {\alpha_n=\mathbb E(Y_n)} et {\beta_n=\mathbb E(Z_n)}.

Étudier leur monotonie, calculer {\alpha_n}, puis donner la limite et un équivalent de {\beta_n}.

Montrer qu’il existe une variable aléatoire de fonction génératrice {G_X(t)=e^{t-1}/\sqrt{2-t}} pour {0\le t\le1}.

Calculer son espérance et sa variance.

1) Montrer {F_X=\prod\limits_kF_k} et {F_Y=1-\prod\limits_k(1-F_k)}.

2) Pour {y\lt x}, montrer {\mathbb{P}(y\lt Y\le X\le x)=\prod\limits_k(F_k(x)-F_k(y))}.

3) Si {X_k\sim\mathcal G(p_k)}, donner la loi de {Y}.

1) Donner la loi de {S_n=X_1+\cdots+X_n}.

2) Donner un équivalent de {\max_k\mathbb{P}(S_n=k)} lorsque {n\to\infty}.

Soient {X_i} indépendantes de loi {\mathcal G(p)} et {N\sim\mathcal G(q)} indépendante des {X_i}, avec {0\lt p,q\lt 1}.

Montrer que {S=\sum\limits_{k=1}^NX_k} est une variable aléatoire et calculer son espérance et sa variance.

1) Trouver {M} avec {U_{n+1}=MU_n}.

2) Pour {P(X)=\sum\limits_{k=0}^{2N}v_kX^k}, montrer que {V\in\ker(M-\lambda I)} équivaut à {\lambda P=XP+(1-X^2)P'}.

3) Choisir la loi initiale pour que les {X_n} soient équidistribuées.

4) {M} est-elle diagonalisable ?

Soient {X_i} i.i.d. de loi {\mathcal G(p)}, {0\lt p\lt 1}.

Poser {Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)}, {Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n)}, {a_n=\mathbb E(Y_n)} et {b_n=\mathbb E(Z_n)}.

Étudier la monotonie, calculer {a_n}, puis donner la limite et un équivalent de {b_n}.

1) Montrer {\mathbb E(e^{tS_n})\le e^{nt^2/2}} pour {t>0}.

2) Montrer {\mathbb{P}(|S_n|\ge a)\le2\exp(a^2/(2n))} pour {a>0}.

3) Montrer que le résultat subsiste pour des variables i.i.d. centrées, bornées en module par {1}.

1) Justifier {\varphi_X(t)=\mathbb E(e^{itX})} pour tout {t\in\mathbb{R}}.

2) Montrer que {\varphi_X} est uniformément continue.

3) Montrer qu’elle détermine la loi de {X}.

1) Pour {a\in]1/2,1]}, déterminer la limite de {u_n=2^{-n}\sum_{(n-n^a)/2\le k\le(n+n^a)/2}\binom nk.}

2) Si {I_n\subset\left\{0,\ldots,n\right\}}, les propriétés {|I_n|=o(n)} et {2^{-n}\sum\limits_{k\in I_n}\binom nk\to0} sont-elles équivalentes ?

Une urne contient {p} boules blanches et {n-p} noires, avec {1\le p\lt n}. On les tire sans remise.

Donner la loi et l’espérance du rang de la dernière boule blanche.

1) Montrer que la loi géométrique {\mathcal G(p)}, {0\lt p\lt 1}, est sans mémoire.

2) Réciproquement, montrer {\mathbb{P}(X>0)=1}, puis l’existence de {p\in]0,1[} avec {\mathbb{P}(X>n)=(1-p)^n}, et en déduire la loi géométrique.

1) Déterminer la loi et la fonction génératrice de {X_1}.

2) Déterminer celles de {X_n} et son espérance.

Alice et Bob ont chacun {n} jetons numérotés de un à {n}. Alice en tire un uniformément ; Bob tire sans remise jusqu’à obtenir un numéro au moins égal à celui d’Alice.

Déterminer la loi du nombre {Y} de tirages de Bob.

1) Déterminer les lois de {X,Y}.

2) Sont-elles indépendantes ?

3) Déterminer la loi de {Z=X-Y}.

4) {Y,Z} sont-elles indépendantes ?

1) Calculer la probabilité que {X} soit paire.

2) Pour {Y=(-1)^X}, donner sa loi et son espérance.

1) Montrer que, pour {0\le t\lt 1}, {\sum\limits_{k\ge0}\mathbb{P}(X>k)t^k=(1-G_X(t))/(1-t)}.

2) Si {X^2} est intégrable, montrer que, pour {0\le t\le1}, {\sum_{k\ge0}\mathbb{P}(X>k)t^k \ge\frac{3-t}2\mathbb E(X)+\frac{t-1}2\mathbb E(X^2).}

1) Montrer que {F(u,v)=\sum\limits_{n,b\ge1}E_{n,b}u^nv^b} est définie sur {]-1,1[^2}.

2) Montrer {(b+r)E_{n,b}=b+bE_{n-1,b-1}+rE_{n-1,b}} pour {n,b>0}.

3) Montrer l’existence de {\partial_2F} et l’identité {v(1-uv)\partial_2F+(r(1-u)-uv)F=\frac{uv}{(1-u)(1-v)^2}.}

1) Montrer que {P=X^3-X^2-X-1} a une unique racine réelle et deux racines non réelles de module strictement inférieur à un.

2) On lance une pièce équilibrée ; pour {n\ge3}, {A_n} est l’événement d’obtenir trois piles consécutifs pour la première fois au temps {n}.

Donner une récurrence d’ordre trois pour {\mathbb{P}(A_n)} et en déduire sa limite.

1) Calculer {\mathbb{P}(X=0)}.

2) Déterminer la loi de {X}.

3) Démontrer la formule de Poincaré.

Une pièce donne pile avec probabilité {p\in]0,1[}. On la lance jusqu’au premier pile et on note {N} le nombre de lancers. On la relance ensuite {N} fois et on note {X} le nombre de piles de cette seconde phase.

Déterminer les lois de {N,X} et calculer {\mathbb E(X)}.

1) Donner la loi d’une somme de {n} variables indépendantes de loi géométrique de paramètre {p\in]0,1[}.

2) Un dé donne six avec probabilité {p} ; donner la loi et l’espérance du nombre de lancers nécessaires pour obtenir {n} six.

1) Pour {m,n\ge1} et {0\lt x\lt 1}, montrer {(1-x^{nm})/(1-x^m)\le(1-x^n)/(1-x)}.

2) Les événements {m\mid X} et {n\mid X} sont-ils indépendants ? On pourra commencer par {\gcd(m,n)=1}.

Soient {X_1,\ldots,X_n} i.i.d. géométriques de paramètre {p}, et {Y=\max_iX_i}.

Calculer {\mathbb{P}(Y>k)} et {\mathbb{P}(Y=k)} pour {k\in\mathbb{N}}, puis montrer que {Y} est d’espérance finie.

1) Calculer la probabilité que {A} soit diagonalisable.

2) Calculer les probabilités que {(1,0)^T}, {(0,1)^T} et {(1,1)^T} soient propres.

1) Soit {M=\begin{pmatrix}A&b\\[4pt]b^T&c\end{pmatrix}} symétrique réelle, avec {A} de taille {n}.

Si {M} n’est pas à spectre simple, montrer qu’elle possède un vecteur propre de dernière coordonnée nulle.

2) En déduire que {A} a un vecteur propre orthogonal à {b}.

3) Si {X_1,\ldots,X_5} sont i.i.d. Bernoulli de paramètre {p}, montrer que {N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\[4pt]0&1&X_5&X_2\\[4pt]0&X_5&-1&X_3\\[4pt]X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}}est à spectre simple avec probabilité au moins {3p^3-2p^4}.

1) Calculer son polynôme caractéristique et son polynôme minimal.

2) Soient {X_0,\ldots,X_{n-1}} i.i.d. uniformes sur {\left\{-1,1\right\}} et {M} la matrice circulante de première colonne {(X_0,\ldots,X_{n-1})^T}, les autres colonnes étant ses décalages cycliques.

Exprimer {M} en fonction de {J}.

3) Pour {n=2}, calculer la probabilité d’inversibilité.

4) Déterminer le spectre de {M}.

5) Si {n} est premier, en admettant l’irréductibilité de {1+X+\cdots+X^{n-1}} sur {\mathbb{Q}}, calculer la probabilité d’inversibilité.

1) Déterminer les lois du rang et de la trace de {M}.

2) Calculer la probabilité que {M} soit un projecteur.

3) Pour {n=2}, on pose {V=(1,1)^T} et {S=V^TMV}.

Déterminer l’espérance et la variance de {S}.

Soient {p_n\in]0,1[} et {X_n} indépendantes de lois {\mathcal G(p_n)}.

Montrer que {A=\left\{X_n\to+\infty\right\}} est un événement et calculer sa probabilité selon {(p_n)}.

1) Montrer {\mathbb{P}(\bigcup_{n\ge k}\left\{X_n>n^\beta\right\})\le\sum\limits_{n\ge k}q^{n^\beta-1}}.

2) Montrer {\mathbb{P}(\overline{A_\beta})=0}.

3) Calculer {\mathbb{P}(A)}.

1) Montrer que {\sum\limits\mathbb{P}(X_n\ne0)} converge.

2) Montrer que {\bigcap_{n\ge1}\bigcup_{k\ge n}\left\{X_k\ne0\right\}} est négligeable.

3) Montrer que {\sum\limits X_n} converge presque sûrement. On note {S=\sum\limits_{n\ge1}X_n} et on admet sa mesurabilité à valeurs dans {\mathbb{N}\cup\left\{\infty\right\}}.

4) Pour {Y,Z} à valeurs dans {\mathbb{N}}, montrer {|G_Y(t)-G_Z(t)|\le2\mathbb{P}(Y\ne Z)} pour {t\in[0,1]}.

5) Montrer que {S\sim\mathcal P(\theta)}, avec {\theta=\sum\limits\lambda_n}.

Soient {X_1,X_2,Y} indépendantes, avec {X_j\sim\mathcal P(\lambda_j)}, {Y\in\left\{-1,1\right\}} et {\mathbb{P}(Y=1)=p\in]0,1[}. Pour {M=\begin{pmatrix}X_1&X_2\\[4pt]YX_2&X_1\end{pmatrix}}, calculer les probabilités d’inversibilité, de spectre réel et de diagonalisabilité réelle.

Soient {X,Y} indépendantes de loi géométrique de paramètre {p} sur {\mathbb{N}^\star}, et {T=\min(X,Y)}.

Déterminer sa loi, son espérance et sa fonction génératrice.

Justifier et calculer {\mathbb E(1/[T(T+1)])}.

Une puce se déplace sur les points {0,\ldots,n-1} d’un cycle. À chaque pas, elle va au voisin de droite ou de gauche avec probabilité {1/2}, les indices étant pris modulo {n}. Elle part de {0} et {U_m=(\mathbb{P}(X_m=k))_{0\leq k\lt n}}.

Déterminer {A} telle que {U_{m+1}=AU_m}, diagonaliser {A}, puis calculer les limites des probabilités pour {n} impair.

Une personne se trouve dans un immeuble de sept étages avec probabilité {p\in]0,1[}. Conditionnellement à sa présence, chaque étage est équiprobable. Après avoir cherché en vain dans les six premiers étages, quelle est la probabilité de sa présence au dernier ?

On lance indépendamment une pièce donnant Pile avec probabilité {p\in]0,1]}.

Montrer qu’on obtient presque sûrement au moins {n} Pile pour chaque {n}. Soit {X_n} le nombre de lancers nécessaires et {Y_1=X_1}, {Y_n=X_n-X_{n-1}} pour {n\geq2}.

Déterminer la loi et la fonction génératrice de {Y_n}, puis celles de {X_n}.

Soient {X_j} indépendantes uniformes sur {\left\{1,\ldots,r\right\}}. Pour {n\geq1}, soit {A_n} l’événement que les {nr} premières valeurs contiennent exactement {n} fois chacun des {r} entiers.

Calculer {\mathbb{P}(A_n)}.

Pour {r\geq4}, calculer {\mathbb{P}(\bigcap_{n\geq1}\bigcup_{p\geq n}A_p)}.

Dans des lancers indépendants avec probabilité de Pile {p\in]0,1[}, soient {X,Y} les longueurs des deux premières suites de résultats identiques. Par exemple, PPPFFP donne {X=3,Y=2}.

Calculer {\mathbb{P}(X=m,Y=n)}, les lois et espérances de {X,Y}, puis comparer leurs espérances.

Soit {\zeta(s)=\sum\limits_{n\geq1}n^{-s}}. Pour quels réels {s} peut-on définir une probabilité sur {\mathbb{N}^\star} par {\mathbb{P}(\left\{n\right\})=c/n^s} ?

Déterminer {c}. Pour chaque nombre premier {p}, soit {\Lambda_p} l’ensemble des multiples de {p}.

Montrer l’indépendance mutuelle des événements {\Lambda_p}.

Pour {X\sim\mathcal P(\lambda)}, {\lambda>0}, montrer {\mathbb{P}(X\leq n)=\frac1{n!}\int_\lambda^\infty e^{-t}t^n\,dt.}Donner un équivalent de cette intégrale quand {n\to\infty}, puis calculer la probabilité que {X} soit paire.

Soit {S(t)=\sum\limits_{n\geq0}(n^2+n+1)t^n/n!}.

Déterminer son rayon et une expression simple.

Pour une variable {X\in\mathbb{N}} de fonction génératrice {G_X=\lambda S}, déterminer {\lambda}, la loi, l’espérance et la variance de {X}.

Dans {E=\mathbb{R}_n[X]}, poser {E_k=\binom nkX^k(1-X)^{n-k}}.

Montrer que {(E_k)_{0\leq k\leq n}} est une base.

Calculer {\sum\limits kE_k} et {\sum\limits k^2E_k}. Comment prévoir ces résultats ?

1) Une urne contient {n} noires et {n} blanches. On tire sans remise jusqu’à épuiser une couleur.

Déterminer la loi du nombre {X_n} de boules restantes.

2) Deux urnes contiennent chacune {n} boules. À chaque étape, on choisit équiprobablement l’urne et on retire une boule, jusqu’à vider une urne.

Déterminer la loi du nombre {Y_n} restant dans l’autre urne.

Soit {\mathcal A\subset\mathcal P(\left\{1,\ldots,n\right\})} telle que {A\subset B}, {A,B\in\mathcal A}, implique {A=B}. Pour {\sigma} uniforme dans {S_n}, soit {X_A=\mathbf1_{\sigma(A)=A}}.

Déterminer la loi de {X_A}. Pour {A,B\in\mathcal A}, sont-elles indépendantes ?

1) Montrer {P(X\leq n)=\frac1{n!}\int_\lambda^\infty t^ne^{-t}dt}.

2) Donner un équivalent de cette intégrale quand {n\to\infty}.

3) Calculer {P(X\text{ pair})} par la fonction génératrice.

4) Si {Y} est uniforme sur {\left\{1,2\right\}}, indépendante de {X}, calculer {P(XY\text{ pair})}.

Soient {r\geq1} et {X_n} i.i.d. uniformes sur {\left\{1,\ldots,r\right\}}. Soit {A_n} l’événement que chaque entier apparaît exactement {n} fois parmi {X_1,\ldots,X_{nr}}.

Calculer {P(A_n)}, puis la probabilité qu’une infinité de {A_n} se réalisent.

a) Quelle est la probabilité qu’au cours des {n} premiers passages, il n’y ait que des élèves de PCSI ?

b) Quelle est la probabilité qu’au cours des {n+5} premiers passages, il y ait {n} élèves de PCSI ?

c) Pour {i\in\mathbb{N}^\star}, on note {X_i} le nombre de tirages nécessaires pour faire passer {i} élèves de PCSI distincts.

Déterminer sa loi.

a) Calculer la probabilité de ne tirer que des boules rouges lors des {n} premiers tirages.

b) Calculer la probabilité de tirer indéfiniment uniquement des rouges.

c) Calculer la probabilité de tirer une blanche au {42}-ième tirage.

d) Le résultat de b) reste-t-il vrai si l’on rajoute {3} boules ? {4} ?

a) Calculer {\int_0^1x^p(1-x)^q\,dx} pour {p,q\in\mathbb{N}}.

b) On dispose de {p} urnes contenant chacune {p} boules. L’urne {i} contient {i} boules noires et {p-i} blanches, pour {1\le i\le p}. On choisit une urne aléatoirement puis on tire avec remise. On note {A_{n,p}} l’événement : parmi {2n} boules tirées, il y a autant de noires que de blanches.

i) Exprimer {\mathbb{P}(A_{n,p})} sous forme d’une somme.

ii) Déterminer sa limite quand {n\to+\infty}.

iii) Déterminer sa limite quand {p\to+\infty}.

a) Déterminer la loi de {Z_r}.

b) Déterminer la fonction génératrice de {T_r}.

c) Pour {x\in]0,1[}, calculer {\sum\limits_{k=r}^{\infty}\binom{k}{r}x^{k-r}} et en déduire la loi de {T_r}.

d) Calculer {\mathbb E(T_r)} de deux façons différentes.

a) Pour {n\ge1}, calculer {\mathbb{P}(n\text{ divise }X)}.

b) Pour un nombre premier {p}, on pose {v_p(k)=\max\left\{i\in\mathbb{N}:p^i\text{ divise }k\right\}}.

Déterminer la loi de {v_p(X)} puis son espérance.

a) Donner la loi de {X}.

b) Montrer que {\mathbb E(X)\lt \infty} et la calculer.

c) Si {X=n}, on place dans une urne {n+1} boules numérotées de {0} à {n}.

Donner la loi du numéro {Y} tiré dans l’urne, puis son espérance et sa variance.

a) Déterminer les lois de {\operatorname{rg}(M)} et {\operatorname{Tr}(M)}.

b) Déterminer la probabilité que {M} soit une matrice de projecteur.

c) Pour {n=2}, on pose {V=(1\ 1)} et {X=V(M)V^{\mathsf T}}.

Déterminer l’espérance et la variance de {X}.

Soient {a,b>0} et {X,Y,Z} indépendantes, avec {X\sim\mathcal P(a)}, {Y\sim\mathcal P(b)}, {\mathbb{P}(Z=1)=1-p} et {\mathbb{P}(Z=-1)=p}.

Quelle est la probabilité que {A=\begin{pmatrix}X&Y\\[4pt]YZ&X\end{pmatrix}} soit diagonalisable ?

a) Déterminer la loi de {(S_n+n)/2}.

En déduire {\mathbb E(S_n)} et {V(S_n)}.

b) On pose {A_n=|S_n|}.

i) Déterminer {A_n(\Omega)}.

ii) Établir {\mathbb E(A_{n+1})=\mathbb E(A_n)+\mathbb{P}(S_n=0)}. Indication : appliquer la formule des probabilités totales à {X_{n+1}}.

iii) En déduire, pour {n\ge1}, {\mathbb E(A_{2n})=\mathbb E(A_{2n-1}) =\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2k}{k}\frac1{4^k}.}

1) Si {d\geq1} divise {n}, calculer {\mathbb{P}(A_d)}.

2) Pour {n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}}, montrer que {A_{p_1},\ldots,A_{p_r}} sont indépendants.

3) Si {\varphi(n)} compte les éléments de {\Omega} premiers avec {n}, montrer que {\varphi(n)=n\prod\limits_{i=1}^r(1-1/p_i)}.

Dans une station d’appels, le nombre {X} d’appels entre 10 h et 11 h suit une loi de Poisson de paramètre {\lambda}. Un appel concerne le standard A avec probabilité {p\in[0,1]}.

Donner la loi du nombre {Y} d’appels concernant A pendant cette heure.

1) Donner la loi de {X_1}, son espérance et sa variance.

2) Que dire de {X_2,X_3} ?

3) Si {Y_i} vaut un lorsque l’ascenseur s’arrête à l’étage {i} et zéro sinon, calculer ses probabilités.

4) En déduire l’espérance du nombre total {Z} d’arrêts.

1) Pour {0\leq s\leq n}, calculer {\mathbb{P}(S=s\mid N=n)}, {\mathbb{P}(S=s,N=n)} puis {\mathbb{P}(S=s)}.

2) En déduire {\mathbb E(S)}, {V(S)}.

3) Donner sans calcul la loi de {N-S}.

4) {N-S} et {S} sont-elles indépendantes ?

5) {N} et {S} sont-elles indépendantes ?

6) Calculer {\mathbb{P}(N=n\mid S=s)}.

1) Calculer la probabilité que {M=\begin{pmatrix}X&1\\[4pt]0&Y\end{pmatrix}} soit diagonalisable.

2) Si {Z\sim\mathcal B(q)}, {0\lt q\lt 1}, est indépendante de {(X,Y)}, calculer cette probabilité pour {M'=\begin{pmatrix}X&Z\\[4pt]1&Y\end{pmatrix}}.

1) Quelles sont les valeurs possibles de {T} ?

2) On pose {p_n=\mathbb{P}(T=n)}.

(i) Calculer {p_1,p_2}.

(ii) Pour {n\geq3}, montrer que {(X_1=1,X_2=0)}, {(X_1=1,X_2=1)}, {(X_1=0)} forment un système complet d’événements.

(iii) En déduire que pour tout {n\geq2}, {p_n=2p_{n-2}/9+2p_{n-1}/3}.

(iv) Exprimer {p_n} en fonction de {n}.

3) {T} possède-t-elle une espérance ?

1) Déterminer {\mathbb{P}(A)}.

2) Montrer que {X=\lim_{n\to\infty}\prod\limits_{k=0}^ne^{X_k}} est presque sûrement définie.

1) Calculer {a}.

2) Déterminer les lois marginales, {\mathbb E(X)}, {V(X)}.

3) Calculer la covariance de {X,Y}.

4) Pour {U=\max(X,Y)}, donner sa loi sachant {X+Y=2n+1}.

1) Soit {X} à valeurs dans {\mathbb{N}}, décomposable, avec {\mathbb{P}(X=0)>0}.

Pour un tel couple {(Y,Z)}, montrer que {Y,Z} sont à valeurs dans {\mathbb{N}} et donner une relation entre {G_X,G_Y,G_Z}.

2) Montrer que {\mathcal B(n,p)} est décomposable pour {n\geq2}, {0\lt p\lt 1}.

3) Pour {n\geq2} composé et {X} uniforme sur {\left\{0,\ldots,n-1\right\}} : (i) Montrer qu’il existe {r,s\geq2} tels que {G_X(t)=\left(\frac1r\sum_{i=0}^{r-1}t^i\right) \left(\frac1s\sum_{j=0}^{s-1}t^{rj}\right).}(ii) En déduire que {X} est décomposable.

Soit {\lambda\in\mathbb{C}^\star}.

Montrer qu’aucune variable aléatoire discrète complexe {X} ne peut avoir la même loi que {X+\lambda}.

Déterminer celles qui ont la même loi que {\lambda X}.

Soit {T} à valeurs dans {\mathbb{N}}, avec {\mathbb{P}(T\geq n)>0} pour tout {n}, et {t_n=\mathbb{P}(T=n\mid T\geq n)}.

Exprimer les probabilités de survie et les masses à l’aide des {t_n}.

Montrer {0\leq t_n\lt 1} et {\sum\limits t_n=+\infty}.

Réciproquement, construire une telle loi à partir de toute suite satisfaisant ces conditions.

Le nombre de champignons cueillis suit une loi de Poisson de paramètre {\lambda}. Chaque champignon a une probabilité {1/3} d’être comestible.

Quelle est la probabilité qu’aucun ne le soit ?

Peut-on truquer deux dés à six faces pour que leur somme ait la même loi que celle de deux dés équilibrés ?

Soit {X} le nombre de Faces en {n} lancers d’une pièce équilibrée.

Trouver {n} tel que {\mathbb{P}(|X/n-1/2|\leq1/100)\geq0{,}99}.

Des joueurs numérotés {0,1,2,\ldots} jouent successivement : à l’instant {n\geq1}, le joueur {n} affronte le vainqueur précédent. La probabilité que le nouvel arrivant gagne vaut {p\in]0,1[}. Le jeu s’arrête dès qu’un joueur a gagné {N\geq1} parties consécutives. Soit {B_n} l’événement que le jeu ne s’est pas arrêté jusqu’à l’instant {n} inclus.

Montrer que {\mathbb{P}(B_n)} converge, calculer ses valeurs pour {n\leq N}, puis montrer que sa limite est nulle.

Soient {X_1,X_2,Y} indépendantes, avec {X_j\sim\mathcal P(\lambda_j)}, {Y\in\left\{-1,1\right\}} et {\mathbb{P}(Y=1)=p}.

Pour {M=\begin{pmatrix}X_1^2&X_2^2\\[4pt]YX_2^2&X_1^2\end{pmatrix}}, calculer les probabilités de diagonalisabilité sur {\mathbb{R}} et sur {\mathbb{C}}.

Deux urnes contiennent chacune deux boules : initialement deux noires dans l’urne {1} et deux blanches dans l’urne {2}. À chaque étape, on tire une boule dans chaque urne et on les échange. Soit {X_n} le nombre de blanches dans l’urne {2} après {n} étapes, et {u_n=(\mathbb{P}(X_n=0),\mathbb{P}(X_n=1),\mathbb{P}(X_n=2))^T}.

Trouver {A} telle que {u_{n+1}=Au_n}, puis la limite de {\mathbb E(X_n)}.

1) Pour {c=1}, montrer {p_n=1/[n(n+1)]}, sommer et interpréter.

2) Pour {c} quelconque, poser {a_n=\prod\limits_{k=0}^{n-1}(1+ck)/(2+ck)}.

Montrer {p_n=a_{n-1}-a_n}, {\log a_n\to-\infty}, puis sommer les {p_n}.

Soient {X_n,Y_n} indépendantes uniformes sur l’ensemble {U_n} des racines {n}-ièmes de l’unité.

Calculer espérance et variance de {Z_n=|X_n-Y_n|}, puis leurs limites.

Soit {\alpha>0}. Montrer qu’il existe une variable {X\in\mathbb{N}} de fonction génératrice {G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}} pour {t\in[0,1]}.

Pour {\lambda>0}, montrer {\mathbb{P}(X\geq\lambda+\alpha)\leq2\alpha/\lambda^2}.

Pour {X} à valeurs dans {\mathbb{N}}, soit {\Phi_X(t)=\mathbb E(e^{itX})}.

Montrer qu’elle est définie et continue, et établir {\mathbb{P}(X=k)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\Phi_X(t)e^{-ikt}\,dt.}En déduire qu’elle détermine la loi.

Pour {X,Y} indépendantes, montrer {\Phi_{X+Y}=\Phi_X\Phi_Y}, puis traiter le cas de deux lois de Poisson.

Deux parties de {\left\{1,\ldots,n\right\}} sont choisies uniformément et indépendamment.

Quelle est la probabilité qu’elles soient disjointes ?

Soient deux dés indépendants équilibrés {X_1,X_2}, {X=\min(X_1,X_2)} et {Y=\max(X_1,X_2)}.

Déterminer les lois de {X,Y}, calculer {E(X)}, puis simplifier {XY} et en déduire {\operatorname{Cov}(X,Y)}.

Soit {X} une variable aléatoire entière.

Montrer qu’elle est d’espérance finie si et seulement si {\sum\limits_{n\geq1}P(X\geq n)} converge.

La durée de vie entière {X} d’une ampoule vérifie {P(X=n)=2^{-n}}, {n\geq1}. Sachant qu’elle est allumée le jour {n}, calculer le nombre moyen de jours restants.

Soient {X,Y} à valeurs dans {\mathbb{N}}, avec {P(X=x,Y=y)>0} pour tous {x,y}.

Montrer que {X+Y} et {X-Y} ne sont pas indépendantes.

Étudier la même question pour des variables à valeurs dans {\mathbb{Z}}.

{X,Y} sont indépendantes géométriques de paramètres {p,q}.

Quelle est la probabilité que {\begin{pmatrix}X&1\\[4pt]0&Y\end{pmatrix}} soit diagonalisable ?

1) Caractériser les événements indépendants de tout événement.

2) Sur un ensemble fini de {N} éléments, existe-t-il une probabilité rendant mutuellement indépendants tous les événements ?

3) Si {n} événements sont mutuellement indépendants et de probabilités dans {]0,1[}, montrer {2^n\leq N}.

L’urne {U_n} contient {n} noires et une blanche. On tire successivement dans {U_1,U_2,\ldots} jusqu’à obtenir une blanche.

Pour le nombre de tirages {X}, déterminer la loi.

Montrer que {Y=\lfloor\sqrt X\rfloor} a une espérance finie et la calculer.

On choisit uniformément une application de {\left\{1,\ldots,n\right\}} vers {\left\{1,\ldots,n-1\right\}}, {n\geq2}.

Calculer sa probabilité {\pi_n} d’être surjective et en donner un équivalent.

Soient {X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_n} i.i.d. Bernoulli de paramètre {p\in]0,1[}, {U=(X_1,\ldots,X_n)}, {V=(Y_1,\ldots,Y_n)} et {M=U^TV}.

Déterminer la loi du rang, la probabilité d’être un projecteur et celle d’être diagonalisable.

Soit {M=(X_{ij})} réelle, où les {1+X_{ij}} sont i.i.d. géométriques de paramètre {p\in[0,1[}.

Calculer les probabilités que {M} soit symétrique, puis orthogonale.

Pour des lancers i.i.d. uniformes parmi {n} faces, soit {T_k} le premier rang où {k} faces distinctes sont apparues, {1\leq k\leq n}.

Déterminer la loi de {T_k}, puis un équivalent du nombre moyen de lancers nécessaires pour obtenir toutes les faces.

Soient {N=n!}, {p_1,\ldots,p_m} ses facteurs premiers distincts, et {X_1,X_2} indépendantes uniformes sur {\left\{1,\ldots,N\right\}}.

Montrer l’indépendance des événements {p_k\mid X_1}, calculer {P(p_k\mid X_1,\ p_k\mid X_2)}, puis la probabilité que {X_1,X_2} soient premiers entre eux.

Sur {\left\{1,\ldots,n\right\}} uniforme, soit {D(a)} l’événement des multiples d’un diviseur {a} de {n}.

Calculer sa probabilité, montrer l’indépendance mutuelle des {D(p_i)} pour les premiers divisant {n}, puis calculer la probabilité d’être premier à {n} et en déduire la formule de {\varphi(n)}.

Soient {X} discrète réelle, {b>0}, {I} un intervalle et {g\geq0} avec {g\geq b} sur {I}.

Montrer {P(X\in I)\leq \mathbb E(g(X))/b}.

Si {\mathbb E(X)=0} et {V(X)=\sigma^2}, montrer {P(X>t)\leq\sigma^2/(\sigma^2+t^2)} pour {t>0}, en utilisant {(x+c)^2}.

Soient {X,Y} discrètes strictement positives, indépendantes et de même loi.

Montrer {\mathbb E(X/Y)\geq1} et déterminer le cas d’égalité.

{A,B} sont indépendantes uniformes dans {\mathcal P(\left\{1,\ldots,n\right\})}.

Pour {X=|A\cup B|}, calculer {\mathbb E(X)}.

1) Pour des événements {A_n}, montrer que « {A_n} est vrai à partir d’un certain rang » est l’événement {\bigcup_{n\geq1}\bigcap_{k\geq n}A_k}.

2) Pour {X_k} i.i.d. centrées avec {\mathbb E(X_1^4)\lt \infty}, poser {S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k}.

Calculer {\mathbb E(S_n^4)}, puis montrer, pour tout {\varepsilon>0}, {P(\bigcap_{k\geq n}\left\{|S_k/k|\leq\varepsilon\right\})\to1}, et {S_n/n\to0} presque sûrement.

Pour {\alpha>0}, montrer l’existence de {X\in\mathbb{N}} de fonction génératrice {G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}}.

Donner un équivalent de {P(X=n)} et montrer {P(X\geq\lambda+\alpha)\leq2\alpha/\lambda^2} pour {\lambda>0}.

Une boîte contient {n} boules numérotées de {1} à {n}. On tire avec remise tant que le numéro tiré est supérieur au précédent. Soit {Z} le nombre de boules tirées.

Déterminer sa loi.

Une urne contient deux boules : une blanche, l’autre blanche ou noire avec probabilités {1/2,1/2}. On tire deux fois sans remise.

Quelle est la probabilité d’une blanche au second tirage sachant que le premier a donné une blanche ?

Un panier contient {r} pommes rouges et {v} vertes. On les mange une à une et on s’arrête quand toutes les vertes ont été mangées.

Quelle est la probabilité d’avoir tout mangé ?

On répartit {N} objets dans {N-1} boîtes.

Quelle est la probabilité qu’aucune boîte ne soit vide ?

a) Quelle est sa durée de vie moyenne ?

b) Ayant déjà vécu {n} jours, quelle est sa durée de vie moyenne à partir du {n}-ième jour ?

a) Montrer que {Y+1-X} et {X} ont même loi.

b) Si {X\sim\mathcal G(p)}, montrer qu’elles sont indépendantes.

a) Parmi les applications équiprobables de {\left\{1,\ldots,n\right\}} vers {\left\{1,\ldots,n-1\right\}}, calculer la probabilité de surjectivité.

b) Même question avec {\left\{1,\ldots,n-2\right\}} comme ensemble d’arrivée.

a) Montrer qu’elles ne sont pas indépendantes.

b) Si {U\sim\mathcal B(n,p)} avec {n\ge4} pair, montrer que {Y} n’est pas binomiale.

a) Déterminer la loi de son rang.

b) Déterminer la probabilité qu’elle soit diagonalisable.

Si {X,Y} sont indépendantes de lois géométriques de paramètres {p,q}, déterminer la probabilité de diagonalisation de {M=\begin{pmatrix}X&1\\[4pt]0&Y\end{pmatrix}}.

a) Calculer la probabilité que {M} soit symétrique.

b) Calculer la probabilité qu’elle soit orthogonale.

a) Déterminer l’unique {a} pour lequel {g} est la fonction génératrice d’une variable {X} à valeurs dans {\mathbb{N}}.

b) Calculer la probabilité que {X} soit pair.

c) Calculer la probabilité que {\begin{pmatrix}X&X&0\\[4pt]-X&-X&0\\[4pt]X&X&0\end{pmatrix}} soit diagonalisable.

Soient {X,Y} à valeurs dans {(\mathbb{N}^\star)^2}, {X\le Y}, {\mathbb{P}(Y=i)>0} pour tout {i}, et {\mathbb{P}(X=k\mid Y=i)=1/i} pour {1\le k\le i}.

Montrer que {X} et {Y-X+1} ont même loi.

a) Donner les lois du rang et de la trace de {M}.

b) Calculer la probabilité que {M} soit un projecteur.

a) Montrer {\theta_n\in[0,1[}.

b) Exprimer {\theta_n} en fonction des probabilités de survie, et en déduire que {\sum\limits\theta_n} diverge.

a) Donner la fonction génératrice de {U\sim\mathcal B(n,p)}.

b) Si {Y,Z} sont discrètes indépendantes et {U=Y+Z}, montrer qu’elles suivent des lois binomiales.

a) Pour {r\ge1} et {|x|\lt 1}, montrer {\sum\limits_{n=r-1}^{\infty}\binom n{r-1}x^{n-r+1}=(1-x)^{-r}}.

b) Pour des Bernoulli indépendantes de paramètre {p}, soit {X} le rang du {r}-ième succès.

Donner sa loi, {\mathbb E(X)}, {\mathbb E(X(X+1))} et sa variance.

a) Montrer {\mathbb{P}(X\ge\lambda+1)\le\lambda}.

b) Montrer {\mathbb{P}(X\le\lambda/3)\le9/(4\lambda)}.

Soient {X,Y} discrètes, strictement positives, indépendantes et de même loi.

Montrer {\mathbb E(X/Y)\ge1}.

a) Montrer l’existence d’une variable {Y\in\mathbb{N}^\star} avec {\mathbb{P}(Y=n)=1/(n(n+1))}.

b) Pour {X\in\mathbb{N}^\star} de support {\mathbb{N}^\star}, définir son taux de défaillance {x_n=\mathbb{P}(X=n\mid X\ge n)}.

c) Montrer {\mathbb{P}(X\ge n)=\prod\limits_{k=1}^{n-1}(1-x_k)}.

d) Exprimer {\mathbb{P}(X=n)} avec ces taux.

e) Quelle loi a un taux constant à partir de {1} ?

f) Calculer les taux de {Y}.

a) Montrer {\mathbb E(M_n)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(1-(1-q^k)^n)}.

b) Pour {f_n(t)=1-(1-q^t)^n}, montrer l’intégrabilité sur {\mathbb{R}_+} et donner un équivalent de son intégrale lorsque {n\to\infty}.

c) En déduire un équivalent de {\mathbb E(M_n)}.

On munit {\mathcal P(\left\{1,\ldots,n\right\})^2} de la probabilité uniforme.

Quelle est la probabilité que les deux parties soient disjointes ?

1) Donner {u_0,u_N}.

2) Relier {u_a,u_{a-1},u_{a+1}}.

3) Quelle est la probabilité de ne jamais s’arrêter ?

1) Déterminer la loi de {X}.

2) Pour {f(x)=\lfloor\sqrt x\rfloor}, montrer que {f(X)} est intégrable et calculer son espérance.

1) Donner les lois de {X_1,X_2}.

2) Exprimer {\mathbb{P}(X_2\geq n)}.

3) Exprimer {p_2-p_1} en fonction de {\mathbb{P}(X_1=n)} et {\mathbb{P}(X_2=n)}.

4) Quel jeu choisir pour maximiser la probabilité de gain ?

1) Caractériser les événements indépendants de tout événement d’un espace probabilisé.

2) Sur un ensemble fini {\Omega}, existe-t-il une probabilité telle que tous les éléments de {\mathcal P(\Omega)} soient mutuellement indépendants ? Les caractériser.

3) Si {|\Omega|=N\geq1} et {A_1,\ldots,A_m} sont mutuellement indépendants, de probabilités strictement entre zéro et un, montrer que {2^m\leq N}.

1) Montrer que {X} et {Y+1-X} ont la même loi.

2) Si {X\sim\mathcal G(p)}, déterminer la loi de {Y} et les valeurs possibles de {p}.

1) Donner la loi de {U}.

2) Calculer son espérance.

1) Donner la loi et la fonction génératrice de {S_n}.

2) Donner {\mathbb E(T_n),V(T_n)}.

3) Pour {x>0}, exprimer {\mathbb E(x^{T_n})} et trouver sa limite.

Soient {N\geq1} et {(U_n)} indépendantes uniformes sur {\left\{1,\ldots,N\right\}}, de moyenne {\mu} et variance {\sigma^2}. Posons {S_n=\sum\limits_{k=1}^nU_k}, {V_n=(S_n-n\mu)/(\sigma\sqrt n)}.

Pour tout réel {t}, montrer que {\mathbb E(e^{tV_n})\to e^{t^2/2}}.

1) Montrer que {|x+y|\geq\varepsilon} implique {|x|\geq\varepsilon/2} ou {|y|\geq\varepsilon/2}.

2) Montrer que {X_n+Y_n\to X+Y} en probabilité.

3) Pour {(U_n)} i.i.d. Bernoulli de paramètre {p\in[0,1]} et {V_n=U_{n+1}+U_n}, montrer que {\mathbb{P}(n^{-1}\sum\limits_{i=1}^nV_i-2p\geq\varepsilon)\to0}.

4) Montrer que {\mathbb{P}(|X|\geq M)\to0}.

5) Montrer que {X_nY_n\to XY} en probabilité.

1) Montrer que {Y} est une variable à valeurs dans {\mathbb{N}}.

2) Donner sa loi par fonctions génératrices.

3) Retrouver la loi sans fonctions génératrices.

Soient {X,Y} indépendantes géométriques de paramètres {p,q}.

Quelle est la probabilité que {\begin{pmatrix}X&1\\[4pt]0&Y\end{pmatrix}} soit diagonalisable ?