Dans un espace normé de dimension au moins {2}, montrer que tout point de la boule unité fermée est le milieu de deux points de la sphère unité.

Pour {n\geq2}, l’ensemble des matrices diagonalisables est-il ouvert dans {M_n(\mathbb{C})} ?

Soit {A} une partie d’un espace normé de dimension finie, ayant un unique point d’accumulation {a}. Poser {A_n=\left\{x\in A:1/n\leq\lVert x-a\rVert\leq n\right\}} et {A'=\bigcup_{n\geq1}A_n}.

Montrer que chaque {A_n} est fini, que {A\cup\left\{a\right\}=A'\cup\left\{a\right\}}, puis que {A} est dénombrable.

Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} et {G_f} son graphe.

Montrer que la continuité de {f} implique la fermeture de {G_f}.

La réciproque est-elle vraie ?

La montrer lorsque {f} est bornée.

Soit {X} compact et {f:X\to X} telle que {\lVert f(x)-f(y)\rVert\geq\lVert x-y\rVert}.

Montrer que toute orbite {(f^n(a))} admet {a} pour valeur d’adhérence, puis que {f} est une isométrie bijective.

Soit {n\geq2}. Montrer que {SO_n(\mathbb{R})} est connexe par arcs.

Établir la décomposition unique {A=OS}, avec {O} orthogonale et {S} symétrique définie positive, pour {A} inversible réelle.

Montrer que {SL_n(\mathbb{R})} est fermé, non borné, d’intérieur vide et connexe par arcs.

Montrer que {GL_n(\mathbb{C})} est connexe par arcs ;

est-il convexe ?

Qu’en est-il de {GL_n(\mathbb{R})} ?

Dans {\mathcal P=\left\{M\in M_n(\mathbb{C}):M^2=M\right\}}, montrer que deux matrices appartiennent à la même composante connexe par arcs exactement si elles ont même rang.

Montrer que tout sous-groupe de {(\mathbb{R},+)} est {a\mathbb{Z}}, {a\geq0}, ou est dense.

Soit {\theta/\pi\notin\mathbb{Q}}.

Montrer que {\theta\mathbb{Z}+2\pi\mathbb{Z}} est dense et déterminer les valeurs d’adhérence de {(\cos(n\theta))} et {(\cos(\sqrt n\,\theta))}.

À partir d’une partie {A} d’un espace normé, appliquer successivement les opérations intérieur et adhérence.

Montrer qu’on obtient au plus sept parties et donner un exemple où il y en a exactement sept.

Pour {A\ne\varnothing} dans un espace normé, montrer que {d(\cdot,A)} est {1}-lipschitzienne et que {A} est fermé exactement si {A=d(\cdot,A)^{-1}(\left\{0\right\})}.

Montrer que tout fermé est intersection décroissante d’ouverts et tout ouvert union croissante de fermés.

Pour {F} sous-espace de dimension finie d’un espace normé {E}, montrer que la distance de tout {x} à {F} est atteinte.

Si {F\ne E}, trouver {u} tel que {d(u,F)=\lVert u\rVert=1}.

En déduire la caractérisation des espaces dont la boule unité fermée est compacte.

Déterminer les sous-groupes compacts de {\mathbb{C}^\star}.

Pour {f\in\mathcal L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p)}, montrer que {f} est surjective exactement si elle envoie tout ouvert sur un ouvert.

1) Pour {f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}} continue et une norme {N}, montrer que {|f(x)|\to\infty} lorsque {N(x)\to\infty} équivaut à la compacité des images réciproques des compacts.

2) Une application continue {\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n} ayant cette dernière propriété envoie-t-elle les fermés sur des fermés ?

3) La réciproque est-elle vraie ?

Sur les suites sommables, montrer que {N(x)=\sum\limits_{n\ge0}|x_n|} est une norme.

Déterminer l’adhérence et l’intérieur des suites à support fini.

Pour {x_1,\ldots,x_p} dans un espace normé réel, montrer l’équivalence entre leur liberté et {\inf_{\lambda\in\mathbb{R}^p,\ \sum\limits_i\lambda_i^2=1}\lVert \sum\limits_i\lambda_ix_i\rVert>0}.

En déduire que l’ensemble des familles libres est ouvert dans {E^p}, puis retrouver ce résultat en dimension finie.

Pour un compact {K\subset\mathbb{R}^n} et {\varepsilon>0}, montrer qu’il existe un cardinal maximal {M(\varepsilon)} des parties dont les points distincts sont à distance au moins {\varepsilon}.

En déduire que toute isométrie {f:K\to K} est surjective.

Pour {n\ge2}, si {f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}} est continue et tous ses ensembles de niveau sont compacts, montrer qu’elle a un extremum global.

Que se passe-t-il pour {n=1} ?

Pour {1\le r\lt n}, l’ensemble des matrices de taille {n} et de rang {r} est-il ouvert ou fermé ?

Donner son intérieur et son adhérence.

Montrer que les matrices nilpotentes réelles ou complexes de taille {n} forment un ensemble connexe par arcs.

Pour {n\ge2}, soit {D} l’ensemble des matrices diagonalisables réelles.

Est-ce un sous-espace ?

Quels espaces engendrent {D} et son complément ?

Est-il ouvert ou fermé ?

Montrer que {SL_n(\mathbb{R})} est fermé non compact, que {SO_n} est connexe par arcs, établir l’unique décomposition polaire {M=OS} pour {M} inversible, puis la connexité par arcs de {SL_n} et {GL_n^+}.

Montrer qu’un sous-groupe additif de {\mathbb{R}} est de la forme {a\mathbb{Z}} ou dense.

Pour {\theta\ne0}, {\pi/\theta\notin\mathbb{Q}}, montrer la densité de {\left\{p\theta+2\pi q:p,q\in\mathbb{Z}\right\}}.

Déterminer les valeurs d’adhérence de {\cos(n\theta)} et de {\cos(\sqrt n\,\theta)}.

Déterminer les sous-groupes compacts de {(\mathbb{C}^\star,\times)}.

Soient {E} un espace vectoriel normé, {A\subset E} et {f:[0,1]\to E} continue, avec {f(0)\in A} et {f(1)\notin A}.

Montrer que {f([0,1])\cap\operatorname{Fr}(A)\ne\varnothing}.

On munit {E=C^0([a,b],\mathbb{R})} de la norme uniforme. Soient {x_1,\ldots,x_n} distincts dans {[a,b]} et {y_1,\ldots,y_n} réels.

Montrer que l’adhérence de {\left\{P\in\mathbb{R}[X]:P(x_i)=y_i\text{ pour tout }i\right\}} est {\left\{f\in E:f(x_i)=y_i\text{ pour tout }i\right\}}.

Soient {C} une partie convexe d’un espace normé {E} et {X\subset E} tels que {C\subset X\subset\overline C}.

Montrer que {X} est connexe par arcs.

1) Soit {P\in\mathbb{R}[X]} unitaire de degré {n}.

Montrer que {P} est scindé sur {\mathbb{R}} si et seulement si {|\operatorname{Im}z|^n\le|P(z)|} pour tout {z\in\mathbb{C}}.

2) Soient {T} l’ensemble des matrices trigonalisables sur {\mathbb{R}} et {D} celui des matrices diagonalisables sur {\mathbb{R}}.

Montrer que {T} est fermé dans {M_n(\mathbb{R})} et que {\overline D=T}.

1) Montrer que l’image continue d’une partie connexe par arcs est connexe par arcs.

2) Montrer qu’une fonction continue injective de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}} est strictement monotone.

3) Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continue. On applique {f} à chaque coefficient d’une matrice {2\times2}, obtenant une application {F}. On suppose que {F} envoie toute matrice inversible sur une matrice inversible.

Montrer que {f} est injective et ne s’annule pas sur {\mathbb{R}^\star}, puis que {f(0)=0}.

1) Montrer que {GL_n(\mathbb{R})} est dense dans {M_n(\mathbb{R})}.

2) Existe-t-il une norme {N} sur {M_n(\mathbb{R})} telle que, pour toutes matrices semblables {A,B}, on ait {N(AB)=N(BA)} ?

Soit {f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}} de classe {C^1}, avec {f(x)\to+\infty} et {f'(x)\to0} lorsque {x\to+\infty}.

Montrer que {\left\{e^{if(n)}:n\in\mathbb{N}\right\}} est dense dans le cercle unité.

L’ensemble des polynômes scindés à racines simples de degré {n} est-il ouvert ou fermé dans {\mathbb{R}_n[X]} ?

Même question pour l’ensemble des polynômes scindés à racines simples, sans imposer le degré égal à {n}.

1) Montrer que {Z_1} est fermé.

2) Déterminer l’adhérence de {Z_p} pour tout {p}.

1) Si {u} est un endomorphisme continu avec {u(K)\subset K}, montrer que {C=(I-u)(K)} est convexe compact. En utilisant {x_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}(I-u)(u^kx)}, montrer que {u} a un point fixe dans {K}.

2) Si {(u_n)_{n\ge1}} sont des endomorphismes continus stabilisant {K} et commutant entre eux, montrer que l’ensemble {F_n} des points de {K} fixes par {u_1,\ldots,u_n} est non vide.

En déduire un point fixe commun à tous.

1) Pour {X\subset\mathbb{N}}, on pose {u_X=(\mathbf1_X(n))_{n\ge0}}.

Montrer que {X\mapsto u_X} est une bijection de {\mathcal P(\mathbb{N})} sur {\left\{0,1\right\}^{\mathbb{N}}}.

2) Supposons qu’une partie dénombrable {\left\{a_k:k\in\mathbb{N}\right\}} soit dense dans {B}.

Pour {b>0} et {X\subset\mathbb{N}}, justifier l’existence de {k_X=\min\left\{k:\lVert u_X-a_k\rVert_\infty\le b\right\}}, puis aboutir à une contradiction.

Soient {n,p\in\mathbb{N}} et {f\in\mathcal L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^p)}.

Montrer que {f} est surjective si et seulement si elle envoie tout ouvert sur un ouvert.

1) Dans {E=C^0([0,1],\mathbb{R})} muni de la norme uniforme, les parties {A=\left\{f:\int_0^1f=1\right\}} et {B=\left\{f:f([0,1])\subset[0,1]\right\}} sont-elles compactes ?

2) Pour un compact non vide {K} d’un espace normé, on appelle isométrie {f:K\to K} une application préservant les distances.

Quelles sont les isométries de {[0,1]} dans {\mathbb{R}} ?

3) Montrer qu’une isométrie de {K} est surjective.

4) Si {f:K\to K} vérifie {\lVert f(x)-f(y)\rVert\ge\lVert x-y\rVert}, montrer que c’est une isométrie.

1) Montrer que {f} est bijective.

2) Montrer que {f^{-1}} est continue.

Soit {C} un fermé non vide de {\mathbb{R}^n} tel que, pour tous {x\ne y} dans {C}, le segment ouvert {]x,y[} rencontre {C}.

Montrer que {C} est convexe.

L’ensemble des matrices de {\mathcal M_n(\mathbb{C})} dont le polynôme caractéristique est scindé à racines simples est-il ouvert ? fermé ?

Soit {r\in\left\{0,\ldots,n\right\}}.

Déterminer l’intérieur, l’adhérence et les composantes connexes par arcs de l’ensemble des matrices de rang {r} dans {\mathcal M_n(\mathbb{C})}.

1) Montrer que {\alpha} est irrationnel.

2) En notant {\left\{x\right\}=x-\lfloor x\rfloor}, montrer que {\left\{\left\{n\alpha\right\}:n\in\mathbb{N}\right\}} est dense dans {[0,1]}.

3) Montrer qu’une puissance {2^k} commence, en écriture décimale, par {2025}.

Soit {E} normé de dimension finie non nulle. Une fonction {f} continue sur la boule fermée unité, constante sur sa sphère et différentiable dans la boule ouverte, possède-t-elle un point critique intérieur ?

1) Montrer que {\Sigma_N} est compact convexe.

2) Montrer que {\varphi} est continue et strictement concave, c’est-à-dire que {\varphi((1-\lambda)x+\lambda y)>(1-\lambda)\varphi(x)+\lambda\varphi(y)} pour {x\ne y}, {0\lt \lambda\lt 1}.

3) Si {0\le a\lt b} et {0\lt t\lt (b-a)/2}, montrer que {\varphi(a+t)+\varphi(b-t)>\varphi(a)+\varphi(b)}.

4) Montrer que {h} atteint son maximum en un unique {p}.

5) En faisant varier {(p_1,p_2)} en {(p_1+\varepsilon,p_2-\varepsilon)}, montrer que toutes les coordonnées de {p} sont égales.

1) Montrer que {T_xX=\mathbb{R}^n} pour tout {x\in X}.

2) Montrer que {X=\mathbb{R}^n}.

1) Quand {d(x)=0} ?

2) Montrer que {d} est {1}-lipschitzienne et que {\Gamma(x)\ne\varnothing}.

3) Pour {y\ne z} dans {\Gamma(x)}, montrer que {\lVert (y+z)/2-x\rVert^2\lt d(x)^2}.

4) En déduire l’unicité, notée {p(x)}.

5) Montrer la caractérisation {\langle x-p(x),y-p(x)\rangle\le0} pour tout {y\in F}.

Soit {f(x,y)=(1-y^2)^{-1}\log((x+y)/(1+xy))}.

Décrire son domaine ouvert {\Omega}, montrer sa classe {C^1}, comparer {f(1/x,y)} et {f(x,y)} et interpréter pour {x>0}, {0\lt y\lt 1}.

Montrer {2yf+(1-x^2)f_x-(1-y^2)f_y=0}.

Soient {n\geq2}, {U} un ouvert de {\mathbb{R}^n} et {\gamma:[0,1]\to U} continue.

Montrer qu’il existe {\delta>0} tel que {B(\gamma(t),\delta)\subset U} pour tout {t\in[0,1]}.

Montrer qu’une intersection finie d’ouverts denses d’un espace normé est ouverte et dense.

En dimension finie, pour {A\ne\varnothing} et {R>0}, montrer que {A(R)=\left\{x:d(x,A)\leq R\right\}} est fermé et convexe si {A} est convexe.

Les ensembles {E=\left\{(x,y):x^2(x-1)(x-3)+y^2(y^2-4)=0\right\}} et {F=\left\{(x,y):2x^2-y(y-1)=0\right\}} sont-ils fermés ? bornés ?

Soit {u} symétrique défini positif sur un espace euclidien {E}.

Montrer qu’il existe {m>0} et un ouvert dense {\Omega} tels que {\lVert u^{k+1}x\rVert/\lVert u^kx\rVert\to m} pour tout {x\in\Omega}.

a) Pour {A\in M_2(\mathbb{C})}, montrer que {\left\{Q(A):Q\in\mathbb{C}[X]\right\}} est fermé.

b) Si {B\in M_n(\mathbb{C})} a {n} valeurs propres distinctes et {Q} est non constant, montrer qu’il existe {A} tel que {B=Q(A)}.

c) Pour {Q} non constant, montrer que {\left\{Q(A):A\in M_2(\mathbb{C})\right\}} est dense.

Est-il fermé ? borné ?

1) Montrer qu’il s’agit d’un produit scalaire et que {\varphi} est une forme linéaire.

2) Montrer que le noyau de toute forme linéaire continue est fermé.

3) Montrer que {H=\ker\varphi} est fermé pour la norme associée.

4) Montrer que l’orthogonal de toute partie est fermé.