Soit {A=(a_{ij})\in M_n(K)} telle que {a_{ik}a_{kj}=a_{ij}a_{kk}} pour tous {i,j,k}.

Étudier son spectre et sa diagonalisabilité.

Si {A,B\in M_3(\mathbb{R})} et {AB=\begin{pmatrix}0&1&1\\[4pt]1&0&1\\[4pt]1&1&0\end{pmatrix}}, montrer que {BA} est diagonalisable.

Pour une forme linéaire {u} et {a\in E} avec {u(a)\neq0}, étudier la diagonalisabilité de {f(x)=u(x)a-u(a)x}.

Pour {\alpha\neq0}, résoudre {\alpha x+u(x)a=b}.

Pour {X=(X_1|\cdots|X_n)} inversible, soit {Y=(X_2|\cdots|X_n|0)}.

Montrer que {X^{-1}Y} et {YX^{-1}} ont rang {n-1} et seul élément spectral {0}.

Si {A,B,C\in M_n(\mathbb{C})} et {AC=CB}, avec {r=\operatorname{rang}C}, montrer {\deg\gcd(\chi_A,\chi_B)\geq r}.

Combien existe-t-il de classes de similitude réelles de matrices {M\in M_n(\mathbb{R})} telles que {M^2=M} ?

Diagonaliser la matrice réelle {A} ayant des {1} sur la diagonale, sur la première ligne et sur la première colonne, et {0} ailleurs.

Si {A\in M_n(K)} est diagonalisable, avec valeurs propres distinctes {\lambda_k} de multiplicités {d_k}, montrer que son commutant est un sous-espace de dimension {\sum\limits_kd_k^2}.

Soit {M=\operatorname{diag}(x_1,\ldots,x_n)+a\mathbf1^T}, où {a=(a_1,\ldots,a_n)^T\in\mathbb{C}^n}.

Calculer son déterminant et montrer que son spectre est inclus dans l’union des disques de centres {x_i} et de rayons {n|a_i|}.

Pour {B=\begin{pmatrix}A&A^2\\[4pt]I&A\end{pmatrix}}, {A\in M_n(\mathbb{C})}, exprimer le polynôme minimal de {B} à l’aide de celui de {A}, puis caractériser la diagonalisabilité de {B}.

Si {M\in M_n(\mathbb{C})} vérifie {M^2+M^T=I}, montrer qu’elle est diagonalisable.

Soit {A\in M_n(\mathbb{Z})} inversible, de valeurs propres de module au plus {1}.

Montrer que toutes ses valeurs propres sont des racines de l’unité.

Pour {A\in GL_n(\mathbb{C})} et {p\geq1}, montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {A^p} l’est.

Que se passe-t-il sans inversibilité ?

Si {A_1,\ldots,A_n\in M_n(\mathbb{C})} sont nilpotentes et commutent deux à deux, calculer {A_n\cdots A_1}.

Pour {A\in M_n(\mathbb{C})}, montrer l’équivalence entre : {A} diagonalisable ; {P(A)^n=0\Rightarrow P(A)=0} pour tout {P} ; {\mathbb{C}[A]} ne contient aucun nilpotent non nul.

Si {\lambda} est une valeur propre de multiplicité algébrique {m} de {u}, montrer que {\dim E_\lambda=m} équivaut à {E=E_\lambda\oplus\operatorname{Im}(u-\lambda I)}.

Pour {a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}}, définir {A\in M_{n+1}(\mathbb{R})} par une diagonale nulle, et {a_{ij}=a_{j-1}} si {i\lt j}, {a_{ij}=a_j} si {i>j}.

Déterminer son spectre et son déterminant, puis étudier sa diagonalisabilité.

Pour {A\in M_n(\mathbb{C})} et {f(M)=AM}, comparer l’inversibilité puis la diagonalisabilité de {A} et de {f}.

1) Si {AP=PB} avec {P\neq0} dans {M_n(\mathbb{C})}, montrer que {A,B} ont une valeur propre commune.

2) Si {AB=0}, montrer que {A,B} sont simultanément triangulisables.

Soit {E_n} l’ensemble des matrices {M\in M_n(\mathbb{C})} pour lesquelles il n’existe qu’un nombre fini de matrices semblables à {M} et commutant avec elle.

Montrer qu’une matrice à spectre simple appartient à {E_n}.

Décrire {E_2,E_3}.

Si {f^2} est diagonalisable sur un espace complexe de dimension finie, montrer que {f} l’est lorsqu’il est inversible, puis lorsqu’il vérifie {\ker f=\ker f^2}.

En déduire que {f} est diagonalisable exactement lorsque {f^2} l’est et {\ker f=\ker f^2}.

Pour {n\geq1}, soit {M\in M_{n+1}(\mathbb{R})} de diagonale nulle, de surdiagonale {1/n,2/n,\ldots,n/n} et de sous-diagonale {n/n,(n-1)/n,\ldots,1/n}.

L’interpréter comme matrice d’un endomorphisme de {\mathbb{R}_n[X]} et étudier sa diagonalisabilité.

1) Montrer que {(X_i),(Y_j)} sont deux bases si et seulement si {(X_iY_j^T)_{i,j}} est une base matricielle.

2) Comparer l’inversibilité de {A,f_A}.

3) Si {A} est diagonalisable, montrer que {f_A} l’est.

4) Pour {AY=\lambda Y}, {\lambda\neq0}, montrer la stabilité de {\left\{XY^T:X\in\mathbb{C}^n\right\}}.

5) Examiner la réciproque de la troisième question.

Montrer que deux endomorphismes complexes {u,v} en dimension finie non nulle ont un vecteur propre commun si {uv=0}, si {uv\in\operatorname{Vect}(u)}, puis si {uv\in\operatorname{Vect}(u,v)}.

Pour une ligne non nulle {L} et {H=\ker L}, montrer que {H} est stable par {A} si et seulement si {L^T} est vecteur propre de {A^T}.

Montrer que {M\in M_n(\mathbb{C})} est singulière si et seulement s’il existe {P\in GL_n(\mathbb{C})} tel que {P-\lambda M} soit inversible pour tout {\lambda\in\mathbb{C}}.

Le résultat vaut-il sur un corps arbitraire ?

Pour toute valeur propre {\lambda} de {A\in M_n(\mathbb{C})}, montrer qu’il existe {i} tel que {|\lambda-a_{ii}|\leq\sum\limits_{j\neq i}|a_{ij}|}.

Soit {a} un vecteur unitaire d’un espace euclidien et {f_\alpha(x)=x+\alpha\langle a,x\rangle a}.

Calculer {f_\alpha\circ f_\beta}, déterminer les paramètres pour lesquels {f_\alpha} est bijective, son inverse et ses éléments propres.

Est-elle diagonalisable ?

Soit {A} réelle antisymétrique.

Montrer que {A^2} est diagonalisable à valeurs propres réelles négatives ou nulles, puis que {A} est semblable à une matrice diagonale par blocs de taille {1} ou {2}, les blocs de taille {2} étant {\begin{pmatrix}0&\alpha\\[4pt]-\alpha&0\end{pmatrix}}.

Soit {A\in M_2(\mathbb{R})} de valeurs propres {e^{\pm i\theta}}, {\theta\notin\pi\mathbb{Z}}.

Montrer que {A} représente une rotation dans une base de {\mathbb{R}^2}.

Soit {A\in M_2(\mathbb{R})} non scalaire, de déterminant {1}.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur sa trace pour qu’il existe {X\ne0} tel que {(A^nX)_{n\geq0}} soit bornée.

1) Pour {P\in\mathbb{R}[X]} unitaire de degré {n}, montrer que {P} est scindé sur {\mathbb{R}} si et seulement si {|P(z)|\geq|\operatorname{Im}z|^n}.

2) Montrer que les matrices réelles trigonalisables forment un fermé.

3) Déterminer l’adhérence des matrices diagonalisables réelles, puis celle des matrices ayant {n} valeurs propres réelles distinctes.

Soit {J} la matrice du décalage cyclique : {Je_i=e_{i+1}} pour {i\lt n}, {Je_n=e_1}.

Déterminer ses polynômes caractéristique et minimal, puis ses vecteurs propres.

Soit {M} la matrice circulante de première colonne {(X_0,\ldots,X_{n-1})^T}, où les {X_k} sont des signes indépendants uniformes.

Exprimer {M} en fonction de {J}, déterminer son spectre, puis sa probabilité d’inversibilité pour {n=2} et pour {n} premier, en admettant l’irréductibilité de {1+X+\cdots+X^{n-1}} sur {\mathbb{Q}}.

Si {P\in\mathbb{Z}[X]} est unitaire de racines {\lambda_1,\ldots,\lambda_n}, montrer que {\prod\limits_i(X-\lambda_i^q)\in\mathbb{Z}[X]} pour {q\ge1}.

Résoudre dans {\mathcal M_2(\mathbb{R})} l’équation {X^2+X=\left(\begin{smallmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{smallmatrix}\right)}.

Soient {f,g\in\mathcal L(E)}, {E} réel, tels que {fg-gf=I}.

Montrer que {E} est de dimension infinie ou nulle, que {f} n’est pas nilpotent, puis donner un exemple.

Si {M\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} a {n} valeurs propres distinctes, montrer que son commutant est {\operatorname{Vect}(I,M,\ldots,M^{n-1})}.

Pour {Z\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} dont tous les coefficients valent un, calculer {\chi_{Z^2}} et dire si {Z} est diagonalisable.

Soient {a_1\lt \cdots\lt a_n} réels et {M=\operatorname{diag}(a_i)+J}, où tous les coefficients de {J} valent un.

Calculer {\chi_M}, puis montrer que {M} est diagonalisable avec des espaces propres de dimension un.

Si {u} est annulé par {P=X^2+aX+b} irréductible sur {\mathbb{R}}, montrer que {F_x=\operatorname{Vect}(x,ux)} est un plan stable pour {x\ne0}, que {F\cap F_x=0} si {F} est stable et {x\notin F}, puis que {u} est diagonalisable par blocs identiques de taille deux.

Écrire les matrices symétriques complexes de taille deux non diagonalisables comme réunion de deux plans privés de leur droite d’intersection.

Soit {A\in\mathcal M_{2n}(\mathbb{R})} ayant {a\ne0} sur la diagonale, {b\ne0} sur l’antidiagonale et zéro ailleurs.

Déterminer ses éléments propres, son inversibilité et {A^k}.

Soient {A} la matrice permutant les deux premières coordonnées et {B} celle du cycle {e_i\mapsto e_{i+1}}, {e_n\mapsto e_1}.

Montrer leur inversibilité et déterminer le groupe qu’elles engendrent. Pour {n=3}, préciser les matrices de ce groupe diagonalisables.

Sur {\mathbb{R}[X]}, poser {u(P)=(X^2-1)P''+4XP'}.

Montrer que son spectre réel est {\left\{n(n+3):n\ge0\right\}}, avec des espaces propres de dimension un.

Pour le générateur unitaire {P_n} associé, trouver une relation entre {P_n,P_{n-1},P_{n-2}}.

Soient {A,B\ne0} réelles et {f(M)=M+\operatorname{tr}(AM)B}.

Trouver un polynôme annulateur de degré deux et étudier la diagonalisation.

Pour {M,N\in\mathcal M_{2n+1}(\mathbb{C})} tels que {MN=0} et {M+M^T} inversible, montrer qu’ils ont un vecteur propre commun et que {N+N^T} est singulière.

Pour un projecteur {P\in\mathcal M_n(\mathbb{R})}, étudier la diagonalisation et la trace de {f:M\mapsto PM-MP}.

Si {A,B} sont diagonalisables, montrer que {\Delta:M\mapsto AM+MB} l’est et donner ses valeurs propres.

Pour une permutation {\sigma}, soit {p} l’opérateur conservant seulement les coefficients {(\sigma(j),j)} d’une matrice.

Déterminer son noyau et son image et montrer {p^2=p}.

Poser {\varphi(M)=\sum\limits_km_{\sigma(k),k}} et, pour {A\ne0}, {u_A(M)=\varphi(M)A+\varphi(A)M}.

Montrer que {u_A} est diagonalisable si et seulement si {\varphi(A)\ne0}. Peut-il être un projecteur ?

Si {fg-gf=f} sur un espace réel de dimension {n}, montrer que {f} est nilpotent.

Si {g} est diagonalisable et {\dim\ker f=1}, déterminer {g}.

Si {AB-BA=B}, montrer {AB^m-B^mA=mB^m} pour {m\ge1} et en déduire que {B} est nilpotente.

Sur un espace complexe de dimension finie non nulle, montrer que deux opérateurs commutant ont un vecteur propre commun, puis qu’une famille finie d’opérateurs commutant est simultanément trigonalisable.

1) Si {f} a un polynôme annulateur dont zéro est racine simple, montrer {E=\operatorname{Im}f\oplus\ker f}.

2) En dimension finie complexe, si {fg=0}, montrer que {f,g} sont cotrigonalisables.

3) Montrer la cotrigonalisation d’une famille finie commutante.

4) En dimension {n}, calculer le produit de {n} opérateurs nilpotents commutant deux à deux.

Montrer que {A\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} est diagonalisable si et seulement si tout {P(A)} nilpotent est nul.

1) montrer que {(X_iY_j^T)_{i,j}} est une base exactement lorsque {(X_i)} et {(Y_j)} sont des bases ;

2) comparer l’inversibilité de {A} et {f_A} ;

3) si {A} est diagonalisable, montrer que {f_A} l’est ;

4) pour {AY=\lambda Y}, {\lambda\ne0}, montrer que {F=\left\{XY^T:X\in\mathbb{C}^n\right\}} est stable ;

5) prouver la réciproque de la troisième question.

Donner une base de {\mathcal M_n(\mathbb{R})} constituée de matrices diagonalisables.

Sur un espace complexe de dimension finie, montrer que {f} est diagonalisable exactement lorsque {f^2} l’est et {\ker f=\ker f^2}.

Pour {u} diagonalisable sur {\mathbb{C}^n}, montrer l’équivalence : {n} valeurs propres distinctes ; {(I,u,\ldots,u^{n-1})} libre ; existence de {x} tel que {(x,ux,\ldots,u^{n-1}x)} soit libre.

Montrer que {u} est diagonalisable sur un espace complexe de dimension finie exactement s’il existe {n\ge1}, {\alpha_i\in\mathbb{C}} et {v_i} tels que {u^k=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i^kv_i} pour {0\le k\le n}.

1) Montrer {\operatorname{tr}C^k=0} pour {k>0}, puis que {C} est nilpotente.

2) Montrer {[B,A^p]=-pCA^{p-1}}.

3) Si {A} est nilpotente, montrer que {AB} l’est.

Montrer que l’unique valeur propre de {A\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} est {1} exactement lorsque {\operatorname{tr}A^k=n} pour {1\le k\le n}.

Calculer l’inverse de {\left(\begin{smallmatrix}I&D\\[4pt]0&I\end{smallmatrix}\right)}.

Si {A,B,C} sont diagonalisables complexes et les spectres de {A,B} disjoints, montrer la similitude des matrices {\left(\begin{smallmatrix}A&C\\[4pt]0&B\end{smallmatrix}\right)} et {\left(\begin{smallmatrix}A&0\\[4pt]0&B\end{smallmatrix}\right)}.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour la bornitude de {M_p=p^{-1}\sum\limits_{k=0}^{p-1}A^k}, avec {A\in\mathcal M_n(\mathbb{C})}.

Si {M\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} possède {n} valeurs propres distinctes, montrer {C(M)=\operatorname{Vect}(I,M,\ldots,M^{n-1})}.

Déterminer les {A\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} telles que toute matrice commutant avec {A} soit diagonalisable.

Déterminer les {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} telles que {PA} soit diagonalisable pour toute {P\in GL_n(\mathbb{R})}.

Déterminer les {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} telles que {PA} soit trigonalisable sur {\mathbb{R}} pour toute {P} inversible.

Pour {u(T)=AT-TB} sur {\mathcal M_n(\mathbb{C})}, montrer que ses valeurs propres sont les {\alpha-\beta}, {\alpha\in\operatorname{Sp}A}, {\beta\in\operatorname{Sp}B}.

Si {u(T)=\lambda T}, montrer {P(A)T=TP(\lambda I+B)} pour tout {P}.

En déduire la condition d’existence de {T\ne0} tel que {AT=TB}.

1) Pour quels {\lambda\in\mathbb{C}} existe-t-il {A,B\in GL_n(\mathbb{C})} tels que {AB=\lambda BA} ?

2) Pour quels {\lambda} cette relation impose-t-elle toujours que {A} et {B} soient diagonalisables ?

Sur l’espace des suites complexes bornées indexées par {\mathbb{Z}}, soit {T(u)_n=u_{n+1}}.

Déterminer ses valeurs et vecteurs propres, puis montrer que sa restriction à tout sous-espace stable de dimension finie est diagonalisable.

1) Sur {\mathbb{C}}, montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {e^A} l’est.

Que se passe-t-il sur {\mathbb{R}} ?

2) Résoudre {e^M=A} dans les matrices complexes.

Pour {a\ne0} dans un espace euclidien, poser {\Phi_\lambda(x)=x-\lambda\langle a,x\rangle a}.

Déterminer son inversibilité, les composées {\Phi_\lambda\Phi_\mu} et ses éléments propres.

1) montrer que {\operatorname{Im}p} est stable par {pq} et que la restriction est symétrique ;

2) montrer {\ker(pq)=\ker q\oplus(\operatorname{Im}q\cap\ker p)} ;

3) montrer {E=(\operatorname{Im}p+\ker q)\mathbin{\perp\oplus} (\ker p\cap\operatorname{Im}q)} ;

4) en déduire la diagonalisation et le spectre dans {[0,1]}.

Montrer que si {F} est stable par une matrice réelle {A}, alors {F^\perp} est stable par {A^T}.

Si {A\in\mathcal M_3(\mathbb{R})} est normale, montrer qu’elle est diagonalisable réelle ou semblable à {\operatorname{diag}(\lambda,\left(\begin{smallmatrix}\alpha&-\beta\\[4pt] \beta&\alpha\end{smallmatrix}\right))}, {\beta\ne0}.

Montrer que {AA^T,A^TA} sont diagonalisables.

Comparer les spectres de {MN,NM} et les dimensions propres pour une valeur non nulle.

En déduire que {AA^T,A^TA} ont les mêmes multiplicités propres et sont orthogonalement semblables.

Si {M} est réelle nilpotente et {M^TM=MM^T}, déterminer {M^TM} et {M}.

Montrer qu’un polynôme réel unitaire de degré {n} est scindé réel exactement si {|P(z)|\ge|\operatorname{Im}z|^n} pour tout {z\in\mathbb{C}}.

En déduire la fermeture des matrices réelles trigonalisables et déterminer l’adhérence des matrices réelles diagonalisables.

Montrer qu’une matrice complexe est diagonalisable exactement lorsque sa classe de similitude est fermée.

Sur les suites complexes bornées indexées par {\mathbb{Z}}, étudier les éléments propres du décalage {Tu=(u_{n+1})}, puis déterminer ses sous-espaces stables de dimension finie.

Pour {g:[-1,1]\to[-1,1]} continue, strictement croissante et surjective, soit {\Phi(f)=f\circ g}. Sur un sous-espace stable fini {F\subset C([-1,1],\mathbb{C})}, montrer que {\Phi_F} est un automorphisme, que sa seule valeur propre est {1} et que {\Phi_F-I} est nilpotent.

Sur {C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})}, montrer que la dérivation est un endomorphisme et déterminer ses éléments propres.

Sur {C([0,1],\mathbb{R})}, poser {u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)dt}.

Montrer que c’est un endomorphisme et déterminer ses éléments propres.

Pour {P\in\mathbb{C}[X]}, poser {u(P)(z)=e^{-z}\sum\limits_{n\ge0}P(n)z^n/n!}.

Montrer que c’est un automorphisme de {\mathbb{C}[X]} et déterminer ses éléments propres.

Pour {m\ge1} et {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})}, montrer que toutes les solutions de {X^{(m)}=AX} sont polynomiales exactement si {A} est nilpotente.

Pour {A:\mathbb{R}\to\mathcal M_n(\mathbb{C})} continue et {T}-périodique, montrer qu’il existe {X\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{C}^n)} et {\lambda\ne0} tels que {X(t+T)=\lambda X(t)}.

Soit {A} une sous-algèbre de {L(E)} dont les seuls sous-espaces stables par tous ses éléments sont {\left\{0\right\}} et {E}.

Montrer que, pour {x\ne0} et tout {y\in E}, il existe {u\in A} avec {u(x)=y}.

Soit {u} nilpotent sur un espace de dimension {n}, de rang {n-1}.

Montrer qu’il admet exactement {n+1} sous-espaces stables.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})} avec {B} nilpotente et {AB=BA}.

Montrer que {A} est inversible si et seulement si {A+B} l’est, puis calculer {(A+B)^{-1}} lorsque {A} est inversible.

Montrer que {A^2=0} si et seulement si {A} est semblable à une matrice ayant un bloc {I_r} au-dessus de la diagonale et tous les autres blocs nuls, avec {2r\le n}.

Sur un espace de dimension {3n}, soit {f} tel que {f^3=0} et {\operatorname{rg}f=2n}.

Montrer qu’une base donne la matrice {\begin{pmatrix}0&I_n&0\\[4pt]0&0&I_n\\[4pt]0&0&0\end{pmatrix}}.

Soit {J} la matrice du décalage cyclique {J(x_1,\ldots,x_n)=(x_2,\ldots,x_n,x_1)} et {A=(J+J^{-1})/2}, la matrice de moyenne des deux voisins sur le cycle.

Déterminer leurs éléments propres.

Soit la matrice de cycle pondéré {M} telle que {Me_i=a_ie_{i+1}} pour {i\lt n} et {Me_n=a_ne_1}.

À quelle condition est-elle diagonalisable sur {\mathbb{C}} ?

Soient {a,b\in\mathbb{R}}, {a^2\ne b^2}.

Diagonaliser la matrice de taille {2n} dont le coefficient {(i,j)} vaut {a} si {i+j} est pair et {b} sinon.

1) Justifier la diagonalisabilité pour {k} réel.

2) Montrer {\chi_A=X^2(X-u_1)(X-u_2)} avec {u_1+u_2=k}, {u_1^2+u_2^2=k^2+6}.

3) Déterminer la condition complète de diagonalisabilité.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} diagonalisable sur {\mathbb{C}}.

Montrer que {A} et {A^{\mathsf T}} sont semblables sur {\mathbb{R}}.

1) Pour tout supplémentaire {S} de {H}, il existe {x\in S} avec {u(x)\ne x}.

2) {u} est diagonalisable.

3) {u} a une valeur propre différente de {1}.

4) {\det u\ne1}.

5) {\operatorname{Im}(u-I)\not\subset H}.

6) Une base donne {\operatorname{diag}(1,\ldots,1,\lambda)} avec {\lambda\ne1}.

Soit {s} une symétrie sur un espace de dimension finie et {\Phi(u)=(su+us)/2} sur {L(E)}.

Déterminer ses éléments propres et sa diagonalisabilité.

1) Donner un polynôme annulateur de degré {2}.

2) Déterminer quand {f} est diagonalisable.

3) Donner ses éléments propres.

1) Montrer que {L} est un endomorphisme.

2) Montrer {L=\sum\limits_{k\ge0}D^k}, où {D} est la dérivation.

3) Déterminer les éléments propres.

4) Déterminer le commutant de {L}.

1) Montrer que {\phi} est un endomorphisme.

2) Déterminer ses éléments propres.

3) Montrer qu’il préserve {\mathbb{R}_n[X]}.

Soit {g:[-1,1]\to[-1,1]} continue, surjective et croissante, et {\Phi(f)=f\circ g} sur {C([-1,1],\mathbb{C})}.

Pour un sous-espace non nul {F} de dimension finie stable par {\Phi}, montrer que {\Phi_F} est un automorphisme, que sa seule valeur propre est {1}, puis que {\Phi_F-I} est nilpotent.

Soit {v} diagonalisable sur un espace complexe de dimension finie et {P\in\mathbb{C}[X]} non constant.

Montrer qu’il existe {u} tel que {v=P(u)}.

Déterminer les {M\in M_n(\mathbb{C})} telles que {\left\{M^k:k\in\mathbb{N}\right\}} soit fini.

Déterminer les {A\in M_n(\mathbb{C})} telles que {PA} soit diagonalisable pour tout {P\in GL_n(\mathbb{C})}.

Pour {M\in M_n(\mathbb{R})} et {a,b,c\in\mathbb{R}}, étudier la diagonalisabilité de {A=\begin{pmatrix}aM&bM\\[4pt]bM&cM\end{pmatrix}}.

Soient {A,B,C\in M_n(\mathbb{C})} avec {AB=BC}.

Déterminer quand {T=\begin{pmatrix}A&B\\[4pt]0&C\end{pmatrix}} est diagonalisable.

1) Montrer qu’un {\alpha\in\mathbb{U}} rend {\alpha M+\overline\alpha I} inversible.

2) Montrer l’équivalence entre {M\overline M=\lambda I}, {\lambda\ge0}, et {M=\mu P\overline P^{-1}} pour {P} inversible et {\mu\in\mathbb{C}}.

3) Montrer l’équivalence entre {M\overline M} diagonalisable de spectre dans {\mathbb{R}_+} et {M=PD\overline P^{-1}} avec {D} diagonale.

Montrer qu’une matrice réelle diagonalisable sur {\mathbb{C}} est semblable sur {\mathbb{R}} à une matrice diagonale par blocs réels scalaires et blocs {\begin{pmatrix}a&-b\\[4pt]b&a\end{pmatrix}}, {b\ne0}.

Soient {A,B\in M_2(\mathbb{C})} non cotrigonalisables.

Montrer qu’une même base rend {A} triangulaire supérieure et {B} triangulaire inférieure.

Sur un espace de dimension {n}, donner une condition sur {\chi_u} pour que les seuls sous-espaces stables par {u} soient {0} et {E}.

Pour {A,B\in M_n(\mathbb{C})}, montrer l’équivalence entre {BA=0} avec {B} nilpotente, et {\chi_{AM+B}=\chi_{AM}} pour toute {M\in M_n(\mathbb{C})}.

Pour {A,B\in M_n(\mathbb{C})}, montrer qu’elles sont cotrigonalisables si leur commutateur vaut {\alpha A}, puis s’il vaut {\alpha A+\beta B}.

1) Si {A,B\in M_n(K)} ont une valeur propre commune {\lambda\in K}, montrer qu’il existe {C\ne0} avec {AC=CB=\lambda C}.

2) Si {AC=CB} et {\operatorname{rg}C=r}, montrer que {\chi_A,\chi_B} ont un diviseur commun de degré {r}.

3) Étudier la réciproque.

1) Si {A} est diagonalisable, calculer sa dimension et déterminer quand {C(A)=\mathbb{C}[A]}.

2) Montrer dans tous les cas {\dim C(A)\ge n}.

1) Si {P} réel est scindé à racines simples, montrer que {P'} l’est aussi.

2) Calculer {P(M)} en fonction de {P(A),P'(A),B}.

3) Montrer que {M} est diagonalisable sur {\mathbb{R}} si et seulement si {A} l’est et {B=0}.

Pour une matrice réelle nilpotente non nulle {M}, déterminer l’image de {x\mapsto x^{\mathsf T}Mx}.

1) Que peut-on dire du spectre réel d’une matrice antisymétrique ?

2) Déterminer {d_n(\mathbb{R})}.

3) Déterminer {d_2(\mathbb{C})}.

Soit {k\in\mathbb{R}} fixé. On pose {A=\begin{pmatrix}k&1&0&\cdots&0\\[4pt]1&k&1&\ddots&\vdots\\[4pt] 0&1&k&\ddots&0\\[4pt]\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\[4pt]0&\cdots&0&1&k \end{pmatrix}\in M_n(\mathbb{R}).}Montrer que {\max_{\lambda\in\operatorname{Sp}A}\lambda\ge k+1} et {\min_{\lambda\in\operatorname{Sp}A}\lambda\ge k-1}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} telle que {A^TA=A^TA}.

Montrer que si {F} est stable par {A}, alors {F^\perp} est stable par {A^T}. On suppose {n=3}.

Montrer que {A} est soit diagonalisable, soit semblable à {\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\[4pt]0&\alpha&\beta\\[4pt]0&-\beta&\alpha\end{pmatrix}, \qquad\beta\ne0.}

1) Pour {f\in E}, montrer que {v(x)=x^{-p-1}\int_0^xt^pf(t)\,dt} se prolonge continûment en {0}. On note {u(f)} ce prolongement.

2) Montrer que {u} est un endomorphisme injectif de {E}.

3) Déterminer son spectre.

Soient {m,n\ge1} et {A\in M_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {A} est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de {Y^{(m)}=AY} sur {\mathbb{R}} sont polynomiales.

Soit {P\in\mathbb{Z}[X]} unitaire de degré {n\ge1}, de racines complexes {\lambda_1,\ldots,\lambda_n}, distinctes ou non.

Montrer que, pour tout {q\in\mathbb{N}^\star}, {\prod\limits_{k=1}^n(X-\lambda_k^q)} est encore à coefficients entiers.

Trouver les solutions dans {\mathcal M_2(\mathbb{R})} de {X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}}.

1) Calculer {\dim\ker u^j} pour {1\le j\le n-1}.

2) Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de {u} est {\operatorname{diag}(J_{n-1},0)}, où {J_{n-1}} a des uns sur la surdiagonale et des zéros ailleurs.

1) Montrer que {\operatorname{Vect}(\mathcal N)\ne\mathcal N}.

2) Montrer que {\operatorname{Vect}(\mathcal N)\subset\mathcal H}. A-t-on l’égalité ?

1) Si {A,B,A+B\in\mathcal M_n(\mathbb{K})} sont nilpotentes, montrer que {\operatorname{tr}(AB)=0}.

2) Si {(A_1,\ldots,A_r)} est libre, montrer que {\Phi:B\mapsto(\operatorname{tr}(A_1B),\ldots,\operatorname{tr}(A_rB))} est surjective sur {\mathbb{K}^r}.

3) Soit {G} un sous-espace constitué de matrices nilpotentes.

Exprimer {\dim G^\circ}, où {G^\circ=\left\{B:\operatorname{tr}(AB)=0\text{ pour tout }A\in G\right\}}, puis montrer que {\dim G\le n(n-1)/2}.

Rappeler la base canonique de {\mathcal M_n(\mathbb{R})}.

Donner une base formée de matrices diagonalisables.

1) Déterminer le spectre de {J}.

2) Exprimer {MJ,JM,M^2} en fonction de {M,J,I_n}.

3) Montrer que {\ker(M-dI_n)=\operatorname{Im}J}.

Qu’en déduire concernant {(n,d)} ?

4) Montrer que les autres valeurs propres de {M} sont racines d’un polynôme du second degré à préciser.

1) Montrer que un est valeur propre et que toute valeur propre complexe {\lambda} vérifie {|\lambda|\le1}.

2) Si tous les {a_{ij}>0}, montrer que un est la seule valeur propre de module un.

3) Dans le cas général, si {|\lambda|=1}, montrer que {\lambda^{n!}=1}.

1) Exprimer {\chi_f} en fonction de {\operatorname{tr}f} et {\operatorname{tr}(f^2)}.

2) Déterminer en fonction de ces traces si {f} est diagonalisable.

1) Pour deux familles {(X_1,\ldots,X_n)} et {(Y_1,\ldots,Y_n)} de {\mathbb{R}^n}, montrer qu’elles sont deux bases si et seulement si {(X_iY_j^T)_{i,j}} est une base de {\mathcal M_n(\mathbb{R})}.

2) Montrer que {A} est inversible si et seulement si {f_A} est bijective.

3) Si {A} est diagonalisable, montrer que {f_A} l’est aussi.

4) Si {A^TY=\lambda Y}, avec {Y\ne0} et {\lambda\ne0}, montrer que {F=\left\{XY^T:X\in\mathbb{R}^n\right\}} est stable par {f_A}.

Soit {M\in\mathcal M_n(\mathbb{C})}.

Déterminer {I=\left\{P\in\mathbb{C}[X]:P(M)\text{ est nilpotente}\right\}}.

Soient {n\ge2} et {A,B\in\mathbb{R}[X]}, avec {B} scindé à racines simples de degré {n+1}. À {P\in\mathbb{R}_n[X]}, on associe le reste {f(P)} de la division de {AP} par {B}.

Montrer que {f} est un endomorphisme.

Quelles sont ses valeurs propres ?

Est-il diagonalisable ?

Pour {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb{C})}, montrer l’équivalence : A et B ont une valeur propre commune ; il existe {C\ne0} avec {AC=CB}.

Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} telle que {\operatorname{tr}(A^n)\ne0} et {\operatorname{tr}(A^k)=0} pour {1\le k\le n-1}.

Montrer que {A} est diagonalisable.

Soit {E=C^0([0,1],\mathbb{R})} et {T(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt.}Montrer que {T\in\mathcal L(E)} et déterminer ses éléments propres.

1) Montrer que {u(P)(x)=\int_0^{+\infty}P(x+t)e^{-t}\,dt} est un endomorphisme de {\mathbb{R}[X]}.

2) Montrer que {u(P)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}P^{(k)}}.

3) Déterminer les éléments propres de {u}.

4) Caractériser les endomorphismes qui commutent avec {u}.

1) Montrer que {u} est bien définie et que {u(P)\in\mathbb{C}[X]}.

2) Montrer que {u} est un automorphisme et déterminer ses éléments propres.

Soient {E} un espace vectoriel complexe de dimension finie et {u,v\in\mathcal L(E)}.

Montrer qu’ils ont un vecteur propre commun dans chacun des cas {uv=0}, {uv=\alpha u}, {uv=\alpha u+\beta v}, avec {\alpha,\beta\in\mathbb{C}}.

Montrer qu’ils sont alors cotrigonalisables.

Soient {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} avec {AB+BA=A}.

Montrer que, si {n} est impair, {A} et {B} ont un vecteur propre commun.

Que dire si {n} est pair ?

1) {BA} est-elle diagonalisable ?

2) {(BA)^2} est-elle diagonalisable ?

1) Montrer que {\mathcal C(A)} est un sous-espace et déterminer sa dimension.

Quand a-t-on {\mathcal C(A)=\mathbb{R}[A]} ?

2) Montrer que {\mathcal C'(A)} est un sous-espace et déterminer sa dimension.

Montrer que {\mathcal C'(A)=\mathbb{R}[A]}.

1) Montrer que {E=\bigoplus_{k=1}^r\ker(u-\lambda_kI)^{\alpha_k}}.

2) Si {u} est nilpotent d’indice {n}, montrer qu’il existe une base où sa matrice est {J_n}, avec des uns sur la surdiagonale et des zéros ailleurs.

Montrer que les sous-espaces stables par {u} sont en nombre fini.

3) Réciproquement, si {u} est nilpotent et n’a qu’un nombre fini de sous-espaces stables, montrer que son indice vaut {n}.

Soit {M=(m_{ij})\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} telle que {m_{1i}=m_{ni}=m_{i,n-i+1}=1} pour {1\le i\le n}, les autres coefficients étant nuls.

Calculer {\chi_{M^2}}. La matrice {M^2} est-elle diagonalisable ?

Soient {A\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} diagonalisable et {B=\begin{pmatrix}A&2A\\[4pt]0&3A\end{pmatrix}}.

Montrer que {B} est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.

1) Étudier la diagonalisabilité de {B}.

2) Étudier le rang de {B-I_{2n}}.

1) Déterminer les {\lambda\in\mathbb{R}} pour lesquels il existe {A,B\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})} avec {AB=\lambda BA}.

2) Parmi ces {\lambda}, déterminer ceux pour lesquels toutes les matrices {A,B} vérifiant la condition sont diagonalisables.

1) Les déterminer pour {\mathbb{K}=\mathbb{C}}, puis pour {\mathbb{K}=\mathbb{R}}.

2) Dans le cas général, les caractériser par leur polynôme caractéristique.

Soit {P\in\mathbb{R}[X]} injectif comme fonction sur {\mathbb{R}}.

Si {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} sont diagonalisables et {P(A)=P(B)}, montrer que {A=B}.

1) Montrer que deux matrices diagonalisables qui commutent sont simultanément diagonalisables.

2) Même question pour un nombre quelconque de matrices.

3) Si {G\subset\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})} est un sous-groupe tel que {A^2=I} pour tout {A\in G}, montrer que {G} est fini et majorer son cardinal.

4) Si {n\ne m}, montrer que {\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})} et {\mathrm{GL}_m(\mathbb{C})} ne sont pas isomorphes.

5) Pour {G} comme en c), montrer que son cardinal est une puissance de deux.

6) Trouver tous les groupes multiplicatifs de {\mathcal M_n(\mathbb{C})} qui ne sont pas des sous-groupes de {\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})}. Un groupe multiplicatif est une partie stable par produit matriciel et formant un groupe pour ce produit.

1) Si les spectres de {A,B} sont disjoints, montrer que {\Phi_{A,B}} est un automorphisme.

2) S’ils ont une valeur propre commune, montrer que son noyau contient une matrice de rang un.

Soient {u\in\mathcal L(\mathbb{C}^n)} et {\alpha>0}.

Montrer qu’il existe une base dans laquelle sa matrice {M} vérifie {|m_{ij}|\le\alpha} pour tous {i\ne j}.

1) Montrer que tous les éléments sont diagonalisables.

2) Soit {(M_i)_{1\le i\le m}} une base de {\operatorname{Vect}(G)} extraite de {G}, et {f(A)=(\operatorname{tr}(AM_1),\ldots,\operatorname{tr}(AM_m))}.

Si {f(A)=f(B)} et {C=AB^{-1}}, montrer que {\operatorname{tr}(C^k)=n} pour tout {k\in\mathbb{N}}, puis que {C-I} est nilpotente.

3) Montrer que {G} est fini.

Pour {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb{C})}, montrer que {\chi_A=\chi_B} équivaut à {\operatorname{tr}(A^k)=\operatorname{tr}(B^k)} pour tout {k\ge1}.

1) Montrer que {A} est constante.

2) Le résultat subsiste-t-il pour {A\in C^1(\mathbb{R},U)} ?

3) Subsiste-t-il si {A} n’est pas de classe {C^1} ?

4) Subsiste-t-il si {A} prend ses valeurs parmi les matrices trigonalisables à spectre strictement positif ?

1) Si un sous-espace {F\subset\mathbb{R}^n} est stable par {A}, montrer que {F^\perp} est stable par {A^T}.

2) Si {A\in\mathcal M_3(\mathbb{R})} vérifie {AA^T=A^TA}, montrer qu’elle est diagonalisable ou semblable à {\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\[4pt]0&\alpha&-\eta\\[4pt]0&\eta&\alpha\end{pmatrix}}.

Soit {A\in\mathcal S_n(\mathbb{R})}.

Déterminer le nombre de matrices {B\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} telles que {A=B^2}.

1) Pour {T} triangulaire supérieure, calculer {\lim_{k\to\infty}Q_k^{-1}TQ_k}.

2) Montrer que {A} est trigonalisable si et seulement si {\overline{\mathcal S(A)}} contient une matrice diagonale.

3) Montrer l’équivalence entre : {A} est nilpotente ; {\overline{\mathcal S(A)}} contient une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle ; {0\in\overline{\mathcal S(A)}}.

1) Pour quels {r\ge0} le groupe {\mathrm{SO}_2(\mathbb{R})} vérifie-t-il {\mathcal P(r)} ?

2) Si {G} vérifie {\mathcal P(r)} et {\lambda\in\operatorname{Sp}A}, montrer que {|\lambda|=1} puis que {\ker(A-\lambda I)^2=\ker(A-\lambda I)}.

En déduire que tous les éléments de {G} sont diagonalisables.

3) Si {r\lt \sqrt2}, montrer que le seul groupe possible est {\left\{I_n\right\}}.

1) Pour {f\in E}, montrer qu’il existe un unique {u(f)\in E} tel que {u(f)(x)=x^{-p-1}\int_0^xt^pf(t)\,dt} pour {x>0}.

2) Montrer que {u} est linéaire et injective.

3) Déterminer ses valeurs propres.

Sur {E=\mathbb{R}_3[X]}, soit {f(P)} le reste de la division de {(X^4-1)P} par {X^4-X}.

Montrer que {f} est un endomorphisme, déterminer son noyau et son rang, puis étudier sa diagonalisabilité.

Pour {C=(\alpha,\beta,\gamma)^T}, soit {A=CC^T}.

Retrouver cette factorisation à partir des coefficients, déterminer noyau, image et éléments propres, puis expliquer la diagonalisabilité par un projecteur.

Montrer que {f:M\mapsto M+M^T} est un endomorphisme diagonalisable de {M_n(\mathbb{R})}.

Donner ses espaces propres.

1) Pour {M=A+\lambda I}, montrer que {P(M)} est diagonalisable si et seulement si elle est scalaire.

2) Si {B} est diagonalisable et commute avec {A}, poser {M=A+B}.

Montrer que {P(M)} est diagonalisable si et seulement si elle est un polynôme en {B}.

1) Si {A^2} est diagonalisable à valeurs propres strictement positives, montrer que {A} est diagonalisable sur {\mathbb{R}}.

2) Diagonaliser la matrice {B} de diagonale {a} et de coefficients hors diagonale {b}.

3) Diagonaliser la matrice {C} d’antidiagonale constante {a}, nulle ailleurs.

1) Si {B} est diagonalisable et {\deg\Delta\leq1}, montrer {AB=BA}.

2) Donner un exemple avec {\deg\Delta\leq1} et {AB\neq BA}.

3) Si {A+zB} est diagonalisable pour tout {z\in\mathbb{C}}, a-t-on {AB=BA} ?

Soit {f} un endomorphisme réel en dimension finie tel que {f^2} soit un projecteur.

Donner un polynôme annulateur et décomposer l’espace en deux sous-espaces stables, sur lesquels {f} est respectivement inversible et nilpotent.

Montrer que {f} est diagonalisable si et seulement si {\operatorname{rang}f^2=\operatorname{rang}f}.

Sur {E=C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})}, soient {p+q=1} et {0\lt |p|\lt 1}.

Poser {u(f)(x)=f(px+q)}.

Montrer que {u} est un automorphisme et que ses valeurs propres appartiennent à {]-1,1]}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} ayant des {1} sur la diagonale et aux positions {(1,n),(n,1)}, et des {0} ailleurs.

Montrer que {1} est valeur propre, déterminer son espace propre, puis tous les éléments propres à l’aide de la symétrie.

1) Montrer {\overline{AB}=\overline A\,\overline B} pour des matrices complexes compatibles.

2) Montrer que les valeurs propres d’une matrice antisymétrique réelle sont imaginaires pures.

3) Donner la forme de son polynôme caractéristique, sa valeur en {0} en dimension impaire et le signe du déterminant en dimension paire si la matrice est inversible.

1) Justifier l’existence de {X_0\in M_{n,1}(\mathbb{R})} tel que {A^{n-1}X_0\ne0}, puis la liberté de {(X_0,AX_0,\ldots,A^{n-1}X_0)}.

2) Montrer que {A} est semblable à {J_n}, de coefficients {1} juste sous la diagonale et {0} ailleurs.

3) Pour {\lambda\in\mathbb{C}^\star}, déterminer l’indice de {\lambda(e^{J_n}-I)}, montrer {\lambda I+J_n=\lambda P^{-1}e^{J_n}P} pour un {P} inversible, puis que {\lambda I+J_n} est une exponentielle.

Diagonaliser la matrice réelle symétrique {A} dont les coefficients de la dernière ligne et de la dernière colonne valent {1}, tous les autres étant nuls.

1) Donner le spectre, les espaces propres et la diagonalisabilité de {A}.

2) Trouver {P} inversible tel que {A=PTP^{-1}}.

3) Déterminer les matrices commutant à {T}.

4) Montrer que {N^2=T} implique {NT=TN}, puis déterminer toutes ces matrices {N}.

5) En déduire les racines carrées de {A}.

1) Montrer que {f} est un endomorphisme et donner sa matrice {M} dans la base canonique.

2) Déterminer ses éléments propres et sa diagonalisabilité.

3) Montrer qu’il existe {A,B} tels que {M=A+B}, {A^2=A}, {B^2=B}, {AB=BA=0}.

4) Exprimer {M^n=\alpha_nA+\beta_nB} pour {n\in\mathbb{N}}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} avec {A^3-A-I=0}.

Montrer que toute valeur propre vérifie {\lambda^3-\lambda-1=0}, puis que {\det A>0}.

Soit {f} un endomorphisme d’un espace complexe de dimension {n}.

Si {f} possède {n} valeurs propres distinctes, montrer que tout endomorphisme commutant à {f} s’écrit de manière unique {P(f)} avec {\deg P\lt n}.

Le résultat reste-t-il vrai si {f} est seulement diagonalisable ?

Soit {M=\begin{pmatrix}1/2&1/4&1/4\\[4pt]1/4&1/3&5/12\\[4pt]1/4&5/12&1/3\end{pmatrix}.}Donner ses éléments propres, déterminer {\lim M^n} et caractériser ce projecteur.

Soient {A\in M_n(\mathbb{R})} et {B=\begin{pmatrix}0&I\\[4pt]A&0\end{pmatrix}}.

Relier leurs polynômes caractéristiques, montrer {\dim\ker(B-\lambda I)=\dim\ker(A-\lambda^2I)} pour {\lambda\in\mathbb{R}}, puis caractériser la diagonalisabilité de {B}.

Dans {\mathbb{R}^3} euclidien orienté, soit {u=(a,b,c)^T\ne0} et {f(x)=x+u\wedge x}.

Donner sa matrice, ses valeurs propres réelles, leurs espaces propres, sa diagonalisabilité, sa bijectivité et son rang.

1) Montrer que {u} est un automorphisme.

2) Montrer que toutes ses valeurs propres appartiennent à {]-1,1[}.

3) Pour un vecteur propre {f}, montrer qu’un entier {k} vérifie {f^{(k)}=0} et déterminer les vecteurs propres.

4) Calculer {u^n(f)(x)}.

Sur les fonctions continues complexes {1}-périodiques, poser {Tf(x)=\frac12(f(x/2)+f((x+1)/2))}.

Montrer que {T} est un endomorphisme, que ses valeurs propres {m} vérifient {|m|\leq1}, puis étudier le cas {|m|\lt 1}.

1) Étudier sa diagonalisabilité et donner une matrice triangulaire semblable.

2) Expliciter {C_A=\left\{M:AM=MA\right\}}.

3) Déterminer les sous-espaces stables de l’endomorphisme associé.

4) Retrouver {C_A} par des arguments de stabilité.

Soit {k\in\mathbb{C}} et {A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\[4pt]1&k&1&1\\[4pt]0&1&0&0\\[4pt]0&1&0&0\end{pmatrix}}.

Étudier sa diagonalisabilité selon {k}.

Soit {f\in\mathcal L(\mathbb{C}^n)} tel que {f^2} soit diagonalisable.

Montrer que {f} est diagonalisable si et seulement si {\ker f\cap\operatorname{Im}f=\left\{0\right\}}.

1) Si {A\in M_n(\mathbb{R})}, {A^2} diagonalisable et {\operatorname{Sp}(A^2)\subset]0,+\infty[}, montrer que {A} est diagonalisable.

2) Diagonaliser {A} dont les coefficients diagonaux sont {a} et les autres {b}, et {B} dont les coefficients sur l’antidiagonale sont {a} et les autres {b}, où {a\in\mathbb{R}}, {b\ne0}.

Soient {\mathbb{K}=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}} et {f\in\mathcal L(E)}, avec {f^2} projecteur.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que {f} soit diagonalisable.

Soit {a\in\mathbb{C}} et {u:P\mapsto(X-a)P'} sur {\mathbb{C}[X]}.

Montrer sa linéarité, trouver ses valeurs propres et déterminer les polynômes {P} tels que {P'} divise {P}.

1) Montrer que {f\in\mathcal L(E)} et donner sa matrice canonique.

2) Montrer qu’elle est diagonalisable et déterminer quand elle est inversible.

3) Montrer {E=\ker f^k\oplus\operatorname{Im}f^k} pour tout {k\ge0}.

Soit {A\in M_n(\mathbb{C})} avec {\operatorname{rg}A=2}, {\operatorname{tr}A=0} et {A^n\ne0}.

Montrer que {A} est diagonalisable.

1) Donner son spectre et ses espaces propres.

Est-elle diagonalisable ?

2) Montrer {A=PTP^{-1}} avec {T=\begin{pmatrix}0&0&-3\\[4pt]0&1&4\\[4pt]0&0&-1\end{pmatrix}}.

3) Déterminer le commutant de {T}, sa structure et sa dimension.

4) Déterminer le commutant de {A}.

1) Est-elle diagonalisable ?

2) Montrer l’existence et l’unicité de {\alpha_n,\beta_n,\gamma_n,Q_n} avec {X^n=(X+1)^2(X+2)Q_n+\alpha_n(X+2) +\beta_n(X+1)(X+2)+\gamma_n(X+1)^2.}3) Déterminer {A^n}.

Pour {P\in\mathbb{C}[X]}, définir {u(P)(z)=e^{-z}\sum\limits_{n=0}^\infty P(n)z^n/n!}.

Montrer que {u} est un endomorphisme de {\mathbb{C}[X]} et trouver ses valeurs propres.

Soit {M\in M_2(\mathbb{Z})} tel que {M^n=I} pour un {n\ge1}.

Prouver que {M^{12}=I}.

1) Si {f} est nilpotent et {f^{n-1}\ne0}, montrer qu’il est cyclique.

2) S’il a {n} valeurs propres distinctes, montrer qu’il est cyclique.

3) S’il est diagonalisable, donner une condition nécessaire et suffisante.

Un endomorphisme d’un espace de dimension {n} est cyclique si un vecteur et ses {n-1} premiers itérés forment une base. Sur {E=\operatorname{Vect}(1,\cos,\sin)\subset C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})}, montrer que la dérivation est un endomorphisme cyclique non diagonalisable.

1) Montrer {B^2=B}.

2) Si {A} est diagonalisable avec {p} valeurs propres distinctes, montrer par division euclidienne que {A^k\in\mathbb{R}_{p-1}[A]}.

3) Décrire {B} à l’aide des éléments propres.

1) Démontrer le théorème du rang sur {\mathbb{C}^n}.

2) Montrer qu’il existe {P,Q\in GL_n(\mathbb{R})} avec {C=PJ_rQ}, {J_r=\operatorname{Diag}(I_r,0)}.

3) Si {AC=CB}, montrer que {A,B} ont {r} valeurs propres communes, avec multiplicités.

4) Que dire si {r=n} ?

1) Déterminer {P(f_A)} pour {P\in\mathbb{K}[X]}.

2) Montrer que {A} est diagonalisable si et seulement si {f_A} l’est.

3) Relier leurs polynômes caractéristiques.

4) Relier leurs éléments propres et retrouver la diagonalisabilité.

Soit {E_N} l’espace des suites complexes {N}-périodiques, {N\ge1}, et {T(u)_n=u_{n+1}}.

Déterminer la dimension de {E_N}, montrer que {T} est un endomorphisme, trouver ses éléments propres par définition et matriciellement, puis étudier sa diagonalisabilité.

Déterminer la nature et les valeurs propres de l’endomorphisme de {\mathbb{R}^3} de matrice {A=\frac13\begin{pmatrix}2&2&-1\\[4pt]-1&2&2\\[4pt]2&-1&2\end{pmatrix}}.

1) Que dire du spectre d’une matrice orthogonale ?

2) Interpréter {A=\frac17\begin{pmatrix}-2&6&-3\\[4pt]6&3&2\\[4pt]-3&2&6\end{pmatrix}}.

Soient {p,q} des projecteurs orthogonaux d’un espace euclidien.

Montrer que {u=p-q} est diagonalisable avec spectre dans {[-1,1]}, puis déterminer {\ker(u+I)} et {\ker(u-I)}.

1) Montrer {A^4-2A^2+A=0}.

2) Montrer que {1} n’est pas valeur propre.

3) Montrer la diagonalisabilité réelle et déterminer toutes les matrices possibles.

1) Montrer {(1+i\alpha/n)^n\to e^{i\alpha}} pour {\alpha\in\mathbb{R}}.

2) Diagonaliser {A_n} sur {\mathbb{C}}.

3) Déterminer {\lim A_n^n}.

1) Déterminer le nombre de sous-espaces de {\mathbb{C}^3} stables par {A}.

2) Déterminer la dimension de {\left\{M\in M_3(\mathbb{C}):AM=MA\right\}}.

3) Combien l’équation {M^2=A} a-t-elle de solutions dans {M_3(\mathbb{C})} ? Dans {M_3(\mathbb{R})} ?

1) Montrer que {\Delta^n(MN)=\sum_{k=0}^n\binom nk\Delta^{n-k}(M)\Delta^k(N).}

2) Soient {B,H} telles que {AB=BA} et {\Delta(H)=B}.

Montrer que {\Delta^{n+1}(H^n)=0}.

3) Montrer que {\Delta^n(H^n)=n!B}.

4) Soit une norme.

Montrer que {(\lVert \Delta^n(H^n)\rVert^{1/n})_{n\geq1}} tend vers une limite finie.

1) Montrer que {\varphi} est injective.

2) Montrer que {\varphi(G)} est fini.

3) Que peut-on en déduire sur la dimension de {F} ?

1) Montrer que {\Phi} est un isomorphisme.

2) Montrer que pour tout {i}, il existe un unique {L_i\in\mathbb{C}_n[X]} tel que {L_i(a_i)=1} et {L_i(a_j)=0} si {j\ne i}.

3) Exprimer {\chi_A} comme combinaison linéaire des {L_i}.

4) En déduire que {A\mapsto\chi_A} est continue.

5) Montrer finalement que {\chi_{AB}=\chi_{BA}}.

1) Montrer que {\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX)} pour toutes matrices {X,Y}.

2) Montrer que {AB^k-B^kA=kB^k} pour tout {k\in\mathbb{N}}.

3) En déduire que {B} est nilpotente (on pourra utiliser {\theta:X\mapsto AX-XB}).

Montrer que la matrice {A=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\[4pt]\vdots&&\vdots&\vdots\\[4pt]0&\cdots&0&1\\[4pt]1&\cdots&1&1\end{pmatrix}\in M_n(\mathbb{R})}est diagonalisable, puis la diagonaliser.

1) Montrer que {P} est un polynôme de degré au plus {\operatorname{rg}A}.

2) Montrer qu’il existe {B} tel que {\deg P=\operatorname{rg}A}.

1) Quel est son rang ?

2) Montrer que {\chi_{A_n}=X^{n-2}(X^2-a_1X-b_n)}, où {b_n=\sum\limits_{i=2}^na_i^2}.

3) La matrice est-elle diagonalisable ?

1) Montrer que {P_{n+1}=(X-n)P_n-X(X-1)\cdots(X-n+1)}.

2) En déduire que {A_n} possède {n} valeurs propres distinctes.

1) Si {z=1}, justifier que {A} est diagonalisable.

2) Pour quels {z} la matrice est-elle diagonalisable ?

1) Montrer que {L(P)} est bien défini.

2) Montrer que {L(X^k)(x)=(-1)^kk!\sum_{j=0}^k\frac{(-1)^jx^j}{j!}.}

3) Montrer que {L} est un automorphisme de {E}.

4) Trouver les éléments propres de {L}.

Est-il inversible ?

1) Montrer que les valeurs propres non nulles de {f\circ g} sont valeurs propres de {g\circ f}.

2) Si {E} est de dimension finie, montrer que toute valeur propre de {f\circ g} est valeur propre de {g\circ f}.

3) Pour {E=\mathbb{R}[X]}, {f(P)=XP}, {g(P)=P'}, zéro est-il valeur propre de {f\circ g} ? De {g\circ f} ?

Conclure.