Pour {x,y\in\mathbb{R}}, étudier et calculer {A=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}\,dt/((t-y)^2+x^2)}.

Étudier la monotonie et les équivalents aux deux infinis de {f(x)=e^{x^2}\int_x^\infty e^{-t^2}\,dt}.

Poser {f(x)=\int_0^xe^{-u^2}\,du} et {g(x)=\int_0^1e^{-x^2(1+t^2)}\,dt/(1+t^2)}.

Étudier {f^2+g} et calculer {\int_0^\infty e^{-u^2}\,du}.

Soit {f(x)=\int_0^1e^{xu}\log u\,du}.

Déterminer son domaine.

Pour {g} continue par morceaux, bornée sur {\mathbb{R}} et continue en {0}, montrer {\int_0^\infty xg(u)e^{-xu}\,du\to g(0)} en {+\infty}.

Est-ce encore vrai si {g} est intégrable au lieu de bornée ?

Déterminer {\lim_{x\to\infty}xf(x)}.

Soit {f\in C([0,1],\mathbb{R}_+)} et {g(x)=\int_0^1\sqrt{x^2+f(t)}\,dt}.

Montrer {g\in C(\mathbb{R})\cap C^1(\mathbb{R}^\star)}.

Si l’ensemble des zéros de {f} est {[a,b]\subset[0,1]}, calculer {g'_d(0)}.

Calculer {\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2/2-ixt}\,dt}, pour {x\in\mathbb{R}}.

Pour {f\in C(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})} et {x>0}, justifier l’existence et la continuité de {F(x)=\int_0^xf(t)\,dt/\sqrt{x-t}}.

Étudier la continuité et la dérivabilité sur {\mathbb{R}_+} de {f(t)=\int_0^\infty(\cos x-e^{-x})e^{-tx}\,dx/x}.

Calculer cette intégrale pour {t=0}.

Soit {E} l’espace des fonctions {C^1} sur {\mathbb{R}_+}, bornées et de dérivée bornée. Pour {f\in E}, poser {\Phi(f)(x)=\int_0^\infty f(t)\tanh(xt)\,dt/\cosh t}.

Montrer que {\Phi} est un endomorphisme de {E}.

Pour {f_n(t)=\arctan(nt)}, étudier la convergence simple et uniforme de {\Phi(f_n)}.

Donner la limite et un équivalent en {0^+} de {F(x)=\int_0^\infty e^{-t}\,dt/(x+t)}.

Montrer qu’il existe un unique réel {x} tel que {\int_0^\infty\log t\,dt/(e^t(1+t^x))=0}.

Soit {F(x)=\int_0^\infty e^{-t^2-x^2/t^2}\,dt}.

Justifier son existence sur {\mathbb{R}}, son caractère {C^1} sur {\mathbb{R}^\star}, déterminer une équation différentielle et expliciter {F}.

Pour {x\in\mathbb{R}}, poser {f(x)=\int_0^\infty(e^{itx}-1)e^{-t}\,dt/t}.

Montrer {|e^{iu}-1|\leq|u|}, puis dériver {f} et l’expliciter.

Pour {a,b>0}, calculer {\int_0^\infty(e^{-at}-e^{-bt})/t\,dt}.

Pour {g:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}} intégrable, continue par morceaux et continue en zéro, montrer {\int_0^1xg(u)e^{-xu}du\to g(0)} lorsque {x\to\infty}.

Pour {f(x)=\int_0^\infty(e^{itx}-1)e^{-t}/t\,dt}, montrer {|e^{iu}-1|\le|u|}, justifier la dérivabilité et expliciter {f}.

On admet {\int_0^\infty e^{-x^2}dx=\pi/2}.

Montrer la convergence de {I=\int_0^\infty\cos(t^2)dt}.

Poser {F(x)=\int_0^\infty e^{-(t^2+i)x^2}/(t^2+i)dt}.

Montrer que {F} est définie et {C^1} sur {\mathbb{R}_+}, puis {\int_0^\infty e^{-ix^2}dx=\pi^{-1/2}\int_0^\infty dt/(t^2+i)}.

En déduire {I}.

Pour {h(t)=\int_{\mathbb{R}}e^{-\pi(x^2+2itx)}dx}, justifier l’existence et calculer {h}.

Pour {f(x)=\int_0^1\log t/(t+x)dt}, déterminer le domaine réel, calculer {f'} sur {\mathbb{R}_+^\star} et simplifier {f(x)+f(1/x)}.

Pour {F(x)=\int_0^\infty\sin(xt)/(t(1+t^2))dt}, montrer qu’elle est définie et {C^2} sur {\mathbb{R}}, puis l’expliciter.

Pour {F(x)=\int_0^\infty e^{-t^2-x^2/t^2}dt}, justifier son domaine, sa régularité {C^1} hors de zéro, trouver une équation différentielle et expliciter {F}.

Pour {f(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\sin t/t\,dt}, déterminer le domaine, montrer la continuité sur {\mathbb{R}_+}, la régularité {C^1} sur {\mathbb{R}_+^\star}, calculer {f'} et {f}, puis l’intégrale de Dirichlet.

Pour {f(x)=\int_0^\infty|\sin t|e^{-xt}dt}, déterminer le domaine, montrer la régularité {C^\infty} et expliciter {f}.

Pour {f\in C(\mathbb{R})}, poser {g(x)=x^{-1}\int_0^x\cos(x-y)f(y)dy}.

Justifier son existence pour {x>0}, calculer sa limite en zéro, puis sa limite à l’infini si {f(x)\to\ell}.

Étudier domaine, continuité, symétries et valeur de {f(x)=\int_0^\pi\log(x^2-2x\cos t+1)dt}.

1) si {f} est bornée, montrer {F\in C^\infty(\mathbb{R}_+^\star)} ;

2) si {f(t)\to\ell\ne0}, donner un équivalent en zéro ;

3) si {f(t)=\sum\limits a_nt^n} sur {\mathbb{R}_+} et {\sum\limits n!a_n} converge, étudier {F(1/x)} près de zéro et de l’infini ;

4) donner des exemples de domaines {]0,\infty[}, {]1,\infty[} et vide.

Soit {L} l’espace des fonctions continues intégrables sur {\mathbb{R}_+^\star}, et {E} celui des fonctions continues dont {f(u)/(u+s)} est intégrable pour tout {s>0}.

Comparer ces espaces.

Pour {f_\alpha(u)=u^{\alpha-1}}, {0\lt \alpha\lt 1}, montrer que sa transformée {\widehat f(s)=\int_0^\infty f(u)/(u+s)du} est proportionnelle à {f_\alpha}.

Pour {f\in E}, étudier continuité et limite à l’infini de {\widehat f}.

1) Montrer que {F} est bien définie.

2) Montrer qu’elle est intégrable sur {]0,+\infty[}.

3) Calculer {\int_0^\infty F(x)dx}.

1) Déterminer le domaine {D}.

2) Montrer que {\zeta(x)=1+1/(x-1)-x\int_1^\infty\left\{t\right\}t^{-x-1}dt} sur {D}, où {\left\{t\right\}=t-\lfloor t\rfloor}.

En déduire un prolongement sur {D'}.

3) Donner un équivalent en {1}.

4) Montrer que le prolongement se prolonge continûment en {\inf D'}.

1) Montrer que {f} est {C^1} et exprimer {f'}.

2) Poser {g(x)=f(x^2)}.

Montrer que {g(x)+(\int_0^xe^{-t^2}dt)^2} est constante et préciser sa valeur.

3) En déduire {\int_0^\infty e^{-t^2}dt}.

1) Montrer que {h_n} est {C^1} sur {\mathbb{R}_+^\star} et que {h_n'(x)=-4nx^3h_{n+1}(x)} pour {x>0}.

2) Montrer qu’il existe {a_n} tel que {h_n(x)=a_nx^{2-4n}} pour {x>0}.

3) Expliciter {a_n}.

1) Déterminer son domaine de définition et de continuité.

2) Donner un équivalent en {+\infty}.

1) Donner le domaine de définition et étudier la continuité.

2) Donner une expression de {f}.

1) Déterminer son domaine {D}.

2) Montrer que {f} est continue sur {\mathbb{R}_+}.

3) Montrer qu’elle est {C^1} sur {\mathbb{R}_+^\star}.

4) En déduire {\int_0^\infty\sin t/t\,dt}.

Pour {x\in\mathbb{R}}, calculer {f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2/2}e^{-ixt}dt} par deux méthodes : son développement en série entière, puis une équation différentielle linéaire du premier ordre.

1) Déterminer son domaine {D_f}.

2) Montrer qu’elle est continue et décroissante.

3) Pour {g(x)=(x+1)f(x+1)f(x)}, montrer que {g(x+1)=g(x)}.

4) Donner des équivalents aux extrémités de {D_f}.

1) Montrer la convergence de {\int_0^\infty\cos(t^2)dt}.

2) Poser {f(x)=\int_0^\infty e^{-(t^2+i)x^2}/(t^2+i)dt}.

Montrer que {f} est {C^1} sur {\mathbb{R}_+}.

3) On admet {\int_0^\infty e^{-t^2}dt=\sqrt\pi/2}.

Calculer {\int_0^\infty e^{-it^2}dt} à l’aide de {f}.

Soit {f\in C^0([0,1],\mathbb{R})}. On pose {F(0)=0} et {F(x)=\pi^{-1/2}\int_0^xf(t)/\sqrt{x-t}\,dt} pour {0\lt x\le1}.

Étudier sa continuité.

Pour tout {x\in\mathbb{R}}, étudier l’existence et calculer {\int_0^\infty(e^{ixt}-1)e^{-t}/t\,dt}.

1) Déterminer son domaine.

2) Montrer qu’elle est {C^1} et la calculer.

3) En déduire {\int_0^\infty(\arctan t)^2/t^2\,dt}.

1) Montrer que {\int_0^\infty\sin(x^2)\,dx} converge.

2) Montrer que {G(t)=\left(\int_0^te^{ix^2}\,dx\right)^2 +i\int_0^1\frac{e^{it^2(x^2+1)}}{x^2+1}\,dx}est {C^1} sur {\mathbb{R}} et calculer sa dérivée.

3) On admet que la seconde intégrale tend vers zéro lorsque {t\to\infty}.

Calculer l’intégrale de a).

1) Déterminer le domaine et montrer que {F} est positive décroissante.

2) Montrer {F(x)\le\int_0^\infty e^{-xt}\,dt} et en déduire sa limite à l’infini.

3) Montrer que {F\in C^1} et {F-F'=1/x}, puis qu’elle est {C^\infty}.

4) Montrer {F(x)=e^x\int_x^\infty e^{-t}/t\,dt} et en déduire sa limite en {0^+}.

5) Montrer {F(x)\sim-\log x} en {0^+}.

Soit {f(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\int_0^t\sin u/u\,du\,dt}.

Montrer que {f} est définie sur {\mathbb{R}_+^\star} et l’exprimer à l’aide des fonctions usuelles.

1) Déterminer le domaine de {f(x)=\int_0^\infty t^x/(e^t-1)\,dt} et montrer qu’elle y est {C^1}.

2) Donner un équivalent à chaque borne du domaine.

1) Si {f} est intégrable et {g} bornée, montrer que {(f*g)(x)=\int_{\mathbb{R}}f(t)g(x-t)\,dt} est continue et bornée.

2) Si {f,g} sont de carré intégrable, montrer que {f*g} est définie et bornée.

1) Montrer que {N_f} est {C^\infty}.

2) Calculer sa limite à l’infini.

3) Calculer sa limite en {0^+}.

1) Montrer que {T(f)(x)=\int_0^xf(t)K(x,t)\,dt} est un endomorphisme de {E}.

2) Si {\varphi} et {\partial_2\varphi} sont continues sur le carré, montrer que {(u,s)\mapsto\int_0^u\varphi(x,s)\,dx} est {C^1}, dans un sens à préciser.

En déduire la dérivée de {g(s)=\int_0^s\varphi(x,s)\,dx}.

3) On pose {T^\star(f)(x)=\int_x^1f(t)K(x,t)\,dt} et {\langle a,b\rangle=\int_0^1ab}.

Montrer que {\langle Tf,g\rangle=\langle f,T^\starg\rangle} et que {T^\star} est unique avec cette propriété.

Soit {\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continue et {T}-périodique, {T>0}. Soit {f(x)=\int_0^\infty e^{-tx}\varphi(t)\,dt}.

Montrer son existence sur {\mathbb{R}_+^\star}, sa limite en {+\infty} et sa régularité {C^\infty}. Établir {f(x)=\dfrac{\int_0^T e^{-xt}\varphi(t)\,dt}{1-e^{-Tx}}} et en déduire le comportement en {0^+}.

Pour {x>0}, soient {f(x)=\int_0^\infty\frac{e^{-xt}}{1+t^2}\,dt,}{g(x)=\cos x\int_x^\infty\frac{\sin t}t\,dt -\sin x\int_x^\infty\frac{\cos t}t\,dt.}Justifier les intégrales oscillantes, montrer {f''+f=g''+g=1/x}, puis {f=g}.

En déduire {\int_0^\infty\sin t/t\,dt} et {\int_0^\infty\sin^2t/t^2\,dt}.

Pour {k\geq1}, soit {F_k(x)=\int_0^\infty e^{-kt}\sin(xe^t)\,dt}.

Montrer que {F_k} est définie et continue sur {\mathbb{R}}, puis que, pour {k\geq2}, elle vérifie {xF_k'-kF_k=-\sin x}.

Soit {f(x)=\int_0^\infty e^{-t^2}\cos(2xt)dt}.

Montrer que {f} est {C^1}, établir une relation entre {f,f'}, puis calculer {f} en admettant {f(0)=\sqrt\pi/2}.

Donner sa limite en {+\infty}.

Poser {I=\int_0^\infty e^{-t}dt/\sqrt t} et {F(x)=\int_0^\infty e^{-xt}dt/(\sqrt t(t+1))} pour {x\geq0}.

Justifier sa définition, trouver une équation différentielle sur {]0,\infty[}, calculer {F(0)} et {F(+\infty)}, puis en déduire {I}.

1) Montrer leur définition et leur continuité sur {\mathbb{R}}.

2) Montrer que {S} est dérivable et calculer {S'}.

3) Vérifier {C(x)=1/2-xS(x)/2} et en déduire une équation différentielle.

4) Montrer {S(x)=\frac{e^{-x^2/4}}2\int_0^\infty e^{-t^2/4}dt}.

Pour {x>0}, montrer {\int_0^\infty\arctan(x/t)dt/(t^2+1)=\int_0^x\ln t\,dt/(t^2-1)}.

En déduire {\int_0^\infty\ln t\,dt/(t^2-1)}.

1) Montrer l’intégrabilité en {t} sur {\mathbb{R}}.

2) Trouver l’unique {c} tel que {\int_{\mathbb{R}}w(c,x,y,t)dt=1}.

3) Pour {U_\varepsilon=\left\{t:|t|>\varepsilon\right\}}, montrer {\int_{U_\varepsilon}w(a,x,y,t)dt\to0} quand {y\downarrow0}.

4) Si {f} est continue bornée, montrer {\int_{\mathbb{R}}w(c,x,y,t)f(t)dt\to f(x)}.

1) Montrer {|\arctan u|\le|u|}.

2) Montrer que {f} est {C^1} sur {\mathbb{R}}.

3) Décomposer {1/(1+x^2t^2(1+t^2))} en éléments simples pour {|x|\ne1}.

4) Montrer que {f(x)=\pi/(2(x+1))} pour {x>0}, puis déterminer {f} sur {\mathbb{R}}.

5) Calculer {\int_0^\infty(\arctan t/t)^2dt}.

Soit {f(\alpha)=\int_0^\infty dt/(t^\alpha(t+1))}.

Déterminer son domaine et sa continuité, montrer la symétrie autour de {\alpha=1/2}, déterminer sa borne inférieure et un équivalent en {0}.

Soit {f(x)=\int_0^\infty\arctan(xt)e^{-t}dt}.

Montrer qu’elle est définie et {C^1} sur {\mathbb{R}}.

Pour {u_0>0}, {u_{n+1}=f(u_n)}, déterminer la limite et un équivalent de {u_n}.

1) Montrer la définition sur {]0,+\infty[}, la classe {C^2} et la positivité.

2) Étudier la convexité de {\Gamma} et de {\log\Gamma}.

3) Montrer {\int_0^nt^{x-1}(1-t/n)^ndt\to\Gamma(x)}.

4) Relier cette intégrale à {\int_0^1u^{x-1}(1-u)^ndu}.

5) En déduire la convergence simple de {n^xn!/(x(x+1)\cdots(x+n))} vers {\Gamma(x)}.

On admet {\int_0^\infty e^{-t^2}dt=\sqrt\pi/2}.

Pour {f(x)=\int_0^\infty\cos(2xt)e^{-t^2}dt}, montrer le caractère {C^1}, relier {f'} à {f} et en déduire une expression simple.

Soit {F(x)=\int_0^\infty t^3e^{-xt}/\sqrt{1+t^4}\,dt}.

Déterminer son domaine, sa régularité {C^1}, sa variation et ses limites aux bornes ; calculer {G(x)=\int_0^\infty t^3e^{-xt}dt}, puis montrer {F(x)\sim6/x^4} en {+\infty}.

Soient {f(x)=\int_0^1e^{-(1+t^2)x^2}/(1+t^2)dt} et {g(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt}.

Montrer leurs définitions et régularités {C^1}, la parité de {f}, calculer {f(0)}, prouver {f'=-2g'g} puis {f=\pi/4-g^2}, et en déduire l’intégrale gaussienne.

Soit {f\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})} avec {f(0)=0}. Par Taylor avec reste intégral, montrer que {g(x)=f(x)/x} se prolonge en une fonction {C^\infty} sur {\mathbb{R}}.

1) (i) Justifier la convergence de {I=\int_0^\infty\sin t/t\,dt}.

(ii) En déduire que {f} est bien définie.

2) Étudier la continuité sur {\mathbb{R}_+^\star} puis en zéro.

3) Montrer la dérivabilité sur {\mathbb{R}_+^\star} et exprimer simplement {f'}.

4) Exprimer {f}, puis en déduire la valeur de {I}.

1) Montrer que {f,g} sont {C^2} sur {\mathbb{R}_+^\star} et vérifient {y''+y=1/x}.

2) Montrer leur continuité en zéro.

3) Trouver leurs limites en {+\infty}.

4) En déduire {\int_0^\infty\sin t/t\,dt=\pi/2}.

Soit {F(x)=\int_{\mathbb{R}}dt/[(1+t^2)(1+ixt)]}.

Montrer que {F} est continue sur {\mathbb{R}}, que {F(x)=2\int_0^{+\infty}dt/[(1+t^2)(1+x^2t^2)]}, puis la calculer.

Soit {F(x)=\int_0^{+\infty}\arctan(tx)/[t(1+t^2)]\,dt}.

Montrer qu’elle est définie, impaire et dérivable sur {\mathbb{R}}.

Calculer {F'}, puis {F} et {\int_0^{+\infty}(\arctan t/t)^2\,dt}.

Déterminer le domaine de {f(x)=\int_0^1x^t/(1+t^2)\,dt}.

Étudier sa continuité et sa dérivabilité.

Soit {F(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\sin(2xt)\,dt}.

Montrer que {F} est {C^1} sur {\mathbb{R}}, puis trouver une équation différentielle et une expression sans intégrale.

Pour {x>0}, soit {f(x)=\int_1^{+\infty}dt/[t^x(1+t)]}.

Justifier son existence, étudier continuité et dérivabilité, puis donner limites et équivalents en {0^+} et {+\infty}.

Pour {x>0}, soit {S(x)=\int_0^{+\infty}\sin t/(e^{xt}-1)\,dt}.

Montrer son existence et sa continuité, l’exprimer comme une série de fractions rationnelles en {x}, puis montrer {S(x)\sim\pi/(2x)} en {0^+}.

1) Montrer que {F} est définie sur {]0,+\infty[}.

2) Étudier sa dérivabilité sur {]0,+\infty[} et la calculer.

3) Pour {0\lt a\lt b}, calculer {\int_0^{+\infty}(e^{-at}-e^{-bt})/t\,dt}.

Soit {f(x)=\int_0^{+\infty}dt/(1+t^x)} lorsque cela a un sens.

Déterminer son domaine, sa continuité et ses limites aux bornes.

Si {\lambda=\lim_{x\to+\infty}f(x)}, donner un équivalent de {\lambda-f(x)}.

Soit {J(x)=\int_{\mathbb{R}}(\cosh t)^{-x}\,dt}.

Déterminer son domaine, montrer sa continuité et calculer {J(1),J(2)}.

Relier {J(x+2)} à {J(x)}, puis exprimer {J(2p)} et {J(2p+1)} avec des factorielles.

Calculer {I_n=\int_0^{+\infty}t^{2n+1}e^{-t^2}\,dt} pour {n\geq0}.

Montrer que {F(x)=\int_0^{+\infty}\sin(xt)e^{-t^2}\,dt} est définie sur {\mathbb{R}} et développable en série entière.

Trouver une équation différentielle linéaire satisfaite par {F} et la résoudre.

Soit {f:[0,1]\to\mathbb{R}_+^\star} continue et {N_f(x)=(\int_0^1f(t)^x\,dt)^{1/x}} pour {x>0}.

Montrer que {N_f} est {C^\infty} et déterminer sa limite à l’infini.

Montrer que {f(x)=\int_0^\pi\sqrt{x+\cos t}\,dt} est continue sur {[1,+\infty[} et {C^\infty} sur {]1,+\infty[}.

Montrer que son graphe admet une tangente verticale en {x=1}.

Soit {f:[0,1]\to\mathbb{R}_+} continue telle que {f^{-1}(\left\{0\right\})=[a,b]}, avec {a\lt b}. Soit {g(x)=\int_0^1\sqrt{f(t)+x^2}\,dt} pour {x\geq0}.

Calculer {g'} sur {]0,+\infty[} et montrer que {g'(x)} et {(g(x)-g(0))/x} ont la même limite en {0^+}.

Déterminer le domaine et la continuité de {f(x)=\int_0^{+\infty}dt/(1+t^3+x^3)}, puis calculer {f(0)}.

Soit {f\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} et {F(x,y)=(f(x)-f(y))/(x-y)} si {x\neq y}, avec {F(x,x)=f'(x)}.

Montrer {F(x,y)=\int_0^1f'(x+t(y-x))\,dt} et la continuité de {F}.

Si {f} est {C^2}, montrer que {F} est {C^1}.

Pour {f(x)=\int_0^1(t^x-1)dt/\ln t}, déterminer le domaine, la continuité, la dérivabilité et une expression simple. Pour quels {\alpha,\beta} l’intégrale {\int_0^1(t^\alpha-t^\beta)dt/\ln t} converge-t-elle ?

Pour {f(x)=\int_0^\infty t^{x-1}dt/(1+t^2)}, déterminer le domaine, la continuité, la régularité {C^1} et {C^\infty}, puis les limites aux bornes.

Pour {F(x)=\int_0^\infty\ln(1+xt^2)dt/(t(1+t^2))}, déterminer le domaine puis montrer {F(x)=-\frac12\int_0^x\ln t\,dt/(1-t)}.

Pour {F(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\sinh(t)dt/t}, déterminer le domaine, sa limite en {+\infty} et une expression simple.

Pour {F(x)=\int_0^\infty e^{-xt}dt/\sqrt{1+t^2}}, déterminer le domaine, montrer la régularité {C^1}, puis limites et équivalents en {+\infty} et en zéro.

Pour {\alpha>1}, poser {f(x)=\int_1^\infty dt/(x^2+t^2)^\alpha}.

Déterminer le domaine, montrer que {f} est {C^1} et étudier son intégrabilité sur ce domaine.

Soient {b>a>0} et {F(x)=\int_0^\infty(e^{-at}-e^{-bt})\cos(xt)dt/t}.

Montrer que {F} est définie et {C^1} sur {\mathbb{R}}, puis qu’elle s’écrit {\ln((a^2+x^2)/(b^2+x^2))+C}.

Trouver {h} telle que {F(x)=x^{-1}\int_0^\infty h(t)\sin(xt)dt} pour {x\ne0}, et déterminer {C}.

Pour {F(x)=\int_0^\infty dt/(t^x(1+t))}, déterminer le domaine de définition et de dérivabilité, puis les limites et équivalents aux bornes du domaine.

Pour {\alpha>0}, poser {I(\alpha)=\int_0^1\ln t\ln(1-t^\alpha)dt}.

Justifier la convergence, exprimer {I} comme somme d’une série, puis déterminer sa limite en {0^+} et sa limite et un équivalent en {+\infty}.

Pour {\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} et {f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}} de classe {C^1}, dériver {x\mapsto\int_0^{\varphi(x)}f(x,t)dt}.

Pour {x>0}, poser {F(x)=\int_0^\infty\sin t\,dt/(e^{xt}-1)}.

Montrer sa continuité et {F(x)=\sum\limits_{n\geq1}1/((nx)^2+1)}.

Donner limite et équivalent en {+\infty}, puis montrer {F(x)\sim\pi/(2x)} en {0^+} par comparaison série-intégrale.

Pour {F(x)=\int_0^\infty\sin(xt)dt/(e^t-1)}, déterminer le domaine et la continuité, montrer {F(x)=\sum\limits_{n\geq1}x/(x^2+n^2)}, puis donner un équivalent en {+\infty}.

Pour {0\lt x\lt 1}, soit {f(x)=x^{-1/2}\log((1+\sqrt x)/(1-\sqrt x))}.

Trouver {g\in C^\infty(]-\infty,1[)} qui prolonge {f}.

Soit {f\in C^{n+1}(\mathbb{R})} avec {f(0)=0}. Pour {x>0}, poser {g(x)=f(x)/x}.

Déterminer {\lim_{x\to0^+}g^{(k)}(x)} pour {0\le k\le n}.

a) Donner son domaine et sa limite en {+\infty}.

b) Donner une expression simple de {F}.

Étudier {F(x)=\int_0^\infty(1-\cos(xt))/t^2\,dt}.

a) Montrer qu’elle est définie sur {\mathbb{R}} et impaire.

b) Montrer qu’elle est dérivable et calculer {F'}.

c) Exprimer {F(x)}.

d) Calculer {\int_0^\infty\arctan(t^2)/t^2\,dt}.

a) Montrer que {F} est définie et {C^1} sur {\mathbb{R}}.

b) Montrer {F(x)=\frac12\log((x^2+b^2)/(x^2+a^2))+C}.

c) Déterminer sa limite en {+\infty} et la constante.

Déterminer le domaine et exprimer sans intégrale {F(x)=\int_0^\infty e^{-t}\sin(xt)/t\,dt}.

a) Donner son domaine.

b) Montrer sa continuité.

c) Pour {x>1}, donner son expression.

a) Est-elle bien définie ?

b) L’écrire comme une série.

c) Déterminer sa limite lorsque {x\to0^+}.

a) Calculer {F'(x)}.

b) Donner limite et équivalent en {+\infty}.

c) Montrer {F(x)\to+\infty} en {0^+} et donner un équivalent.

a) Montrer {N_f\in C^\infty}.

b) Déterminer sa limite en {+\infty}.

c) Déterminer {\lim_{x\to0^+}(\int_0^1f(t)^xdt-1)/x}.

d) Déterminer la limite de {N_f} en {0^+}.

Pour {f} continue sur {[a,b]\times[c,d]}, montrer {\int_a^b(\int_c^df(x,y)dy)dx=\int_c^d(\int_a^bf(x,y)dx)dy}. Indication : considérer {g(t)=\int_a^b(\int_c^tf(x,y)dy)dx}.

Déterminer les {f\in C^0(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que {f(x)=1+2\int_0^xf(t)\cos(x-t)dt.}

Pour {a,b>1}, calculer {\int_0^\pi\ln((b-\cos t)/(a-\cos t))dt}. Indication : {\ln(x+\sqrt{x^2-1})} est une primitive de {1/\sqrt{x^2-1}} sur {]1,+\infty[}.

Pour {a,b>0}, calculer {\int_0^\infty\exp(-at^2-b/t^2)dt}.

Justifier l’existence et calculer {I=\int_1^\infty\frac{\ln|1-x|\cos(\ln x)}{x^\alpha(1+x)}dx, \qquad J=\int_0^1\frac{\ln|1-x|\cos(\ln x)}{x^\alpha(1+x)}dx.}

1) Montrer sa définition sur {\mathbb{R}_+^\star}.

2) Montrer sa continuité et sa décroissance.

3) Donner les limites en zéro et à l’infini.

4) Donner des équivalents ; indication : calculer {F(x)+F(x+1)}.

1) Montrer qu’elle est définie et {C^1} sur {\mathbb{R}_+^\star}.

2) Pour {F(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt}, sachant {F(+\infty)=\sqrt\pi/2}, exprimer simplement {f'(x)}.

1) Déterminer son domaine.

2) Montrer sa continuité.

3) Montrer la symétrie de la courbe par rapport à {x=1/2}.

4) Donner une borne inférieure explicite.

5) Donner un équivalent en zéro.

1) Montrer la continuité sur {]0,+\infty[}.

2) L’écrire comme série de fonctions rationnelles.

3) Montrer que {s(x)\sim\pi/(2x)} en {+\infty}.

1) Donner son domaine et sa monotonie.

2) Montrer qu’elle est {C^1}.

3) Donner limite et équivalent à l’infini.

4) Donner limite et équivalent en zéro.

1) Montrer sa définition et sa continuité sur {\mathbb{R}}.

2) Montrer que ses valeurs sont réelles.

3) L’exprimer sans intégrale.

Étudier {F(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\sin t/t\,dt}.

En déduire {\int_0^\infty\sin t/t\,dt}.

Soit {F(x)=\int_0^\infty\ln(1+xt^2)/(t(1+t^2))dt}.

Déterminer son domaine {D} et montrer que {F(x)=-\frac12\int_0^x\frac{\ln t}{1-t}dt\quad(x\in D).}

1) Justifier {\int_0^\infty e^{iu}/\sqrt u\,du}, puis {K=\int_0^\infty e^{it^2}dt}.

2) Montrer la continuité sur {\mathbb{R}} de {f(x)=\int_0^\infty e^{-x^2(i+t^2)}/(i+t^2)dt}.

3) Montrer qu’elle est {C^1} pour {x>0} et que {f'(x)=-\sqrt\pi e^{-ix^2}}.

4) Montrer que {\int_0^\infty\cos(t^2)dt=\int_0^\infty\sin(t^2)dt=\sqrt{2\pi}/4}.

1) Montrer leur continuité sur {\mathbb{R}_+}.

2) Montrer qu’elles sont {C^2} pour {x>0} et solutions de {y''+y=1/t}.

3) Calculer {\int_0^\infty\sin t/t\,dt}.

1) Justifier qu’elle est définie et {C^\infty} sur {\mathbb{R}_+}.

2) Calculer {f(0)}.

3) Pour {n\geq2}, montrer que {f(t)=n} a une unique solution {t_n}.

1) Donner son domaine.

2) Étudier sa continuité.

3) Calculer {J(1),J(2)}.

4) Relier {J(x+2)} et {J(x)}.

5) Donner {J(2p),J(2p+1)} pour {p\geq1}.

6) A-t-on {J(x)\sim J(x+1)} en {+\infty} ?

7) Donner un équivalent de {J}.