Quand {N_g} est-elle une norme ?

Dans ce cas, quand est-elle équivalente à {N_1} ?

Montrer que {N} est une norme et étudier la continuité de {P\mapsto P(0)}.

Montrer que c’est une norme.

Étudier la continuité de {f\mapsto f(c)}.

Les normes {N_p,N_q}, pour {p\ne q}, sont-elles équivalentes ?

3) En déduire que {f',\ldots,f^{(n)}} sont bornées.

Montrer que {N(f)=(f(0)^2+\int_0^1(f')^2)^{1/2}} est une norme, la comparer à la norme uniforme et étudier la continuité de {\Phi} pour {N}.

Montrer que {\Phi(f)=f''} est un isomorphisme algébrique.

Pour {g\in F}, étudier la régularité sur {\mathbb{R}} de {G(x)=\int_0^1|x-t|g(t)\,dt} et calculer {G''} sur {]0,1[}.

Trouver un noyau continu {k} sur {[0,1]^2} représentant {\Phi^{-1}} et calculer {\sup_{\lVert g\rVert_\infty\leq1}\lVert \Phi^{-1}(g)\rVert_\infty}.

Montrer que {u} est bien définie, continue, et calculer sa norme.

Montrer sa continuité et calculer sa norme.

Existe-t-il une fonction unitaire telle que {|\varphi(f)|=\lVert f\rVert} ?

2) Comparer {N} à la norme {\lVert \cdot\rVert_\infty}.

2) Pour {a,b\in\mathbb{R}}, les normes {N_a,N_b} sont-elles équivalentes ?

Construire une norme {N} sur {\mathbb{R}[X]} telle que {N(X^n-Q)\to0}.

Déterminer les {b\in\mathbb{C}} pour lesquels {P\mapsto P(b)} est continue.

2) Montrer l’équivalence de : (i) il existe {a\ne0} tel que {\lVert f\rVert_{\mathrm{op}}=|f(a)|/\lVert a\rVert} ;

(ii) il existe {y\in\ker f} tel que {d(x_0,\ker f)=\lVert x_0-y\rVert}.

Montrer la convergence et préciser la limite, d’abord pour {A} diagonalisable, puis dans le cas général.

Montrer que {N} est une norme.

Montrer que {\lambda=0}.

Montrer que {\mu} est continue.

Montrer que {P^nQ} converge uniformément vers zéro, puis conclure à la non-équivalence des normes.

Montrer que {f} est constante.

Pour {f\in E}, on définit {\varphi(f)(x)=\begin{cases}\dfrac1x\int_0^xf(t)\,dt,&x>0,\\[4pt]f(0),&x=0.\end{cases}}Montrer que {\varphi} est un endomorphisme continu de {E}.

Montrer que {\lVert f\rVert_{\mathrm{op}}=|f(x_0)|/d(x_0,\ker f)}.

Montrer l’équivalence entre : {|f(a)|=\lVert f\rVert_{\mathrm{op}}} pour un {a} unitaire ; la distance de {x_0} à {\ker f} est atteinte.

Montrer que {N} n’est pas différentiable en zéro.

Montrer l’unicité et l’existence de ce produit scalaire.

Montrer {|u(f)|\leq u(|f|)}.

Avec {e=1}, calculer {\sup_{f\neq0}|u(f)|/\lVert f\rVert_\infty}.

2) Montrer la réciproque.

3) Sur {\mathbb{R}[X]}, poser {N_a(P)=|P(a)|+\int_0^1|P'(t)|dt}.

Montrer que {N_a,N_b} sont équivalentes pour {a,b\in[0,1]}.

4) Pour {P_n=X^{n^2}/2^n}, déterminer les {a} pour lesquels {(P_n)} converge pour {N_a} et sa limite.

5) En déduire que {N_a,N_b} ne sont pas équivalentes si {0\leq a\lt b} et {b>1}.

Montrer que c’est une norme exactement lorsque l’ensemble des zéros de {\varphi} est d’intérieur vide, et qu’elle est équivalente à la norme uniforme exactement lorsque {\varphi} ne s’annule pas.

Montrer que {E} est un espace vectoriel, que {f} est {K(f)}-lipschitzienne, calculer {K(P)} pour les polynômes, dire si {K} est une norme, prouver {\lVert f\rVert_\infty\le\inf|f|+K(f)} et étudier la bornitude de {K(f)/\lVert f\rVert_\infty} pour {f\ne0}.

Réciproquement, pour {K} ayant ces propriétés, montrer que {J(x)=\inf\left\{r>0:x/r\in K\right\}} est une norme de boule unité {K}.

Montrer que ce sont des normes bien définies, que {N_2\leq CN_1} pour une constante {C}, mais qu’aucune constante {D>0} ne vérifie {N_1\leq DN_2}.

Montrer {\lVert x\rVert_p=\sup_{\lVert y\rVert_q=1}\langle x,y\rangle}, puis que {\lVert \cdot\rVert_p} est une norme.

Montrer l’identité du parallélogramme pour une norme euclidienne.

Comparer les boules unités pour {1\leq p\lt p'}.

Déterminer {\lambda}.

Montrer qu’elle est continue si et seulement si elle est linéaire.

Déterminer {\varphi(t)=N(M(t))}, tracer son graphe et étudier son caractère {C^1}.

b) Déterminer sa primitive {\Phi} telle que {\Phi(0)=0}.

Est-elle {C^1} ?

c) Si {F} est la primitive de {M} avec {F(0)=0}, prouver {N(F(t))\le\Phi(t)} pour {t\ge0}.

2) Est-elle associée à un produit scalaire ?

3) Pour {p\ne q} dans {]0,1[}, les normes {N_p,N_q} sont-elles équivalentes ?

2) Calculer {\overline V(V)}, en déduire l’inversibilité de {V} et donner son inverse.

3) Exprimer les {a_k} en fonction de {P(\omega^\ell)}, {0\leq\ell\leq n-1}.

4) Justifier {N_1} et montrer {N_2\leq N_1}.

5) Trouver {\alpha,\beta>0} tels que {\alpha N_1\leq N_2\leq\beta N_1}.