Pour {f\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})}, étudier {u_n=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nf(k/n+k/n^2)}.

Soit {a\lt b}. Montrer qu’il existe {C>0} tel que {\int_a^bf^2\leq C\int_a^b(f')^2} pour toute {f\in C^1([a,b],\mathbb{R})} nulle aux deux extrémités.

Calculer {\cos(\pi/12)} et {\sin(\pi/12)}, puis une primitive de {\frac{\sin x}{\sin(x+\pi/3)\sin(x-\pi/12)}, \qquad \pi/12\lt x\lt 2\pi/3.}

Pour {f\in C([0,1],\mathbb{R})}, poser {F(x)=x^{-1}\int_0^xf}.

Prolonger {F} continûment en {0}, montrer {\int_0^1F^2\leq2\int_0^1Ff}, puis {\int_0^1F^2\leq4\int_0^1f^2}.

Soit {f\in C^1([0,1],\mathbb{R})} nulle en {0} et {1}.

Relier {\int_0^1ff'\cot(\pi t)} à {\int_0^1f^2(1+\cot^2(\pi t))}.

Majorer la seconde à l’aide de {\int(f')^2} et {\int f^2\cot^2(\pi t)}, puis établir {K\int_0^1f^2\leq\int_0^1(f')^2} avec {K} précisé.

Pour {f\in C^1([0,2])}, étudier {u_n=n^{-1}\sum\limits_{k=1}^nf(k/n+k/n^2)}.

Donner un équivalent de {u_n=\sum\limits_{k=1}^n\sin(\sqrt k/n)}.

Donner la limite et un développement avec erreur {o(1/n)} de {u_n=\prod\limits_{k=1}^n\cos(\sqrt{k(n-k)}/n^{3/2})}.

Si {f\in C^2([0,1])}, {f(0)=f'(0)=f'(1)=0} et {f(1)=1}, montrer qu’un {c\in]0,1[} vérifie {|f''(c)|\ge4}.

Pour {h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+} continue, {\ell>0}, {n\ge1}, supposer {h(x)\int_0^xh(t)^ndt\to\ell}.

Déterminer un équivalent de {h} à l’infini.

Calculer {I=\int_{-1}^1\cos x/(e^{1/x}+1)\,dx}.

Si {f\in C([a,b],\mathbb{R})} et {\int_\alpha^\beta f=0} pour toutes {\alpha,\beta\in[a,b]}, montrer {f=0}.

Déterminer les {f\in C([a,b])} tels que {\int_a^bfg=0} pour tout {g\in C^1([a,b])} nul aux deux extrémités, avec {a\lt b}.

Pour {f\in C^2([0,1])}, {f(0)=f(1)=0}, montrer {120(\int_0^1f)^2\le\int_0^1(f'')^2}.

Pour {f\in C([a,b])} et la boule unité {B} de la norme supérieure, montrer {\sup_{g\in B}\int_a^bfg=\int_a^b|f|}.

Poser {I_n=\int_0^{\pi/2}\sin((2n+1)t)/\sin t\,dt} et {J_n=\int_0^{\pi/2}\sin((2n+1)t)/t\,dt}.

Justifier leur existence, montrer que {I_n} est constante et {I_n-J_n\to0}.

En déduire la convergence et la valeur de {\int_0^\infty\sin t/t\,dt}.

1) Pour {f,g} continues sur {[a,b]}, {f} de signe constant, montrer {\int fg=g(c)\int f} pour un {c\in[a,b]}.

2) Si {f:\mathbb{R}_+^\star\to\mathbb{R}} est continue, {f(0^+)=\lambda}, et {\int_1^\infty(f(t)-\mu)/t\,dt} converge, calculer {\int_0^\infty(f(at)-f(bt))/t\,dt} pour {a\lt b}.

Sur un segment non trivial {S}, si {f\in C^n(S)} et {\lVert f^{(n)}\rVert_\infty\lt m}, construire un polynôme {p} tel que {\lVert f-p\rVert_\infty\lt \varepsilon} et {\lVert p^{(n)}\rVert_\infty\lt m}.

Soient {I} un intervalle réel non trivial, {M>0} et {f\in C^1(I,\mathbb{C})} non identiquement nulle, avec {|f'|\le M|f|}.

Montrer que {f} ne s’annule pas.

Soit {f\in C^0([0,1],\mathbb{R})}.

Montrer que {\int_{-1/2}^{3/2}f(3x^2-2x^3)\,dx =2\int_0^1f(3x^2-2x^3)\,dx.}

1) Si {f} est {C^1}, montrer que {\int_0^xf(t)dt+\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt=xf(x)} pour {x\ge0}.

2) Pour {x_{i,n}=ix/n}, montrer que {\sum\limits_{i=0}^{n-1}x_{i,n}(f(x_{i+1,n})-f(x_{i,n}))} converge vers {\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt}.

Retrouver l’égalité précédente.

3) Si {a\ge0} et {b} appartient à l’image de {f}, montrer que {\int_0^af(t)dt+\int_0^bf^{-1}(t)dt\ge ab}.

1) Pour {n\ge1}, montrer qu’il existe une unique subdivision {(x_{0,n},\ldots,x_{n,n})} telle que {\int_{x_{k-1,n}}^{x_{k,n}}f=(1/n)\int_a^bf} pour {1\le k\le n}.

2) Déterminer la limite de {n^{-1}\sum\limits_{k=1}^nf(x_{k,n})}.

1) Soit {f\in C^0([0,1],\mathbb{R})}.

Si {\int_0^1f\varphi=0} pour toute {\varphi\in C^1([0,1],\mathbb{R})} nulle aux deux extrémités, montrer que {f=0}.

2) Si {f,g} sont continues et {\int_0^1f\varphi=\int_0^1g\varphi'} pour toute telle {\varphi}, montrer que {g} est {C^1} et déterminer {g'}.

1) Pour {[c,d]\subset E}, montrer que {|\int_c^de^{if(x)}dx|\le3/h}.

2) Montrer que {|\int_Ee^{if(x)}dx|\le6/h}.

3) Montrer que {|\int_a^be^{if(x)}dx|\le6/h+2h/m^2}.

4) En déduire la borne {8/m}.

1) Calculer {\int_0^{\pi/2}\sin x/(1+\sqrt{\sin(2x)})\,dx}.

2) Pour {f\in C^0([0,1],\mathbb{R})}, montrer que {\int_0^{\pi/2}f(\sin(2x))\sin x\,dx =\int_0^{\pi/2}f(\cos^2y)\cos y\,dy}.

Déterminer la limite de {\sum\limits_{k=0}^n\dfrac{n+k}{2+\sin(n+k)+(n+k)^2}}.

Calculer {\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{x\cos x\sin x}{\cos^4x+\sin^4x}\,dx}.

Soit {f\in C^2([0,1],\mathbb{R})} avec {f(1/2)=f'(1/2)=0}.

Montrer que {\int_0^1f''(x)^2\,dx\ge320(\int_0^1f(x)\,dx)^2}.

Soit {a\in\mathbb{R}} et {E_a=\left\{f\in C^2([0,1],\mathbb{R}):f(0)=f(1)=0,\ f'(0)=a\right\}}.

Montrer que {\int_0^1f''(t)^2\,dt\ge3a^2} pour tout {f\in E_a}.

Déterminer l’infimum de {\int_0^1|f'-f|} sur les fonctions {f\in C^1([0,1],\mathbb{R})} avec {f(0)=0}, {f(1)=1}.

Soient {f\in C^0([a,b],\mathbb{K})}, {\mathbb{K}=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}, et {\delta>0}.

Montrer qu’il existe {P\in\mathbb{K}[X]} tel que {\lVert f-P\rVert_\infty\le\delta} et {\int_a^bf=\int_a^bP}. On pourra commencer par le cas réel.

Expliciter {F(x)=\int_0^{\sin^2x}\arcsin\sqrt t\,dt +\int_0^{\cos^2x}\arccos\sqrt t\,dt.}

Déterminer {A=\left\{\frac{\int_0^1f(t)e^t\,dt}{\int_0^1f(t)\,dt}: f\in C^0([0,1],\mathbb{R}_+)\setminus\left\{0\right\}\right\}.}

1) Calculer sa limite en zéro.

2) Si {f} a une limite finie à {+\infty}, déterminer celle de {g}.

1) Donner un sens à l’intégrale.

2) Expliciter {I_n}.

1) Pour {p,q\ge1} entiers et {f\in C^0([0,p/q],\mathbb{R})}, on pose {P_n(X)=X^n(p-qX)^n/n!}.

Montrer que {\int_0^{p/q}P_n(t)f(t)\,dt\to0}.

2) Montrer que {\pi} est irrationnel.

1) Montrer que {a(I_n+I_{n+2})=(a^2+1)I_{n+1}}.

2) Calculer {I_n}.

1) Relier {I_n} et {I_{n+2}}.

2) Montrer que {(n+1)I_nI_{n+1}} est constant et en déduire {I_n\sim\sqrt{\pi/(2n)}}.

3) Montrer qu’il existe {\alpha>0} avec {\cos t\le1-\alpha t^2} sur le segment, puis que {\sqrt n\int_0^{\pi/2}t\cos^nt\,dt\to0}.

Pour {f\in C^1}, montrer {I_n^{-1}\int_0^{\pi/2}f(t)\cos^nt\,dt\to f(0)}.

Montrer, pour {n\ge2} et {x\ne\pm n/2}, {J_n=(1-4x^2/n^2)^{-1}\frac{n-1}nJ_{n-2}.}En déduire, pour {x\in]-\pi,\pi[}, {\pi x\prod\limits_{k=1}^n(1-x^2/k^2)\to\sin(\pi x)}.

1) Montrer que {\Delta:f\mapsto f''} est un isomorphisme de {E} sur {F}.

2) Pour {g\in F}, montrer que {G(x)=\int_0^1|x-t|g(t)\,dt} est {C^2} et calculer {G''}.

3) En déduire un noyau réel {k(x,t)} tel que {\Delta^{-1}(g)(x)=\int_0^1k(x,t)g(t)\,dt}.

1) Pour {f\in C^1([a,b])}, montrer {\int_a^bf(t)\cos(nt)\,dt\to0}. On admet le même résultat pour une fonction continue par morceaux.

2) Calculer {\int_0^\pi(-x+x^2/(2\pi))\cos(nx)\,dx} pour {n\geq1}.

3) En déduire la somme de {\sum\limits_{n\geq1}1/n^2}.

1) Pour {\varphi\in C^1([0,\pi/2])}, montrer {\int_0^{\pi/2}\varphi(t)\sin((2n+1)t)\,dt\to0}.

2) Justifier l’existence de {I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}t\,dt,\quad I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin((2n+1)t)}{\sin t}\,dt,\quad J_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin((2n+1)t)}t\,dt.}

3) Calculer {I_n-I_{n-1}}, puis {I_n}.

4) En déduire {I=\pi/2}.

Discuter l’existence et l’unicité d’une fonction continue bornée {f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}} vérifiant {f(x)=2+\int_0^x e^{-t^2}/(2+f(t)^2)\,dt}. Le cas échéant, étudier son comportement à l’infini.

1) Pour {\varphi\in C^1([0,\pi/2],\mathbb{C})}, montrer {\int_0^{\pi/2}\varphi(t)\sin((2n+1)t)dt\to0}.

2) Justifier la définition de {I=\int_0^\infty\sin t\,dt/t}, {I_n=\int_0^{\pi/2}\sin((2n+1)t)dt/\sin t}, {J_n=\int_0^{\pi/2}\sin((2n+1)t)dt/t}.

3) Calculer {I_n-I_{n-1}}, puis {I_n}, et montrer {I=\pi/2}.

Soient {f,g} continues sur {[a,b]}, avec {f} décroissante et {0\le g\le1}.

Poser {c=\int_a^bg}.

Montrer {\int_{b-c}^bf\le\int_a^bfg\le\int_a^{a+c}f}.

Trouver {f\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que {f(x)+\int_0^x(x-t)f(t)dt=1} pour tout {x}.

Pour {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continue {T}-périodique, montrer l’existence et l’unicité de {\lambda} tel que {\int_1^\infty(\lambda-f(t))/t\,dt} converge.

Traiter d’abord le cas {f=\sin}.

Soient {I_0,\ldots,I_n} des segments de {\mathbb{R}} non réduits à des points.

Existe-t-il {P\in\mathbb{R}_{n+1}[X]} tel que {\int_{I_k}P(t)\,dt=0} pour tout {k\in\left\{0,\ldots,n\right\}} ?

Même question avec {P\in\mathbb{R}_n[X]}.

Soit {f(x)=\int_{\ln x}^{2\ln x}e^t/t\,dt}.

Quel est son comportement lorsque {x\to1} ?

Pour {n,p\geq1}, poser {u_{n,p}=(p^{-1}\sum\limits_{k=1}^p(1+k/p)^{1/n})^n}.

Calculer les deux limites itérées en {n} et {p}.

Montrer que {\Phi(a,b)=\int_{-1}^1(at^3+bt^2-t+1)^2dt} possède un unique minimum et le calculer.

Pour {f:[0,1]\to\mathbb{R}_+^\star} continue, montrer l’existence d’une unique subdivision {0=a_{0,n}\lt \cdots\lt a_{n,n}=1} partageant l’intégrale de {f} en {n} parts égales.

Calculer {\lim n^{-1}\sum\limits_{k=0}^na_{k,n}}.

Si {f\in C^1([0,1])}, {f(0)=0}, {f(1)=1}, montrer {\int_0^1|f'-f|>1/e}.

Pour {f,g} continues sur {[a,b]}, {g\geq0}, montrer l’existence de {c} avec {\int_a^bfg=f(c)\int_a^bg}.

Pour {f\in C([0,1])}, poser {F(x)=x^{-1}\int_0^xf} pour {x>0}, {F(0)=f(0)}.

Montrer {\int_0^1F^2\leq4\int_0^1f^2}.

Si {f\in C([0,1])} et {\int_0^1x^kf(x)dx=0} pour {0\leq k\leq n}, montrer que {f} a au moins {n+1} zéros.

Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continue et {T}-périodique, avec {T>0}.

Pour {a\lt b}, déterminer la limite de {u_n=\int_a^bf(nx)\,dx}.

1) Soit {f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+} continue telle que {xf(x)\leq c+\int_0^xf(t)\,dt} pour un {c\geq0}.

Montrer que {f} est bornée.

2) Montrer que toute solution {y\in C^2(\mathbb{R}_+,\mathbb{R})} de {y''+xy=0} est bornée.

Soient {a,b>0} et {f\in C^1([0,b])} telle que {f(0)=a} et {f'\geq f^3}.

Montrer {b\leq1/(2a^2)}.

Déterminer les fonctions continues réelles telles que {f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y)}.

Pour une solution non nulle, calculer {f(0)} et montrer qu’elle est {C^2} en intégrant l’équation avec une primitive.

Pour {z\in\mathbb{C}}, {|z|\ne1}, calculer {I=\int_0^{2\pi}dt/(z-e^{it})} en utilisant d’abord les éléments simples de {nX^{n-1}/(X^n-1)}, puis une série de fonctions.

Soit {f\in C^1([0,1],\mathbb{R}_+)} avec {|f'|\leq M}.

Montrer {-2M\int_0^xf\leq f(x)^2-f(0)^2\leq2M\int_0^xf}, puis {\int_0^1f-f(0)^2\int_0^1f\leq M(\int_0^1f)^2}.

Soit {f} continue sur {[a,b]} telle que {|\int_a^bf|=\int_a^b|f|}.

Montrer que {f} garde un signe constant.

Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+^\star} continue et {u_n=\int_0^{1+1/n}f(t^n)dt}.

Déterminer sa limite puis un équivalent.

1) Encadrer {\int_0^xe^{-t^2}dt} entre les sommes de Riemann à droite et à gauche pour la subdivision régulière en {n} intervalles de {[0,x]}, {x\geq0}.

2) Pour {g(x)=\int_0^1e^{-(1+t^2)x^2}dt/(1+t^2)}, montrer {g'(x)=-2e^{-x^2}\int_0^xe^{-t^2}dt}.

3) Exprimer {g} avec cette intégrale et calculer l’intégrale gaussienne.

a) Calculer {\lim_{n\to\infty}\lim_{p\to\infty}u_{n,p}}.

b) Calculer {\lim_{p\to\infty}\lim_{n\to\infty}u_{n,p}}.

Soit {f:[0,1]\to\mathbb{R}} dérivable et non identiquement nulle, telle qu’il existe {M>0} avec {f'(x)\le Mf(x)}.

Montrer que {f} ne s’annule pas.

Calculer {I=\int_0^{\pi/4}\log(1+\tan x)\,dx}.

Pour {f\in C^1([0,1])}, poser {U_n=\int_0^1f(x)dx-\frac1n\sum\limits_{k=0}^{n-1}f(k/n)}.

Déterminer {\lim nU_n}.

Pour {x\in\mathbb{C}}, {|x|\ne1}, calculer {I=\int_0^{2\pi}dt/(x-e^{it})} en utilisant la décomposition en éléments simples de {nX^{n-1}/(X^n-1)}, puis par une autre méthode.

Pour {f,g\in C^0([a,b],\mathbb{R}_+^\star)}, {a\lt b}, poser {m=\inf f/g}, {M=\sup f/g}. Montrer {\left(\int_a^bf^2\right)\left(\int_a^bg^2\right) \le\frac{(M+m)^2}{4Mm}\left(\int_a^bfg\right)^2.}

Soient {c\in\mathbb{R}}, {u:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}} et {v:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+} continues, avec {u(x)\le c+\int_0^xv(t)u(t)dt}.

Montrer {u(x)\le c\exp(\int_0^xv(t)dt)}.

Montrer qu’il existe {A,B\in\mathbb{R}} tels que toute {f\in C^1(\mathbb{R})}, {2\pi}-périodique, vérifie {\sup_{\mathbb{R}}|f|\le A\int_0^{2\pi}|f|+B\int_0^{2\pi}|f'|}. L’inégalité subsiste-t-elle si l’on enlève une hypothèse ?

a) Que dire de {I_n} ?

b) Montrer que les deux suites convergent vers la même limite, et la calculer.

Montrer que {\sum\limits_{k=n+1}^{2n}1/\sqrt k\sim2(\sqrt2-1)\sqrt n}.

1) Donner un équivalent de {u_n}.

2) Donner un équivalent de {u_n-(\ln n)^2/2}.

Déterminer les {f\in C^0(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que {f(x)f(y)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)dt}pour tous réels {x,y}.

Pour {n\in\mathbb{N}}, calculer {I(n)=\int_0^{\pi/2}\cos((n+2)x)\cos^n x\,dx}.

1) Montrer que {P_n^{(k)}(0)} et {P_n^{(k)}(\pi)} sont entiers pour tous {n,k}.

2) Montrer que {I_n=\int_0^\pi P_n(t)\sin t\,dt} est entier.

3) Montrer que {I_n>0}.

4) Montrer qu’il existe {\xi} tel que {I_n\leq\pi\xi^n/n!} et conclure.

1) Montrer qu’il existe {A,B\in\mathbb{R}} tels que {\sup_{\mathbb{R}}|f|\leq A\int_0^{2\pi}|f'|+B\int_0^{2\pi}|f|} pour toute {f\in E}.

2) Est-ce encore vrai pour les fonctions complexes ?

Soit {f\in C^0([a,b],\mathbb{R})}, {f_0=f}, {f_{n+1}(x)=\int_a^xf_n(t)dt}.

Justifier la définition de {g=\sum\limits_{n=0}^\infty f_n} et l’exprimer en fonction de {f}.

1) Montrer que {f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c)=\int_a^bg(x)dx}, où {g(x)=\int_c^d\partial^2f/(\partial x\partial y)(x,y)dy}.

2) Montrer qu’il existe {M} tel que, pour {|x|,|y|\leq1}, {|f(x,y)-f(0,y)-f(x,0)+f(0,0)|\leq M|xy|.}