Si {A,B} sont réelles et commutent, montrer {\det(A^2+B^2)\geq0}.

Donner un exemple avec {A,B} inversibles, commutantes, et déterminant nul, puis un exemple sans commutation où le déterminant est négatif.

Calculer la trace et le déterminant de la transposition sur {M_n(K)}.

Pour {A,B,C,D\in M_n(K)} avec {AC=CA}, montrer {\det\begin{pmatrix}A&B\\[4pt]C&D\end{pmatrix}=\det(AD-CB)}.

Montrer l’existence et l’unicité de {T_m\in\mathbb{R}_m[X]} tel que {T_m(\cos x)=\cos(mx)}.

Calculer {\det(\cos((k-1)a_\ell))_{1\leq k,\ell\leq n}}.

Pour {b_1\lt \cdots\lt b_p} réels et des {a_i} non tous nuls, montrer que {\sum\limits_i a_ie^{b_ix}} possède au plus {p-1} zéros réels distincts.

Pour {\alpha_1\lt \cdots\lt \alpha_n} et {\beta_1\lt \cdots\lt \beta_n}, montrer {\det(e^{\alpha_i\beta_j})>0}.

Pour {A\in M_n(\mathbb{R})} vérifiant {A^3=A+I}, déterminer le signe de {\det A}.

Pour {A\in M_n(\mathbb{C})} nilpotente, montrer {A^n=0} et calculer {\det(I+A)}.

Si {AM=MA}, montrer {\det(A+M)=\det M}.

Le résultat demeure-t-il sans commutation ?

Si les colonnes de {A\in\mathcal M_n(\mathbb{K})} sont {C_j} et celles de {B} sont {C'_j=\sum\limits_{i\ne j}C_i}, calculer {\det B}.

1) Pour {b_1\lt \cdots\lt b_p} et des réels {a_i} non tous nuls, montrer que {\sum\limits_i a_ie^{b_ix}} s’annule au plus {p-1} fois sur {\mathbb{R}}.

2) Si {\alpha_1\lt \cdots\lt \alpha_n} et {\beta_1\lt \cdots\lt \beta_n}, montrer {\det(e^{\alpha_i\beta_j})>0}.

Si {x_1,x_2,x_3} sont les racines de {X^3+pX+q}, poser {N_j=x_1^j+x_2^j+x_3^j}.

Calculer {\det(N_{i+j-2})_{1\le i,j\le n}}.

Calculer {\det(\gcd(i,j))_{1\le i,j\le n}}. On rappelle {N=\sum\limits_{d\mid N}\varphi(d)}.

1) déterminer son rang selon celui de {A} ;

2) calculer {\operatorname{Com}(\operatorname{Com}(A))} si {A} est inversible ;

3) si {AX=\lambda X}, {X\ne0}, {\lambda\ne0}, montrer que {X} est propre pour {\operatorname{Com}(A)^T}.

Pour {A} nilpotente complexe, calculer {\det(I+A)} puis {\det(A+M)} si {AM=MA}, en commençant par {M} inversible.

La formule reste-t-elle vraie sans commutation ?

Montrer {|\det A|\le\prod\limits_i\sum\limits_j|a_{ij}|} pour {A} réelle. Si {\det A\ne0}, caractériser l’égalité.

1) donner le rayon de {\sum\limits_{n\ge0}P(n)x^n} et montrer que sa somme est rationnelle ;

2) montrer {\det(P(i+j))_{1\le i,j\le p+1}=0} ;

3) montrer {\det(P(i+j))_{1\le i,j\le p}\ne0}.

Dans {S_n} uniforme, calculer la probabilité {\pi_n} qu’une permutation possède un cycle de longueur strictement supérieure à {n/2}. En déterminer un équivalent.

Pour deux familles réelles {(a_i),(b_i)}, déterminer les extrema sur {S_n} de {\sum\limits_{i=1}^na_ib_{\sigma(i)}}.

1) Étudier les cas {N(P)=1,2}.

2) Montrer {r_+(P)\le r_+(P')+1}.

3) Si {P(0)=0}, montrer {r_+(P)\le r_+(P')}.

4) Montrer {r_+(P)\le N(P)-1}.

5) Si {0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n} et {0\le p_1\lt \cdots\lt p_n} entiers, montrer {\det(x_i^{p_j})>0}.

Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, montrer qu’il existe une matrice diagonale {D} à diagonale dans {\left\{-1,1\right\}^n} telle que {A+D} soit inversible.

Soient {x_1\lt \cdots\lt x_n} réels et {V=(x_i^{j-1})}.

Calculer son déterminant, montrer son inversibilité et donner son inverse.

Soit {E} de cardinal {n\ge2}, et indexons ses parties non vides {E_1,\ldots,E_N}, {N=2^n-1}.

Pour {A_{ij}=\mathbf1_{E_i\cap E_j\ne\varnothing}}, calculer {\det A}.

Montrer que des fonctions {f_1,\ldots,f_n:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} sont libres si et seulement s’il existe {x_1,\ldots,x_n} tels que {\det(f_i(x_j))\ne0}.

1) Montrer qu’il a au plus une racine réelle ; donner les racines de {P'_n} ; montrer que ses racines sont simples.

2) Pour les racines {r_1,r_2,r_3} de {P_3}, calculer le déterminant de la matrice de diagonale {(1+r_i)} et de coefficients hors diagonale {1}.

Si deux matrices {A,B} sur un sous-corps de {\mathbb{C}} sont semblables, montrer que {\operatorname{Com}(A)} et {\operatorname{Com}(B)} le sont aussi.

Pour {A\in M_n(\mathbb{R})} et {t\ge0}, montrer {\det(A^2+tI_n)\ge0}.

1) Calculer {\det(P^{(i)}(\alpha_j))_{0\le i,j\le n}}.

2) Montrer que les {P(X+\alpha_j)} forment une base de {K_n[X]}.

1) Montrer qu’une unique bijection {g:F\to F} vérifie {g(\alpha)\cap\alpha=\varnothing}.

2) Pour {A_{ij}=-1} si {\alpha_i\cap\alpha_j=\varnothing}, {0} sinon, calculer {\det A}.

1) Préciser sa structure.

2) Montrer {A\in I\iff\det A\in\left\{-1,1\right\}}.

3) Si {\alpha(X)} est le pgcd des coefficients d’une colonne entière, montrer {A\in I\iff\alpha(AX)=\alpha(X)} pour toute colonne entière {X}.

1) Pour {M\in M_{n,p}(K)}, {N\in M_{p,n}(K)}, relier les polynômes caractéristiques de {MN} et {NM}.

2) Si {A} est inversible et {B=(1+a_{ij})}, noter {S} la somme de tous les coefficients de {A^{-1}}.

Relier {\det A}, {\det B} et {S}.

1) Calculer {\det(A+kI)} pour {1\le k\le n}.

2) Montrer que {A} possède {n} valeurs propres distinctes et que chacune vérifie {\sum\limits_{k=1}^nk/(\lambda+k)=1}.

3) Déterminer leur somme et leur produit.

1) Calculer la différentielle du déterminant en {I_n}. Le déterminant y atteint-il un extremum local ?

2) Déterminer les points critiques et les extrema locaux du déterminant sur {M_n(\mathbb{R})}.

1) Montrer que {n\le M_n\le n!}.

2) Si {n\ge4}, montrer que {M_n\le\max_{2\le k\le n-1}(kM_{n-k})}.

3) Montrer que {M_n=O(3^{n/3})}.

1) Donner une condition nécessaire et suffisante sur {z} pour que {M} soit inversible.

2) Calculer son rang en fonction de {z}.

1) Calculer {\det M}.

2) Étudier son inversibilité.

1) Que peut-on dire du déterminant d’une matrice de {\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})}, groupe des inversibles de l’anneau {\mathcal M_n(\mathbb{Z})} ?

2) Soient {B,C\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} tels que {B+kC\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})} pour {k=0,\ldots,2n}.

Calculer {|\det B|} et {\det C}.

Montrer que, pour tout {t\ge0} et toute {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})}, {\det(A^2+tI_n)\ge0}.

1) Soient {P_0,\ldots,P_{n-1}\in\mathbb{C}[X]}, avec {\deg P_k=k}, et {z_0,\ldots,z_{n-1}\in\mathbb{C}}.

Calculer {\det(P_{i-1}(z_{j-1}))_{1\le i,j\le n}}.

2) Si {x_0,\ldots,x_n\in\mathbb{Z}}, montrer que {\prod\limits_{0\le i\lt j\le n}(x_j-x_i)/(j-i)\in\mathbb{Z}}.

1) Montrer que {\det M>0} pour {n=2}.

2) Calculer {\det M} lorsque {b_k=k-1} pour tout {k}.

3) Montrer que {M} est inversible, puis que {\det M>0}.

Soient {A_1,\ldots,A_n\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} tels que {\sum\limits_{i\ne j}(A_iA_j+A_jA_i)=0}.

Montrer que {\det\left(\sum_{k=1}^n(A_k+I_n)^2-(n-2)I_n\right)\ge0.}

Soient {\mathbb{K}} un sous-corps de {\mathbb{C}} et {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb{K})} semblables.

Montrer que {\operatorname{Com}A} et {\operatorname{Com}B} sont semblables.

1) Calculer {\operatorname{Com}(J_r)}, où {J_r=\operatorname{diag}(I_r,0)}, {0\le r\le n}.

2) Montrer que {\operatorname{Com}(AB)=\operatorname{Com}(A)\operatorname{Com}(B)}.

3) Exprimer le rang de {\operatorname{Com}(A)} en fonction de celui de {A}.

4) Étudier l’injectivité de {\gamma:A\mapsto\operatorname{Com}(A)} et déterminer son image.

1) Montrer que {\mathcal D} est une sous-algèbre.

2) Pour {M} inversible, montrer que {M\in\mathcal D} équivaut à {\operatorname{Com}(M)\in\mathcal D}.

3) Cette équivalence reste-t-elle vraie sans l’inversibilité ?

Soit {M\in\mathcal M_n(\mathbb{C})}.

Déterminer la comatrice de la comatrice de {M}.

Soit {A\in\mathcal A_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {\det(I_n+A)\ge1}.

Soit {A\in\mathcal S_n(\mathbb{R})}, et {A_i} sa sous-matrice des {i} premières lignes et colonnes.

Montrer que {A\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb{R})} équivaut à {\det A_i>0} pour tous {1\le i\le n}.

1) Calculer {\det S}.

2) À quelle condition {S\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb{R})} ?

1) Calculer la différentielle du déterminant en {I_n}.

2) Montrer de deux façons qu’il n’y a pas d’extremum local en {I_n}.

3) Que dire d’un éventuel extremum local du déterminant ?

4) Pour {1\le r\le n-1}, donner une matrice simple de rang {r} et étudier le déterminant près d’elle.

Montrer que l’ensemble des vecteurs tangents à {\mathrm{SL}_n(\mathbb{R})} en {I_n} est l’hyperplan des matrices de trace nulle.

1) Montrer que {P} est unitaire de degré {n}.

2) Calculer {P(a_i)}.

3) Trouver {P}.

4) Décomposer {P(X)/\prod\limits_j(X-a_j)} en éléments simples.

5) Calculer {\det(A+I)}.

Soient {n\ge2} et {A\in M_n(\mathbb{R})} tels que {\det(A+M)=\det A+\det M} pour toute {M}.

Montrer que {A} n’est pas inversible, puis que {A=0}. Indication : écrire {A=PJ_rQ^{-1}}.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})} avec {AB=BA} et {B^p=0} pour un entier {p\ge1}.

Montrer que {\det(A+B)=\det A}.

1) Pour {A\in S_n(\mathbb{R})}, caractériser {A\in S_n^{++}(\mathbb{R})}.

2) Si {A=\begin{pmatrix}B&C\\[4pt]C^T&D\end{pmatrix}} est définie positive, montrer {\det B>0} et {\det A\le\det B\det D}.

Soient {U,V\in S_n^+(\mathbb{R})}.

Montrer que {\det(U+V)\geq\det U+\det V}.

Une matrice antisymétrique réelle non nulle peut-elle être inversible en dimension impaire ?

Et en dimension paire ?

Montrer que {P=X^3-X+1} possède trois racines complexes distinctes {z_1,z_2,z_3}.

Calculer le déterminant de la matrice de diagonale {1+z_i} et de coefficients hors diagonale égaux à {1}.

Pour {A,B\in M_n(\mathbb{Z})}, supposer {\det(A+kB)=\pm1} pour {0\leq k\leq2n}.

Que dire de {\det A,\det B} ?

Pour {n\geq2}, {0\leq k\lt n} et {x\in\mathbb{R}}, calculer le déterminant de la matrice dont le premier coefficient de la ligne {i} est {(x+i)^k} et les autres {(i+j-1)^k}, {2\leq j\leq n}.

Montrer {\det\overline A=\overline{\det A}} pour {A} complexe, puis {\det(I+A\overline A)\in\mathbb{R}}.

Pour {A} réelle, montrer {\det(A^2+tI)\geq0} si {t\geq0}.

Montrer que {A^2+B^2=-I} est impossible en dimension impaire, mais possible en dimension paire.

1) Pour {M\in M_{n,p}(\mathbb{R})}, montrer {\det(MM^T)\geq0}, et {\det(MM^T)=0} si {p\lt n}.

2) Pour des parties {A_1,\ldots,A_n} d’un ensemble fini {X}, montrer que la matrice {(|A_i\cap A_j|)} a un déterminant positif.

Soient {F_0=0}, {F_1=1}, {F_{k+2}=F_{k+1}+F_k}.

Calculer {\det(F_{|j-i|})_{1\leq i,j\leq n}}.

Pour {n\geq2} et {a,x,y,z\in\mathbb{R}}, calculer le déterminant de {\begin{pmatrix}a&x\mathbf1^T\\[4pt]y\mathbf1&zI_{n-1}\end{pmatrix}}, où {\mathbf1} est le vecteur de {n-1} coefficients égaux à un.

Soient {A,B,C,D\in M_4(\mathbb{R})} avec {AC=CA}. Montrer {\det\begin{pmatrix}A&B\\[4pt]C&D\end{pmatrix}=\det(AD-CB)}. Commencer par {A} inversible.

Pour {A,B\in M_n(\mathbb{C})}, poser {P(t)=\det(tA+B)}.

Montrer {\deg P\leq\operatorname{rg}A} et, si {P\ne0}, {\operatorname{val}P\geq n-\operatorname{rg}B}.

1) Pour {A} réelle et {t\geq0}, montrer {\det(A^2-tI)\geq0}.

2) Pour {n} impair, montrer que {-I_n} n’est pas somme de deux carrés de matrices réelles.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} ayant des uns juste au-dessus et au-dessous de la diagonale, et des zéros ailleurs.

Calculer {\det(A-2\cos(a)I)} et en déduire ses valeurs propres.

Soient {E} de dimension {p} et {f_1,\ldots,f_p} des formes linéaires.

Prouver l’équivalence : i) {(f_i)} est libre ;

ii) {u:x\mapsto(f_1(x),\ldots,f_p(x))} est surjective ;

iii) il existe {x_1,\ldots,x_p} tels que {\det(f_i(x_j))\ne0}.

a) Trouver {C} tel que {C^2=A^{-1}}.

b) Pour {D=CBC}, montrer {\det(I+D)^{1/n}\ge1+\det(D)^{1/n}}.

c) En déduire {\det(A+B)^{1/n}\ge\det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}}.

Soient {x_1,x_2\in\mathbb{C}}.

Montrer que {\det\begin{pmatrix} 1&0&1&0&0\\[4pt]x_1&1&x_2&1&0\\[4pt] x_1^2&2x_1&x_2^2&2x_2&2\\[4pt] x_1^3&3x_1^2&x_2^3&3x_2^2&6x_2\\[4pt] x_1^4&4x_1^3&x_2^4&4x_2^3&12x_2^2 \end{pmatrix}=0}si et seulement si {x_1=x_2}.

Soient {(a_1,\ldots,a_n,b_0,\ldots,b_n)\in\mathbb{K}^{2n}}.

Calculer le déterminant {\Delta_n} de la matrice dont les coefficients diagonaux sont {a_i+b_i} et dont les coefficients hors diagonale de la ligne {i} valent {b_i}.

Calculer le déterminant de la matrice d’ordre {n} dont la première ligne est {(1,2,\ldots,n)} et dont chaque ligne suivante est obtenue par décalage circulaire d’un cran vers la gauche.

1) Calculer le déterminant de Vandermonde {V(x_1,\ldots,x_n)=\det(x_i^{j-1})_{1\leq i,j\leq n}}.

2) Montrer que, pour {m_1,\ldots,m_n\in\mathbb{Z}}, {\prod\limits_{k=1}^{n-1}k!} divise {\prod\limits_{1\leq j\lt i\leq n}(m_j-m_i)}. Indication : considérer le déterminant construit avec les polynômes factoriels {1,X,X(X-1),\ldots}.

Soient {A,B\in M_3(\mathbb{R})} telles que {\det A=\det B=\det(A+B)=\det(A-B)=0}.

Montrer que {\det(xA+yB)=0} pour tous réels {x,y}.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{Z})} tels que {\det(A+kB)\in\left\{-1,1\right\}} pour tout {k\in\left\{0,\ldots,2n\right\}}.

Déterminer {\det A,\det B}.