Étudier les convergences simple, normale et uniforme sur {\mathbb{R}_+} de {\sum\limits_{n\geq2}xe^{-nx}/\log n}.

Soit {f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n/(n+x)}.

Montrer qu’elle est définie et continue sur {\mathbb{R}_+^\star}, préciser sa monotonie et donner des équivalents en {0} et en {+\infty}.

Déterminer les domaines de {f(x)=\sum\limits_{n\geq1}1/\sinh(nx)} et {g(x)=\sum\limits_{n\geq1}1/\sinh^2(nx)}, puis leurs équivalents en {0^+}.

Montrer que {f(x)=\sum\limits_{n\geq0}(-1)^n\log((n+1+x)/(n+x))} est définie sur {\mathbb{R}_+^\star}.

Donner un équivalent en {+\infty} et étudier ses variations.

Soit {\zeta(x)=\sum\limits_{n\geq1}n^{-x}}.

Montrer qu’elle est définie et continue pour {x>1} et donner un équivalent en {1^+}.

Poser {u_n(x)=n^{-x}-\int_n^{n+1}t^{-x}\,dt}.

Montrer que {U=\sum\limits u_n} est définie et continue pour {x>0}, puis donner un développement à deux termes de {\zeta} en {1^+}.

Soit {f_n(x)=x/(n(1+nx^2))} sur {\mathbb{R}_+}.

Étudier la convergence simple et normale de {\sum\limits f_n}.

Montrer que sa somme {S} est {C^1} sur {]0,\infty[}.

Étudier {S(x)/x} en {0^+}, la dérivabilité en {0}, puis donner un équivalent de {S(x)/x}.

Pour {|a|\lt 1}, poser {f_n(x)=a^n\cos(nx)/n}.

Montrer la convergence normale sur {\mathbb{R}}, puis que la somme {f} est {C^1} et expliciter {f'} et {f}.

Calculer {\int_{-\pi}^{\pi}\log(1+a^2-2a\cos t)\,dt}.

Soit {b^2-4ac>0} et {f(x)=\sum\limits_{n\geq1}(an^2+bnx+cx^2)^{-1}}.

Déterminer son domaine, sa continuité et sa dérivabilité, puis ses limites et équivalents aux bornes du domaine.

Soit {f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+} continue, décroissante et intégrable.

Montrer que {g(x)=\sum\limits_{n\geq0}f(nx)} est définie pour {x>0}.

Donner sa limite et un équivalent en {0^+}.

Soit {S(x)=\sum\limits_{n\geq1}nx\sin(n+x)/(1+n^3x^3)}.

Déterminer son domaine, sa limite en {+\infty} et un développement à la précision {o(x^{-2})}.

Étudier le domaine, la continuité et le caractère {C^1} de {f(x)=\sum\limits_{n\geq1}(-1)^n\sin(x/n)/n}.

Soit {\sum\limits_{n\geq0}a_n} une série convergente et {F(x)=\sum\limits_{n\geq0}a_nx^n/n!}.

Montrer {F\in C^\infty(\mathbb{R})}, puis la convergence simple de {\sum\limits_{p\geq0}F^{(p)}}, d’abord en convergence absolue de {\sum\limits a_n}, puis dans le cas général.

Pour les fonctions continues par morceaux sur {[-1,1]}, utiliser {\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1fg}. La convergence forte est {\lVert f_n-f\rVert_2\to0} ; la convergence faible signifie {\langle f_n,\varphi\rangle\to\langle f,\varphi\rangle} pour tout {\varphi\in C^1}.

Comparer convergence uniforme, forte et faible.

Si {f\in C^1}, montrer que convergence faible et convergence des normes impliquent la convergence forte.

Si {\varphi_n} et {\varphi_n'} convergent uniformément et {(f_n)} est bornée en norme et converge faiblement, étudier {\langle f_n,\varphi_n\rangle}.

Enfin étudier {f_n(x)=\sin(nx)}.

Déterminer la limite de {u_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}((n-k)/n)^n}.

Pour {f} continue sur {[a,b]} et {\varepsilon>0}, construire des polynômes {P\le f\le Q} avec {\int_a^b(Q-P)\le\varepsilon}.

Est-ce encore vrai pour {f} continue par morceaux ?

Pour {f\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})}, construire des polynômes convergeant uniformément vers {f} sur tout segment.

1) si {S} contient un entier, donner une fonction continue non approchable uniformément par {\mathbb{Z}[X]} ;

2) si {S\subset]0,1[}, montrer que {P_0=X}, {P_{n+1}=2P_n(1-P_n)} converge uniformément vers {1/2} ;

3) si {S} ne contient aucun entier, montrer la densité de {\mathbb{Z}[X]} dans {C(S,\mathbb{R})}.

Pour {f_n(x)=x^n(1-\sqrt x)} sur {\mathbb{R}_+}, déterminer le domaine de convergence de {\sum\limits f_n}, étudier la convergence normale, puis calculer {\sum\limits_{n\ge0}1/((n+1)(2n+3))}.

Pour {\alpha>0}, étudier les modes de convergence de {\sum\limits_{n\ge1}x/(n^\alpha(1+nx^2))}.

Étudier le domaine, la continuité et les équivalents aux extrémités de {f(x)=\sum\limits_{n\ge1}e^{-nx}/(x+n)}.

Étudier domaine, continuité, dérivabilité et équivalents en zéro et à {+\infty} de {f(x)=\sum\limits_{n\ge1}x/(n(1+nx^2))}.

Montrer que {\sum\limits_{n\ge2}xe^{-nx}/\log n} converge simplement sur {\mathbb{R}_+}, non normalement, mais uniformément.

Pour {f_n(x)=x/(\sqrt n(n+x))}, {x\ge0}, étudier la convergence simple et normale sur les segments puis sur {\mathbb{R}_+}.

Montrer la continuité et la régularité {C^1} de la somme {f} à l’intérieur.

Pour {x_0\ge n}, montrer {f(x_0)\ge\sum\limits_{k=1}^n1/(2\sqrt k)}.

En déduire {f(x)\to\infty}, puis montrer {f=o(x)}.

Pour {f\in C([a,b])}, poser {f_0=f} et {f_n(x)=\int_a^xf_{n-1}(t)dt}.

Étudier {\sum\limits f_n} et calculer sa somme.

Pour {f(x)=\sum\limits_{n\ge1}\sin^2(nx)/n^2}, montrer la continuité sur {\mathbb{R}} et étudier la dérivabilité en zéro.

Pour {a>0} et {f(x)=\sum\limits_{n\ge1}\log(1+a/(n^2x^2))}, déterminer le domaine et les équivalents en zéro et à {+\infty}.

Si {(a_n)} est sommable, montrer {\int_0^\infty e^{-t}\sum\limits_{n\ge0}a_nt^n/n!\,dt=\sum\limits_{n\ge0}a_n}. Étendre à une série seulement convergente.

Pour {0\lt \alpha\lt \pi/2}, développer {f(t)=1/(1-\sin\alpha\cos t)} en série de cosinus, puis calculer {\int_0^\pi\cos(nt)/(1-\sin\alpha\cos t)dt}.

1) On suppose {(u_n)} équirépartie.

Montrer qu’elle diverge et que {\left\{u_n:n\ge1\right\}} est dense dans {[0,1]}.

2) Montrer l’équivalence entre : (i) {(u_n)} est équirépartie ;

(ii) pour toute {f\in C^0([0,1],\mathbb{C})}, {n^{-1}\sum\limits_{k=1}^nf(u_k)\to\int_0^1f(t)\,dt} ;

(iii) pour tout {m\ge1}, {n^{-1}\sum\limits_{k=1}^ne^{2\pi imu_k}\to0}.

Quelles fonctions de {[0,1]} dans {\mathbb{R}} sont limites uniformes de suites de polynômes convexes ?

1) Montrer que {f} est définie sur {\mathbb{R}}.

2) Montrer que {f} n’est pas dérivable en {0}.

1) Montrer que {f} est {C^\infty} sur {]0,+\infty[}.

2) Donner sa limite et un équivalent en {+\infty}.

3) Donner sa limite et un équivalent en {0}.

Déterminer le domaine de définition et un équivalent en {1^-} de {f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty x^{n^2}}.

1) Montrer que {S=\sum\limits_{n=0}^\infty u_n} est définie et continue sur {]0,+\infty[}.

2) Exprimer {S(x+1)} en fonction de {S(x)} et de {x}.

1) Déterminer son domaine réel de définition {D}.

2) Étudier sa continuité sur {D}.

3) Donner des équivalents aux extrémités de {D}.

1) Déterminer son domaine de définition.

2) Exprimer {f} à l’aide de {g(x)=1/x+\sum\limits_{k=1}^\infty1/(x(x+1)\cdots(x+k))}.

3) Donner un équivalent en {+\infty}.

4) Donner un équivalent en {0^+}.

5) Étudier la convergence uniforme de la série sur les parties du domaine.

1) Donner son domaine et étudier sa régularité.

2) Exprimer {f(x+1)} à l’aide de {f(x)} et de {x}.

Déterminer le domaine et un équivalent en {+\infty} de {f(x)=\sum\limits_{n=2}^\infty(\log n)^x/n^2}.

1) Montrer que les {u_n} sont bien définies.

2) Étudier leur convergence simple.

3) Pour {f_n=(-1)^n/u_n}, étudier la convergence simple de {(f_n)}.

4) Montrer que la somme de {\sum\limits_nf_n} est continue sur {[1,+\infty[}.

5) La série converge-t-elle normalement sur cet intervalle ?

1) Déterminer les modes de convergence de {\sum\limits_nu_n} sur {\mathbb{R}_+} et {\mathbb{R}_+^\star}.

2) Montrer que sa somme {S_\alpha} est continue sur {\mathbb{R}_+^\star}, et sur {\mathbb{R}_+} si {\alpha>1/2}.

3) Pour {\alpha\le1/2}, est-elle continue en {0} ?

1) Montrer que {f} est {C^1} sur {[0,1[}.

2) Donner un équivalent en {1}.

Déterminer le domaine de {f(x,y)=\sum\limits_{n=0}^\infty(x+y)^n/n^2}.

Est-elle continue ? De classe {C^1} ?

Pour {n\in\mathbb{N}}, on pose {f_n(x)=x^n\log x} sur {]0,1]} et {f_n(0)=0}.

Montrer que {f_n} converge uniformément vers zéro sur {[0,1]}.

1) pour tout {\varepsilon>0}, il existe des réels {a_0,\ldots,a_n} tels que {|f(x)-\sum\limits_{k=0}^na_ke^{-kx}|\le\varepsilon} pour tout {x\ge0} ;

2) {f} est continue sur {\mathbb{R}_+} et possède une limite finie à {+\infty}.

1) Montrer que {f} est convexe.

2) Pour {a\lt \alpha\lt \eta\lt b}, montrer l’existence de {K} tel que {|f_n(x)-f_n(y)|\le K|x-y|} sur {[\alpha,\eta]}, uniformément en {n}.

3) Montrer la convergence uniforme sur tout segment intérieur, mais pas nécessairement sur {[a,b]}.

Si {f} est continue sur {[a,b]}, montrer la convergence uniforme sur tout le segment.

1) Déterminer ses domaines de définition, de continuité et de dérivabilité.

2) Déterminer sa limite à {+\infty}, puis un équivalent simple.

1) Déterminer son domaine.

2) Déterminer sa limite à {+\infty}.

3) Donner un équivalent en {0^+}.

1) Montrer que {f(x)=\sum\limits_{n\ge1}\cos(nx)/n^{3/2}} est définie et continue sur {\mathbb{R}}.

2) Simplifier {\sum\limits_{k=0}^n\sin(kx)}.

3) Montrer que {f} est {C^1} sur tout segment inclus dans {\mathbb{R}\setminus2\pi\mathbb{Z}}.

1) Déterminer son domaine.

2) Étudier sa continuité et son caractère {C^1}.

3) Donner des équivalents en zéro, {1^-}, {1^+} et {+\infty}.

1) Montrer que {f} est bien définie, un-périodique et continue.

2) Montrer qu’elle se prolonge continûment sur {\mathbb{R}} et vérifie {4f(x)=f(x/2)+f((x+1)/2)}.

3) Montrer que {f=0} et en déduire {\sum\limits_{n\ge1}1/n^2=\pi^2/6}.

1) Déterminer le domaine.

2) Tracer une allure du graphe.

3) Étudier l’intégrabilité en {-\infty}.

1) Déterminer l’ensemble {\Delta_\lambda} des {s>0} où la série est définie.

2) Trouver sa limite quand {s\to\sup\Delta_\lambda}.

3) Donner un équivalent quand {s\to\inf\Delta_\lambda}.

4) Calculer {\int_0^1y^n(1-y)^{s-1}\,dy} et en déduire une représentation intégrale de {F_\lambda}.

Pour {\alpha>0}, donner un équivalent de {u_n=\sum\limits_{k=1}^nk^{\alpha n}}.

Soit {f\in C([0,T],\mathbb{C})} et, pour {n\geq1}, {\varphi_n(x)=\sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{k!} \int_0^Tf(t)e^{-nk(x-t)}\,dt.}Montrer que ces fonctions sont définies sur {\mathbb{R}} et étudier leur convergence simple.

Soit {a_n\geq0}, {\sum\limits a_n=1}, et {f(x)=\sum\limits_{n\geq0}a_nx^n}.

Montrer la continuité et la dérivabilité sur {[0,1[}, puis la continuité sur {[0,1]}.

Si {f} est dérivable à gauche en {1}, montrer que {f'} est croissante et bornée, que {\sum\limits_{n=0}^Nna_n\leq f'(1)}, puis {f'(1)=\sum\limits_{n\geq0}na_n}.

Pour {n\geq0}, soit {f_n(x)=x^ne^{-x}/n!} sur {\mathbb{R}_+}.

Étudier les convergences simple et uniforme, calculer {\int_0^\infty f_n} et commenter la limite des intégrales.

Sur {[0,1]}, définir {p_0=0} et {p_{n+1}=p_n+(x-p_n^2)/2}.

Montrer {p_n(x)\leq p_{n+1}(x)\leq\sqrt x}, déterminer la limite simple, puis montrer la convergence uniforme.

Soit {f_n(x)=x^ne^{-x}/n!}.

Étudier les convergences simple et uniforme, puis calculer {\int_0^\infty f_n} et sa limite.

Comparer avec les théorèmes d’intégration.

Pour {x>0}, on définit {f_0(x)=x} et {f_{n+1}(x)=\frac12\left(f_n(x)+\frac{x}{f_n(x)}\right).}Étudier la convergence simple puis uniforme de {(f_n)} sur {\mathbb{R}_+^\star}.

1) Étudier la convergence normale sur {\mathbb{R}_+} puis sur des intervalles appropriés.

2) Déterminer la limite de {f} en {+\infty}.

1) Donner son domaine de définition et montrer la continuité sur cet intervalle.

2) Donner ses limites et des équivalents aux bornes.

1) Montrer que {S} est définie sur {\mathbb{R}}.

2) La série converge-t-elle normalement sur {\mathbb{R}} ?

3) Montrer que {S} est {C^1}.

4) Trouver un équivalent en {0^+} ; on rappelle {\sum\limits_{n\geq1}1/n^2=\pi^2/6}.

5) Trouver la limite en {+\infty}.

6) La série converge-t-elle uniformément sur {\mathbb{R}} ?

1) Montrer que {(f_n)} converge simplement vers une fonction {g}.

2) Montrer que la convergence est uniforme sur {\mathbb{R}_+}.

3) Calculer {\int_0^\infty f_n} et sa limite. Pouvait-on s’attendre à ce résultat au regard du cours ?

Pour {n\in\mathbb{N}}, on pose {f_n(x)=\prod\limits_{k=0}^n(1+x^{2^k})}.

Déterminer les réels {x} pour lesquels {(f_n(x))} converge et expliciter sa limite.

1) Montrer que {P_n\to P} dans {E} entraîne la convergence simple sur {\mathbb{R}}.

2) Caractériser les parties {I} telles que la convergence simple sur {I} entraîne {P_n\to P} dans {E}, pour toute suite et tout {P\in E}.

3) Caractériser les parties {I} sur lesquelles la convergence uniforme équivaut à la convergence dans {E}.

1) Montrer la convergence simple de {\sum\limits u_n}.

2) Montrer que la convergence normale équivaut à celle de {\sum\limits_{n\geq1}a_n/n}.

3) Montrer que la convergence uniforme équivaut à {a_n\to0}.

1) Montrer que {f} est continue et {1}-périodique.

2) Montrer {f(x/2)+f((x+1)/2)=4f(x)}.

3) Montrer que toute fonction continue {g} sur {\mathbb{R}}, {1}-périodique, vérifiant cette identité est nulle.

4) Montrer que {f(x)-\pi^2/\sin^2(\pi x)} se prolonge continûment en {0}.

5) En déduire {f(x)=\pi^2/\sin^2(\pi x)}.

1) Si {M=0}, montrer que {f(x)=\alpha x}.

2) Montrer que {v_n(x)=2^{-n}f(2^nx)} converge uniformément vers une fonction continue {g}.

3) Montrer que {g} est l’unique application linéaire telle que {f-g} soit bornée.

Pour {n\geq1}, soit {u_n(x)=1/(n+n^2x^2)} et {f=\sum\limits_{n\geq1}u_n}.

Déterminer son domaine et sa parité, étudier la convergence normale, exprimer {\int_0^{+\infty}f} comme une série numérique, et donner limites et équivalents en {0} et en {+\infty}.

1) Démontrer {\log(1+x)=\sum\limits_{n\geq1}(-1)^{n+1}x^n/n} pour {x\in[0,1]}.

2) Étudier la convergence simple et uniforme sur {[0,1]} de {\sum\limits_{n\geq0}\left(x^{2n+1}/(2n+1)-x^{n+1}/(2n+2)\right)}.

Déterminer le domaine de {f(x)=\sum\limits_{n\geq2}xe^{-nx}/\log n}.

Montrer que {f} est {C^1} sur {\mathbb{R}_+^\star} et non dérivable en {0}.

Trouver une fonction {C^1} sur {]0,\infty[} telle que {f(x)+f(x+2)=1/x^2}.

Sur {[0,1]}, poser {P_0=0} et {P_{n+1}=P_n+(x-P_n^2)/2}.

Déterminer les degrés, puis étudier les convergences simple et uniforme.

Pour {n\geq2}, {x\geq0}, poser {f_n(x)=xe^{-nx}/\ln n}.

Étudier les convergences simple, normale et uniforme de {\sum\limits f_n}, la continuité de sa somme {f}, son caractère {C^1} sur {]0,\infty[}, sa dérivabilité en zéro, et {\lim_{x\to\infty}x^kf(x)} pour {k\in\mathbb{N}}.

Soit {f(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty1/(n+n^2x^2)}.

Déterminer son domaine et sa continuité, puis ses limites et équivalents en {+\infty} et en zéro.

Pour {a>0} et {x>0}, poser {f_a(x)=\sum\limits_{n\geq0}(-1)^n/(n+x)^a}.

Étudier les convergences simple et uniforme, montrer que {f_a} est l’unique fonction vérifiant {f_a(x)+f_a(x+1)=x^{-a}} et {f_a(+\infty)=0}, puis sa régularité, ses variations et ses équivalents en zéro et à l’infini.

Pour {f(x)=\sum\limits_{n\geq1}e^{-x\sqrt n}}, déterminer le domaine, puis limites et équivalents en {+\infty} et en zéro.

Pour {a>0}, poser {f(x)=\sum\limits_{n\geq1}\ln(1+a^2/(n^2x^2))}.

Déterminer le domaine, étudier la dérivabilité, puis donner limites et équivalents en {+\infty} et en {0^+}.

Pour {f(x)=\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}(x+n)^{-2}}, montrer sa définition sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}}, sa périodicité de période un et {f(x/2)+f((1-x)/2)=4f(x)}.

Montrer qu’une fonction continue {1}-périodique satisfaisant la même relation est nulle.

En déduire {f(x)=\pi^2/\sin^2(\pi x)}.

Pour {s} réel, poser {\zeta(s)=\sum\limits_{n\geq1}n^{-s}} et {\eta(s)=\sum\limits_{n\geq1}(-1)^{n-1}n^{-s}}.

Déterminer leurs domaines et leur continuité, calculer {\eta(1)}, relier {\eta} et {\zeta} pour {s>1}, puis étudier la régularité {C^1} et {C^\infty} de {\zeta}.

a) Pour {y\ge0}, montrer l’existence d’un unique {x\ge0} tel que {A_n(x)=y}, et poser {f_n(y)=x}.

b) Étudier la monotonie en {n} et la convergence simple.

c) Montrer {0\le f(y)\lt 1} pour {y\ge0}.

d) Montrer {f(y)=1-e^{-y}}.

a) Montrer qu’elle est définie sur {[0,1]}.

b) Montrer qu’elle y est continue et intégrable.

c) Calculer {\int_0^1f(x)dx}.

d) Montrer qu’elle est dérivable.

Est-elle {C^k} ?

a) Déterminer son domaine et sa continuité.

b) Donner limite et équivalent en {+\infty}.

c) Donner limite et équivalent en {0}.

Pour {F(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}e^{-n^2x^2}}, déterminer limites et équivalents en {0} et en {+\infty}.

a) Montrer que {f} est continue sur {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}} et {1}-périodique.

b) Montrer qu’elle vérifie {(*)}.

c) Si {g} est continue sur {\mathbb{R}}, {1}-périodique et vérifie {(*)}, montrer qu’elle est nulle.

e) Montrer {f(x)=\pi^2/\sin^2(\pi x)}.

Étudier la convergence uniforme de {\sum\limits_{k\ge0}e^{-x}x^k/k!}.

a) Montrer qu’elle est bien définie.

b) Déterminer les {\alpha} donnant une convergence normale sur {]0,\infty[}.

c) Donner limite et équivalent en {+\infty}.

d) Donner limite et équivalent en {0^+}.

a) Étudier la convergence simple.

b) Calculer {I_n} et sa limite.

c) Étudier la convergence uniforme.

d) Donner un développement à deux termes de {I_n}.

Pour {n\in\mathbb{N}}, {x\in[0,\pi/2]}, soient {f_n(x)=\sin^nx\cos x} et {g_n(x)=nf_n(x)}.

Étudier leurs convergences simple et uniforme.

1) Montrer la convergence uniforme sur {[0,1]}.

2) Y a-t-il convergence uniforme sur {[0,+\infty[} ?

Pour {n\geq1}, soit {f_n(x)=\ln(n+x)/(n^2+x^2)} sur {\mathbb{R}_+}.

Étudier les convergences simple, uniforme et normale de {\sum\limits f_n}.

1) Montrer sa définition et sa continuité sur {]0,+\infty[}.

2) Donner sa limite et un équivalent en {+\infty}.

1) Montrer que {f} est définie sur {\mathbb{R}^\star} et paire.

2) Montrer l’absence de convergence normale sur {\mathbb{R}^\star}.

3) Montrer l’intégrabilité sur {\mathbb{R}_+^\star} et donner l’intégrale comme série numérique.

4) Étudier sa monotonie sur {\mathbb{R}_+^\star}.

5) Donner limite et équivalent à l’infini.

6) Donner limite et équivalent en zéro.

1) Montrer la convergence simple de {\sum\limits u_n}.

2) Montrer que la convergence est normale si et seulement si {\sum\limits_{n\geq1}a_n/n} converge.

3) Montrer qu’elle est uniforme si et seulement si {a_n\to0}.

1) Pour {M=0}, montrer que {f(x)=\alpha x}.

2) Montrer que {v_n(x)=f(2^nx)/2^n} converge uniformément vers une fonction continue {g}, en considérant {\sum\limits(v_{n+1}-v_n)}.

3) Montrer que {g} est l’unique application linéaire telle que {f-g} soit bornée.