Comparer les valeurs d’adhérence de {(u_n)} et {(u_{\varphi(n)})}.

Montrer que l’une converge si et seulement si l’autre converge.

2) Si {(a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n)\to\ell}, que dire de {a_n/b_n} ?

Montrer que {f_n(x)=1} a une unique solution {x_n\geq0}.

Calculer {f_n(1+2/n)} et déterminer {\lim x_n}.

Avec {u_n=n(x_n-1)} et {h(x)=e^x(x-1)}, montrer {h(u_n)\to1}, puis {x_n=1+\alpha/n+o(1/n)}, où {h(\alpha)=1}.

Si {a_n\to\ell}, montrer {b_n^{-1}\sum\limits_{k\lt n}(b_{k+1}-b_k)a_k\to\ell}.

En déduire que {(a_{n+1}-a_n)/(b_{n+1}-b_n)\to\ell} implique {a_n/b_n\to\ell}.

La réciproque est-elle vraie ?

Montrer {b_n\in[0,1]} et construire une telle suite avec {b_n\to\ell} pour chaque {\ell\in[0,1]}.

Étudier sa convergence.

Pour {F(x)=\int_a^xdt/(t^2\log t)}, montrer {F(u_{n+1})-F(u_n)\to1}, puis donner des équivalents de {F(u_n)} et {u_n}.

Étudier sa monotonie et sa limite, puis donner un équivalent et un développement à deux termes.

2) si tous les termes sont au plus un, montrer sa convergence ;

3) étudier le cas général.

Montrer {a_n>0}, calculer {a_0,a_1}, puis montrer la décroissance et la limite nulle de {(a_n)}.

2) Montrer que {|f(x,y)-f(x',y')|\leq k\max(|x-x'|,|y-y'|)}.

3) Montrer {a_{n+2}\leq ka_n}, puis {a_n\leq Cq^n} pour des constantes {C} et {q\lt 1}.

4) Montrer que {(u_n)} converge et donner une propriété de sa limite.

2) Montrer que {(a_n)} est décroissante et de limite nulle.

Que dire de sa limite ?

Montrer que, pour {x} suffisamment petit, {(u_n)} converge.

Décrire les suites convergeant vers {a}.

Montrer que {u_n\to a} si et seulement si un terme appartient à cet intervalle.

2) La suite converge-t-elle ?

Si oui, trouver sa limite.

2) Montrer que {(a_n)} converge.

3) Montrer que {(u_n)} converge.

2) On suppose {u_0>0} et on pose {v_n=\log(u_n)/2^n}.

Montrer que {v_n\to\alpha\in\mathbb{R}} et que {0\le\alpha-v_n\le1/(2^nu_n)}.

Donner un équivalent de {u_n}.

3) Donner un équivalent de {u_n} lorsque {-1\lt u_0\lt 0}.

2) Trouver alors un équivalent de {\ell-u_n}, où {\ell} est sa limite.

3) Donner un équivalent de {u_n} lorsqu’elle diverge.

2) Montrer la convergence pour {a=1}.

3) Montrer {S_n=\sum\limits_{k=1}^nk!/n!\to1}.

2) Si les mêmes suites convergent pour les deux normes, montrer leur équivalence.

3) Sur {\mathbb{R}[X]}, poser {N_a(P)=|P(a)|+\int_0^1|P'|}.

Montrer l’équivalence de {N_a,N_b} pour {a,b\in[0,1]}.

4) Pour {P_n=X^n/2^n}, déterminer la convergence pour {N_a} et sa limite.

5) En déduire la non-équivalence si {0\le a\lt b}, {b>1}.

2) Pour la norme du maximum des coefficients sur {\mathbb{R}[X]}, {P_n=1+\sum\limits_{k=1}^nX^k/k} est de Cauchy mais ne converge pas.

3) Toute suite de Cauchy est bornée.

4) Une suite de Cauchy ayant une sous-suite convergente converge.

5) En dimension finie, convergence et propriété de Cauchy sont équivalentes.

2) Même question pour {x_n=ab^{2^n}}, {a,b>0}.

3) Montrer que {y_n} converge exactement lorsque {(x_n^{1/2^n})} est bornée.

Montrer qu’il y a deux solutions positives {u_n\lt v_n}, déterminer la limite de {u_n}, un équivalent de son écart à la limite et la divergence de {v_n}.

2) Pour {f_0=f}, {f_{n+1}=f\circ f_n}, préciser la limite de {f_n/n}.

3) Déterminer {f}.

Montrer qu’elle est définie, puis calculer {I_{n+1}+I_{n-1}} et trouver une récurrence.

Étudier les convergences simple et uniforme.

Montrer que {(x_n)} converge si et seulement si {(x_n+\lambda x_{n+1})} converge.

Trouver un équivalent de {a_n}.

Est-elle convergente ?

Montrer qu’elle prend une valeur négative et qu’elle n’est pas bornée.

Justifier l’existence, déterminer la limite et un équivalent de {x_n}.

Montrer {u_n\sim\sqrt n} et {u_n-\sqrt n\to1/2}.

Déterminer la limite de {u_n} et un équivalent de son écart à cette limite, puis la limite et un équivalent de {v_n}.

Déterminer sa limite et un développement asymptotique à deux termes.

Montrer sa convergence et calculer sa limite.

Montrer {u_n=\sum\limits_{k=0}^n(1-k/n)^n=\int_0^\infty f_n}, trouver la limite simple de {f_n}, la limite {\ell} de {u_n}, puis montrer que {n(\ell-u_n)} reste bornée.

Donner ses valeurs propres.

Calculer sa limite.

Déterminer la limite de {\ln x_n/\ln n}.

Étudier {(u_{n+1}/u_n)}. Indication : commencer par la limite de {u_n^{1/n}}.