Structures Algébriques — Mines-Ponts

Exercices corrigés des Mines-Ponts sur le thème « structures Algébriques », regroupés par filière.

MP–MPI


Exercice 1. (★★★) sous-groupes ; groupes cycliques ; ordre d’un élément
Pour {p} premier, soit {C_p=\left\{z\in\mathbb{C}^\star:z^{p^n}=1\text{ pour un }n\geq0\right\}}.

Montrer que c’est un sous-groupe infini et déterminer ses sous-groupes.

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Exercice 2. (★★) groupes cycliques ; groupes produits ; ordre d’un élément
Pour deux groupes cycliques {G,H}, donner une condition pour que {G\times H} soit cyclique.
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Exercice 3. (★★★) éléments inversibles ; groupes cycliques ; congruences
Calculer {|(\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z})^\times|} pour {n\geq1}, puis montrer que ce groupe est cyclique exactement pour {n\leq2}.
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Exercice 4. (★★) idéaux ; divisibilité ; décomposition en facteurs premiers
Pour un idéal {I} d’un anneau commutatif {A}, poser {\sqrt I=\left\{x:x^n\in I\text{ pour un }n\geq1\right\}}.

Montrer que c’est un idéal contenant {I} et déterminer les radicaux des idéaux de {\mathbb{Z}}.

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Exercice 5. (★★★) idéaux ; intégrité ; irréductibilité
Dans un anneau commutatif unitaire non nul, un idéal {I} est dit premier s’il est propre et si {ab\in I} implique {a\in I} ou {b\in I}.

Étudier cette propriété pour {\left\{0\right\}} et les idéaux de {\mathbb{Z}}, puis pour {(P)} dans {K[X]} lorsque {P} est irréductible.

Un idéal maximal est par définition propre.

Montrer que {\left\{0\right\}} est maximal exactement dans un corps, déterminer les maximaux de {\mathbb{Z}} et montrer qu’un maximal est premier.

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Exercice 6. (★★★) sous-groupes ; matrices par blocs ; projecteurs
Décrire les parties de {M_n(K)} qui sont des groupes pour la multiplication matricielle.
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Exercice 7. (★★) exponentielle de matrice ; sous-groupes ; morphismes
Pour {J=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}} et {A=\left\{\exp(xJ):x\in\mathbb{R}\right\}}, préciser la structure de {A} et calculer l’exponentielle.
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Exercice 8. (★★★★★) ordre d’un élément ; sous-groupes ; diagonalisation simultanée
Montrer que {GL_m(\mathbb{C})} et {GL_n(\mathbb{C})} sont isomorphes si et seulement si {m=n}.

Généraliser à un même corps {K} quelconque.

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Exercice 9. (★★★) Topologie des espaces vectoriels normés ; continuité de l’inversion ; sous-groupes
Soit {G} une partie non vide et compacte de {GL_n(\mathbb{C})}, stable par produit.

Montrer que {G} est un sous-groupe.

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Exercice 10. (★★★) exponentielle de matrice ; morphismes ; matrices orthogonales
Soit {u:\mathbb{R}\to SO_n(\mathbb{R})} de classe {C^1}.

Montrer que {u} est un morphisme de groupes si et seulement s’il existe une matrice antisymétrique {A} telle que {u(t)=e^{tA}}.

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Exercice 11. (★★) sous-groupes finis ; racines de l’unité
Déterminer les sous-groupes finis de {(\mathbb{C}^\star,\times)}.
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Exercice 12. (★★★) sous-groupes ; groupes cycliques ; ordre d’un élément
Pour un premier {p}, poser {C_p=\left\{z\in\mathbb{C}:\exists n\ge0, z^{p^n}=1\right\}}.

Montrer que c’est un sous-groupe infini de {\mathbb{C}^\star} et déterminer ses sous-groupes.

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Exercice 13. (★★) puissances ; commutation
Soit un groupe {G} et {k\in\mathbb{N}} tels que {(ab)^i=a^ib^i} pour {i=k,k+1,k+2} et tous {a,b\in G}.

Montrer que {G} est abélien.

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Exercice 14. (★★★) ordre d’un élément ; groupes cycliques ; groupes finis
Montrer qu’un groupe commutatif de cardinal {pq}, avec {p,q} premiers distincts, est cyclique.

Donner un contre-exemple sans commutativité.

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Exercice 15. (★★) sous-groupes ; borne inférieure ; densité
Montrer que {a\mathbb{Z}} est un sous-groupe additif de {\mathbb{R}}. Pour un sous-groupe non nul {G}, poser {a=\inf(G\cap\mathbb{R}_+^\star)}.

Justifier son existence ; montrer que {G=a\mathbb{Z}} si {a>0}, et que {G} est dense si {a=0}.

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Exercice 16. (★★) éléments inversibles ; sous-anneaux ; intégrité
Montrer que {\mathbb{Z}[i]=\left\{a+ib:a,b\in\mathbb{Z}\right\}} est un anneau intègre et déterminer ses inversibles.
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Exercice 17. (★★) idéaux ; divisibilité ; décomposition en facteurs premiers
Dans un anneau commutatif {A}, pour un idéal {I} poser {R(I)=\left\{x:\exists n\in\mathbb{N},\ x^n\in I\right\}}.

Montrer que {R(I)} est un idéal contenant {I}, que {R(I\cap J)=R(I)\cap R(J)} et {R(I)+R(J)\subset R(I+J)}. Pour {A=\mathbb{Z}}, caractériser les {n\ge1} tels que {R(n\mathbb{Z})=n\mathbb{Z}}.

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Exercice 18. (★★★) sous-groupes ; matrices par blocs ; projecteurs
Déterminer les parties {G\subset\mathcal M_n(\mathbb{C})} qui sont des groupes multiplicatifs sans être des sous-groupes de {GL_n(\mathbb{C})}.
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Exercice 19. (★★) sous-groupes finis ; trace ; projecteurs
Pour un sous-groupe fini {G\subset GL_n(\mathbb{C})}, montrer que {\sum\limits_{M\in G}\operatorname{tr}M} est un entier divisible par {|G|}.
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Exercice 20. (★★) idéaux bilatères ; matrices élémentaires
Déterminer les idéaux bilatères de {\mathcal M_n(\mathbb{R})}.
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Exercice 21. (★★) exponentielle de matrice ; morphismes ; fonctions hyperboliques
Pour {A_x=\left(\begin{smallmatrix}0&x\\[4pt]x&0\end{smallmatrix}\right)}, expliciter {e^{A_x}} et la structure de {\left\{e^{A_x}:x\in\mathbb{R}\right\}}.
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Exercice 22. (★★) sous-groupes ; groupes cycliques ; ordre d’un élément
Déterminer et dénombrer les sous-groupes de {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}.
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Exercice 23. (★★) ordre d’un élément ; sous-groupes ; groupes produits
Soit {G} un groupe fini non trivial tel que {g^2=e} pour tout {g}.
1) Montrer qu’il est abélien.

2) Si {H} est un sous-groupe strict et {a\notin H}, montrer que {H\cup aH} est un sous-groupe, réunion disjointe.

3) Montrer que {|G|} est une puissance de {2}.

4) Calculer le produit de tous ses éléments.

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Exercice 24. (★★★) relations d’équivalence ; cardinal ; cycles
Pour un groupe fini {G}, soit {p} la probabilité que deux éléments indépendants uniformes commutent.
1) Montrer {p>0} et caractériser {p=1}.

2) Calculer {p} pour {S_3} et {S_4}.

3) Montrer que la conjugaison définit une relation d’équivalence.

4) Si {s} est le nombre de classes de conjugaison, montrer {p=s/|G|}.

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Exercice 25. (★★) ordre d’un élément ; groupes cycliques ; PGCD
Dans un groupe abélien, soient {x,y} d’ordres respectifs {a,b\ge1} premiers entre eux.

Montrer que {xy} a ordre {ab}.

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Exercice 26. (★★) Élément neutre ; Loi de groupe ; Inverse
Soit {G} muni d’une loi associative, avec {xe=x} pour tout {x}, et pour tout {x} un élément {x'} tel que {xx'=e}.

Montrer que {G} est un groupe.

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Exercice 27. (★★) sous-groupes ; nilpotence ; algèbre K[u]
Pour {N\in M_n(\mathbb{C})} nilpotente, montrer que {G=\left\{P(N):P\in\mathbb{C}[X],\ P(0)=1\right\}} est un sous-groupe de {GL_n(\mathbb{C})}.
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Exercice 28. (★★★) sous-espaces stables ; sous-groupes ; diagonalisation
Soit {G\subset GL_n(\mathbb{R})} un sous-groupe dont chaque élément vérifie {M^2=I}.

Montrer qu’il est fini.

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Exercice 29. (★★★★) projecteurs ; morphismes d’algèbres ; changements de bases
Soit {f\in GL(M_n(\mathbb{R}))} linéaire et multiplicative.
1) Calculer {f(I)}.
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2) Pour {\Delta=\operatorname{diag}(1,\ldots,n)}, montrer {f(\Delta)=P\Delta P^{-1}}, puis {f(D)=PDP^{-1}} pour toute diagonale {D}.
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3) Expliciter {f}.
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Exercice 30. (★★★) endomorphismes définis positifs ; sous-anneaux ; familles génératrices
Soit {n\ge2}.
1) Déterminer le sous-espace vectoriel engendré par {S_n^{++}(\mathbb{R})}.
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2) Déterminer le plus petit sous-anneau de {M_n(\mathbb{R})} contenant {S_n^{++}(\mathbb{R})}.
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Exercice 31. (★★★) sous-groupes ; éléments propres ; normes subordonnées
Soit {E} un espace vectoriel normé complexe de dimension finie. On munit {\mathcal L(E)} de la norme subordonnée. Soit {G} un sous-groupe de {GL(E)} tel que {|||g-I|||\lt 1} pour tout {g\in G}.
1) Montrer que {\operatorname{Sp}(g)\subset\mathbb{U}} pour tout {g\in G}.
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2) Montrer que {\operatorname{Sp}(g)=\left\{1\right\}} pour tout {g\in G}.
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Exercice 32. (★★★★) formes linéaires ; dérivées partielles ; idéaux
Soient {A=C^\infty(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})} et {I=\left\{f\in A:f(0)=0\right\}}.
1) Montrer que {I} est un idéal et que chaque {f\in I} s’écrit {\sum\limits_{i=1}^nf_i\theta_i}, où {f_i\in A} et {\theta_i(x)=x_i}.

2) Déterminer les formes linéaires {\varphi\in A^\star} telles que {\varphi(fg)=f(0)\varphi(g)+g(0)\varphi(f)}.

3) Montrer qu’elles forment un sous-espace de dimension finie ; donner sa dimension.

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Exercice 33. (★★) morphismes ; groupes cycliques ; PGCD
Soient {m,n\in\mathbb{N}^\star}.

Déterminer les morphismes de groupes de {\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}} dans {\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}}.

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Exercice 34. (★★★) ordre d’un élément ; groupes finis ; dimension
Soient {p} premier et {G} un groupe fini d’ordre {2p}.

Montrer que {G} possède un élément d’ordre {p}.

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Exercice 35. (★★★) ordre d’un élément ; sous-groupes ; groupes finis
Soit {G} un groupe fini dont tous les éléments sauf le neutre ont ordre deux.
1) Montrer que {G} est abélien.
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2) Si {H} est un sous-groupe et {y\notin H}, montrer que {H\cup yH} est un sous-groupe et que cette union est disjointe.
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3) En déduire que {|G|} est une puissance de deux.
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4) Calculer le produit de tous les éléments de {G}.
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Exercice 36. (★★★) morphismes ; groupes produits ; bases
Soit {G} un groupe abélien fini dont l’ensemble des automorphismes a cardinal trois.
1) Montrer que {\varphi:x\mapsto x^{-1}} est un automorphisme, puis que {x^2=e} pour tout {x\in G}.
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2) Montrer que {G} possède un sous-groupe {V} d’ordre quatre et déterminer les automorphismes de {V}.
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3) Montrer que {G} est isomorphe à {V\times(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r} pour un {r\in\mathbb{N}}, et en déduire une absurdité.
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Exercice 37. (★★★) morphismes ; Espaces vectoriels et applications linéaires ; racines de l’unité
Soient {G} un groupe abélien fini et {\widehat G} l’ensemble des morphismes de groupes de {G} dans {(\mathbb{C}^\star,\times)}.
1) Montrer que {\widehat G} est un groupe fini.
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2) Si {\varphi\in\widehat G} est non trivial, montrer que {\sum\limits_{g\in G}\varphi(g)=0}.
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3) Montrer que {\widehat G} est une partie libre de l’espace vectoriel {\mathcal F(G,\mathbb{C})}.
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4) En déduire {|\widehat G|\le|G|}.
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Exercice 38. (★★) idéaux ; formule du binôme ; décomposition en facteurs premiers
Soit {I} un idéal d’un anneau commutatif {A}. On appelle radical de {I} l’ensemble {\sqrt I=\left\{x\in A:\exists n\in\mathbb{N},\ x^n\in I\right\}}.
1) Montrer que {\sqrt I} est un idéal contenant {I}.
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2) Déterminer les radicaux des idéaux de {\mathbb{Z}}.
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Exercice 39. (★★★) ordre d’un élément ; polynômes annulateurs ; trace
On pose {\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})=\left\{M\in\mathcal M_2(\mathbb{Z}):\det M=1\right\}}.
1) Vérifier que c’est un groupe.
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2) Quels sont les ordres finis possibles ?
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3) Existe-t-il une matrice d’ordre infini ?
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Exercice 40. (★★★) ordre d’un élément ; sous-groupes ; diagonalisation
Soit {H} un sous-groupe fini de {\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})} dont tous les éléments ont un spectre inclus dans {\left\{-1,1\right\}}.
1) Montrer que {H} est commutatif.
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2) Déterminer les valeurs possibles de son cardinal.
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Exercice 41. (★★★) sous-groupes ; nilpotence ; similitude
Soit {A\in\mathcal M_3(\mathbb{C})} et {G_A=\left\{c\in\mathbb{C}^\star:cA\text{ est semblable à }A\right\}}.
1) Montrer que {G_A} est un sous-groupe de {\mathbb{C}^\star}.
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2) Montrer que {G_A} est infini si et seulement si {A} est nilpotente, et qu’alors {G_A=\mathbb{C}^\star}.
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Exercice 42. (★★) sous-groupes ; théorème spectral ; bornitude
Soit {G} un sous-groupe borné de {\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {G\cap\mathcal S_n^{++}(\mathbb{R})=\left\{I_n\right\}}.

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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.