Nombres réels ou complexes — Mines-Ponts

Exercices corrigés des Mines-Ponts sur le thème « nombres réels ou complexes », regroupés par filière.

MP–MPI

Exercice 1. (★★) module ; conjugaison ; partie réelle

Soient

{z_1,\ldots,z_n}

complexes non nuls de même module et

{S=\sum\limits_kz_k}

Si ${|S|=|S-z_i|}$ pour chaque ${i}$ , calculer ${S\sum\limits_k1/z_k}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 2. (★★) racines de l’unité ; exponentielle complexe ; formule du binôme

Pour

{n\ge2}

, calculer

{S_n=\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom n{2k}(-3)^k}

{T_n=\sum\limits_{k=0}^{\lfloor n/3\rfloor}\binom n{3k}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 3. (★★) module et argument ; identités trigonométriques ; sommes et produits

Pour

{\alpha=e^{i\theta}}

, calculer

{\prod\limits_{k=0}^n(\alpha^{2^{-k}}+\overline\alpha^{,2^{-k}})}

, les puissances étant définies à partir de l’argument choisi

{\theta}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 4. (★★★★) module et conjugaison ; intégration terme à terme ; sommes géométriques

Soient

{r\ge0}

{v\in\mathbb{R}^2}

avec

{\lVert v\rVert\le r}

Montrer qu’il existe ${f\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R}^2)}$ , ${2\pi}$ -périodique, telle que ${\lVert f(x)\rVert=r}$ pour tout ${x}$ et ${(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}f=v}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

PSI

Exercice 1. (★) Identités trigonométriques ; Fonctions circulaires réciproques

Pour

{0\lt x\lt 4}

, poser

{w=\arcsin(x/2-1)+\pi/2}

Montrer ${\cos w=1-x/2}$ , la positivité de ${\cos(w/2),\sin(w/2)}$ , puis leurs valeurs ${\sqrt{4-x}/2,\sqrt x/2}$ .

En déduire ${w=2\arctan\sqrt{x/(4-x)}}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

PC

Exercice 1. (★★) Module et argument ; Limites ; Interprétation géométrique

Déterminer

{\lim_{n\to\infty} \left(\begin{smallmatrix}1&-\alpha/n\\[4pt]\alpha/n&1\end{smallmatrix}\right)^n}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 2. (★★★) formule de la tangente ; principe des tiroirs

Étant donnés treize réels, montrer qu’on peut en trouver deux, notés

{x,y}

, tels que

{0\leq(x-y)/(1+xy)\leq2-\sqrt3}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 3. (★) formules d'addition ; équations trigonométriques

Résoudre dans

{\mathbb{R}}

l’équation

{a\cos x+b\sin x=c}

, où

{a,b,c\in\mathbb{R}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 4. (★★★★) formules d'addition ; inégalités ; regroupement de sommes

Pour

{n\geq1}

, montrer

{\sum\limits_{k=0}^{n-1}|\cos k|\geq2n/5}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 5. (★★) équation du cercle ; paramétrage rationnel ; équation du second degré

Trouver les points du cercle unité à coordonnées rationnelles.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 6. (★★★) formule du binôme ; racines de l'unité ; commutation

Pour

{n\ge1}

, trouver toutes les

{A\in M_2(\mathbb{C})}

telles que

{A^n=\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&1\end{pmatrix}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 7. (★★) racines de l’unité ; combinaisons ; interprétation géométrique

Soit

{n\in\mathbb{N}^\star}

. Soient

{A,B,C}

trois points d’affixes dans

{\mathbb{U}_n}

, l’ensemble des racines

{n}

-ièmes de l’unité, formant un triangle non aplati.

1) Combien y a-t-il de tels triangles ?

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Combien sont rectangles ?

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 8. (★★★) module et argument ; conjugaison ; interprétation géométrique

Soit

{f(z)=1/(z-i)}

sur

{\mathbb{C}\setminus\left\{i\right\}}

1) Montrer que l’image d’une droite ne passant pas par

{i}

est un cercle privé de l’origine.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Généraliser à

{f(z)=(z-a)/(z-b)}

, avec

{a\ne b}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 9. (★★★★) module et argument ; exponentielle complexe ; degré

Déterminer les

{P\in\mathbb{C}[X]}

tels que

{P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 10. (★★★★) valeurs intermédiaires ; exponentielle complexe ; injections, surjections et bijections

Soient

{(a,b)\in\mathbb{R}\times]-\pi,\pi]}

{v_{a,b}(t)=t+e^{a-(b-t)\cot t}\sin t,\quad -2\pi\lt t\lt -\pi.}

1) Montrer qu’il existe

{y\in]-2\pi,-\pi]}

tel que

{v_{a,b}(y)=b}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) En déduire que le système

{x+e^x\cos y=a}

{y-e^x\sin y=b}

admet une solution.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

3) Montrer que

{z\mapsto ze^z}

est surjective sur

{\mathbb{C}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

MP–MPI

PSI

PC

Retour aux planches par thème