Convexité, Optimisation — Polytechnique

Exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « convexité, Optimisation », regroupés par filière.

MP–MPI

Exercice 1. (★★★★) Extremums globaux ; Théorème spectral ; Formes quadratiques

Soient

{E}

euclidien et

{f\in S(E)}

Poser ${\Phi(v)=\lVert f(v)\rVert^2-\langle f(v),v\rangle^2}$ .

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ${\Phi}$ admette un extremum.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 2. (★★★) Projection orthogonale ; Approximation trigonométrique ; Distance à un sous-espace

Soient

{n\ge1}

{f\in C^0([0,2\pi],\mathbb{R})}

a) Montrer que

{H_n(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)= \int_0^{2\pi}\left(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos kt+b_k\sin kt)-f(t)\right)^2dt}

admet un unique minimum ; donner les coefficients minimisants.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Déterminer la limite de

{\min H_n}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 3. (★★★) Aire d'un triangle ; Extremums globaux ; Bornes atteintes

Dans le carré de sommets

{\left\{0,1\right\}\times\left\{0,1\right\}}

, on choisit

{A,B,C}

a) Montrer qu’il existe une disposition maximisant l’aire de

{ABC}

b) Caractériser les dispositions maximisantes.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 4. (★★★★★) Permutations ; Combinaisons convexes ; Récurrence

Soit

{n\ge2}

. Une matrice bistochastique a des coefficients positifs ou nuls et toutes ses sommes de lignes et de colonnes égales à un ; soit

{B_n}

leur ensemble. Pour

{\sigma\in\mathfrak S_n}

, soit

{P_\sigma=(\delta_{i,\sigma(j)})}

a) Montrer que

{B_n}

est convexe. Un élément est extrémal s’il ne s’écrit pas comme combinaison convexe à poids strictement positifs de deux éléments distincts.

b) Montrer que les matrices de permutation sont extrémales.

c) Pour ${M\in B_n}$ , posons ${F(I)=\left\{i:\exists j\in I,m_{ij}>0\right\}}$ .

i) Montrer ${|F(I)|\ge|I|}$ .

ii) Trouver une permutation ${f}$ avec ${m_{i,f(i)}>0}$ pour tout ${i}$ .

iii) Déterminer tous les points extrémaux.

e) Montrer que ${B_n}$ est l’enveloppe convexe des matrices de permutation.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 5. (★★★) Minimum global ; Inégalités de convexité ; Homogénéité

Soient

{p,q>0}

avec

{1/p+1/q=1}

Montrer, pour des réels ${a_i,b_i\ge0}$ , ${\sum_{i=1}^na_ib_i\le\left(\sum_ia_i^p\right)^{1/p}\left(\sum_ib_i^q\right)^{1/q}.}$

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

PSI

Exercice 1. (★★★) parties convexes ; parties compactes ; composition d’endomorphismes

Soient

{E}

réel de dimension finie,

{u\in\mathcal L(E)}

{K\subset E}

convexe non vide. Posons

{S_n=n^{-1}\sum\limits_{k=0}^{n-1}u^k}

a) Montrer

{S_n(K)\subset K}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Montrer

{(S_1\cdots S_n)(K)\subset\bigcap_{k=1}^nS_k(K)}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

c) Si

{K}

est compact et

{\lVert u(x)\rVert\le\lVert x\rVert}

, montrer que tout point de

{\bigcap_{n\ge1}S_n(K)}

est fixe par

{u}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

PC

Exercice 1. (★★) Continuité ; Inégalités de convexité ; Extremums globaux

Sur le simplexe

{\Delta=\left\{(p_1,\ldots,p_n):p_i\geq0,\ \sum\limits p_i=1\right\}}

, poser

{H(p)=-\sum\limits_i p_i\log p_i}

, avec

{0\log0=0}

Déterminer l’image pour ${n=2}$ , puis ${n=3}$ , et enfin pour tout ${n}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 2. (★★) Inégalité de convexité ; Extremums ; Identités trigonométriques

Déterminer le périmètre maximal d’un triangle inscrit dans le cercle unité.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 3. (★★★★) inégalités de convexité ; applications lipschitziennes ; continuité

Montrer qu’une fonction convexe

{f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}}

est continue.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 4. (★★★) inégalités de convexité ; caractérisation par les dérivées

Pour

{k\ge1}

{x_1,\ldots,x_k>0}

, montrer

{\prod\limits_{i=1}^k(1+x_i^k)\ge(1+\prod\limits_{i=1}^kx_i)^k}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

MP–MPI

PSI

PC

Retour aux planches par thème