Quel est le nombre moyen de points fixes d’une permutation uniforme de {\left\{1,\ldots,n\right\}} ?

1) Si {L_n} est la longueur du cycle contenant {1}, calculer son espérance.

2) Pour {n\ge2}, calculer la probabilité que {1,2} soient dans le même cycle.

3) Si {c_n} est le nombre total de cycles, montrer que {\mathbb E(c_n)\sim\ln n}.

a) Calculer {\mathbb E(\operatorname{rg}f)}.

b) Si {\mu_z} est la multiplicité de {z} comme valeur propre, calculer {\mathbb E(\mu_z)}.

a) Montrer que {f_a(x)\le1} pour tout {x\in\mathbb{R}}.

b) Si {X} est réelle centrée avec un moment d’ordre {2}, montrer {\mathbb E(|c+X|^a)\le2^aE(|X|^a)+|c|^a} pour tout {c}.

c) Pour des {X_i} i.i.d. centrées de moment d’ordre {2}, montrer {\mathbb E(|\sum\limits_{i=1}^nX_i|^a)\le2^a\sum\limits_{i=1}^nE(|X_i|^a)}.

a) Calculer {\mathbb E(T_N)}.

b) Calculer {V(T_N)}.

c) Montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, {P(|T_N/(N\ln N)-1|\ge\varepsilon)\to0}.

a) Montrer {\mathbb E((X_1+\cdots+X_n)^4)=O(n^2)}.

b) Pour {\varepsilon>0}, étudier la série de terme général {P((X_1+\cdots+X_n)/n>\varepsilon)}.

Pour une permutation uniforme de {\left\{1,\ldots,n\right\}}, déterminer l’espérance et la variance du nombre de points fixes.

On lance une pièce, avec probabilité {p\in]0,1[} de pile. On découpe les lancers en séquences maximales de résultats identiques.

Déterminer l’espérance de la longueur de la deuxième séquence.

[MPI] On tire successivement, uniformément sans remise, les {2n} chaussettes constituant {n} paires, jusqu’à obtenir une paire complète.

Calculer l’espérance du nombre {T} de chaussettes tirées. Indication : établir probabilistiquement {\sum\limits_{k=n}^{2n}\binom kn2^{-k}=1}.

a) Pour {X\sim\mathcal P(\lambda)}, calculer {\mathbb E(X(X-1)\cdots(X-p+1))}, {\mathbb E(1/(X+1))}, {\mathbb E(1/(X+2))}.

b) Une {p}-partition d’un ensemble {A} de cardinal {n} est une partition en {p} blocs non vides. Pour une partition fixée {F} et un ensemble {B} de cardinal {m}, compter les applications {A\to B} dont les fibres non vides sont exactement les blocs de {F}.

c) En déduire une expression en série du nombre de partitions de {A}.

[MPI] Soit {X} discrète positive ou nulle, de second moment fini strictement positif.

Montrer, pour {t>0}, {\mathbb{P}(X-\mathbb E(X)\le-t)\le\exp\left(-\frac{t^2}{\mathbb E(X^2)}\right).}

a) Montrer que {T_n} a une limite dans {[0,\infty]} pour chaque trajectoire.

b) Trouver {C>0} et {n_k} strictement croissants avec {n_{k+1}\ge2n_k} et {\mathbb{P}(S_{n_k}>2n_k\mathbb E(X_1))\le C/2^k}.

c) Montrer {T_n\to\infty} presque sûrement.

d) Montrer {V(T_n)\le\sum\limits_{i=1}^n\mathbb E(1/S_i^2)}.

a) Montrer {\mathbb E(\lVert S_n\rVert^2)=n\mathbb E(\lVert X\rVert^2)} et {\mathbb{P}(S_{2n}=0)=\sum\limits_x\mathbb{P}(S_n=x)^2}.

b) Montrer {\mathbb{P}(S_{2n}=0)\ge c/n} pour une constante {c>0}.

c) Montrer que le retour à zéro à un temps strictement positif est presque sûr.

a) Calculer {\mathbb E(N_n)} et {V(N_n)}.

c) Montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, {P(|N_n/(n\ln n)-1|>\varepsilon)\to0}.

Soit {X\sim\mathcal G(p)} sur {\mathbb{N}^\star}. Conditionnellement à {X=N}, supposons {Y\sim\mathcal B(N,p)}.

Déterminer {\mathbb E(Y)}.

Soit {A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{R})}, où les {a_{ij}} sont indépendantes, uniformes sur {\left\{-1,1\right\}}.

Déterminer {\mathbb E(\det A)} et {V(\det A)}.

Soit {Y} à support fini dans {\mathbb{R}_+}.

Déterminer quand {\mathbb E(Y^{1/2^n})=(\mathbb E(Y))^{1/2^n}} pour tout entier naturel {n}.

On tire {1\le n\le N} jetons sans remise parmi ceux numérotés de {1} à {N}.

Si {Z_n} est le plus grand numéro tiré, calculer {\mathbb E(Z_n)}.

a) Calculer son espérance.

b) En donner la limite.

c) Trouver {\alpha} telle que {\mathbb{P}(|Y_n-\alpha|>\varepsilon)\to0} pour tout {\varepsilon>0}.

Pour une variable aléatoire réelle sur un espace probabilisé fini, montrer {(\mathbb E(X))^{2n}\leq \mathbb E(X^{2n})} pour {n\in\mathbb{N}}.

Étudier l’égalité.

On lance une pièce équilibrée jusqu’au premier Pile, de rang {N}, puis on choisit {X} uniformément dans {\left\{1,\ldots,N\right\}}.

Calculer {\mathbb{P}(X=1)}, {\mathbb E(X)} et {V(X)}.

Soit {X_1,\ldots,X_n} de même loi à valeurs dans {\mathbb{N}}, indépendantes deux à deux, et {T} indépendante des {X_i}, à valeurs dans {\left\{1,\ldots,n\right\}}.

Calculer l’espérance de {Y=\sum\limits_{i=1}^TX_i}.

Soit {X} à valeurs dans {\left\{1,\ldots,n\right\}}, avec {x_i=\mathbb{P}(X=i)}. On pose {H(X)=\mathbb E(-\log X)}.

Quel {n}-uplet {(x_1,\ldots,x_n)} maximise cette quantité ?

1) Calculer son espérance et sa variance.

2) Pour {T=\min\left\{n:S_n=1\right\}}, calculer la fonction génératrice puis la loi.

Soit {0\lt p\lt 1} et {X_0=0}. À chaque étape, conditionnellement au passé, {X_{n+1}=X_n+1} avec probabilité {p}, et {X_{n+1}=0} sinon.

Déterminer la loi, l’espérance et la variance de {X_n}.

1) On dit que {X} est centrée lorsque {\mathbb E(X)=0}.

Montrer que, si {X} est centrée, alors {\operatorname{rg}(V_1,\ldots,V_m)\lt m}.

2) On dit que {X} est centrée-réduite lorsque {\mathbb E(X)=0} et que la matrice de covariance {(\operatorname{Cov}(X_i,X_j))_{1\le i,j\le n}} est {I_n}.

Montrer que, si {X} est centrée-réduite, alors {m>n}.

3) On suppose {m=n+1}.

Montrer que {X} est centrée-réduite si et seulement si, pour {i\ne j}, {\langle V_i,V_j\rangle=-1}, et, pour tout {i}, {p_i=1/(\lVert V_i\rVert^2+1)}.