Soit {f\in\mathcal C^\infty(\mathbb{R})} telle que {f(0)=0}.

Montrer qu’il existe {g\in\mathcal C^\infty(\mathbb{R})} telle que {f(t)=tg(t)}.

1) Montrer l’existence et l’unicité d’une fonction dérivable {v:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+} telle que {v(0)=0} et {v'(t)=\int_0^1(v(tx)+1-v(t))\,dx}.

2) Supposons maintenant {v'(t)=\int_0^1\max(0,v(tx)+1-v(t))\,dx}, {v(0)=0}.

Justifier l’existence de {a=\max\left\{t\ge0:v(t)\le1\right\}}.

Pour {t\ge a}, montrer l’existence et l’unicité d’un réel positif {f(t)} tel que {v(f(t))+1=v(t)}.

3) En admettant {f} dérivable sur {(a,\infty)} et {f'(t)v'(f(t))=v'(t)}, montrer que {v} est de classe {\mathcal C^2} sur {\mathbb{R}_+}.

1) Montrer que {h_k(x)=(-1)^ke^{x^2/2}(d^k/dx^k)e^{-x^2}}.

2) Montrer que {H_k(x)=e^{x^2/2}h_k(x)} est un polynôme de degré au plus {k}.

3) Exprimer {\widehat h_k(\xi)=\int_\mathbb{R}h_k(x)e^{-ix\xi}\,dx} à l’aide de {h_k}.

Soient {u,v\in\mathbb{R}} et {r\ge0} avec {r\notin\left\{|u|,|v|\right\}}. Calculer {I_r(u,v)=\int_0^{2\pi}\frac{d\theta}{(u-re^{i\theta})(v-re^{i\theta})}.}

a) Donner un équivalent en {+\infty}.

b) Si {f} est {C^1}, majorer l’écart avec cet équivalent.

c) Que peut-on préciser si {f} est {C^2} ?

Déterminer un équivalent, lorsque {x\to1^-}, de {I(x)=\int_0^1\frac{dt}{\sqrt{(1-t^2)(1-xt^2)}}.}

Calculer {f(x)=\int_{\mathbb{R}}e^{ixt}/(1+t^2)\,dt}.

a) Montrer que {T_Kf(x)=\int_0^1K(x,y)f(y)\,dy} est un endomorphisme continu pour la norme uniforme.

b) Si {K>0}, {\lambda>0} et l’espace propre {E_\lambda(T_K)} contient une fonction non nulle positive ou nulle, montrer qu’il est de dimension un.

a) Montrer {v_k=u_k} pour {1\le k\le m}.

b) Donner un équivalent de {W_m=m\int_0^1\frac{(1+x)^m}x((1+x)^m-(1-x)^m)\,dx}.

Déterminer un équivalent de {\int_0^\infty(te^{-t})^x\,dt} lorsque {x\to+\infty}.

a) Pour {\lambda\ge0}, déterminer {\lim_n\mathbb E(e^{-\lambda S_n/n})}.

b) Montrer qu’il existe une unique fonction continue {f} sur {\mathbb{R}_+^\star}, dérivable après un, avec {f=1} sur {]0,1]} et {xf'(x)+f(x-1)=0} pour {x>1} ; montrer qu’elle est strictement positive et tend vers zéro.

c) Pour {\phi(\lambda)=\int_0^\infty e^{-\lambda t}f(t)\,dt}, montrer que la limite de a) vaut {e^{-k}\phi(\lambda)} pour un {k>0}.

Pour {a\geq1}, justifier et calculer {I(a)=\int_0^{\pi/2}\log(a^2-\cos^2t)\,dt}.

Pour {x\geq0}, justifier et calculer {I(x)=\int_0^\infty(\sin t/t)^2e^{-xt}\,dt}.

Pour {x\in\mathbb{R}}, justifier et calculer {J(x)=\int_0^\infty\arctan(xt)\,dt/(t(1+t^2))}.

1) {\widehat f=0} sur {[-b,b]} ;

2) {\widehat f=0} hors de {[-b,b]}.

1) Montrer que, pour {x>0}, {e^{-x^2}\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt=\int_0^{+\infty}xe^{-x^2(1+s^2)}\,ds.}

2) En déduire la valeur de {\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt}.

3) Calculer {\int_0^{+\infty}\cos(t^2)\,dt}.

1) Montrer que {\widehat f} est définie et continue sur {\mathbb{R}}.

2) Pour {N\in\mathbb{N}} et {x\in\mathbb{R}}, montrer que {\frac1{N+1}\sum_{k=0}^N\sum_{j=-k}^ke^{ijx} =\sum_{j=-N}^N\left(1-\frac{|j|}{N+1}\right)e^{ijx} =\frac1{N+1}\left(\frac{\sin((N+1)x/2)}{\sin(x/2)}\right)^2.}

3) Pour {N\in\mathbb{N}} et {k\in\mathbb{Z}}, montrer que {\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\frac1{2N+2} \left(\frac{\sin((N+1)x)}{\sin(x/2)}\right)^2e^{-ikx}\,dx =\left(1-\frac{|k|}{2N+2}\right)_+.}

4) Montrer que, uniformément en {k\in\mathbb{Z}}, la différence {\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\frac1{2N+2} \left(\frac{\sin((N+1)x)}{\sin(x/2)}\right)^2e^{-ikx}\,dx -\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\frac1{2N+2} \left(\frac{\sin((N+1)x)}{x/2}\right)^2e^{-ikx}\,dx}tend vers zéro lorsque {N\to+\infty}.

En déduire {\widehat f(\xi)=\pi(1-|\xi|/2)_+}.