Intégration sur un segment — Polytechnique

Exercices corrigés de Polytechnique sur le thème « intégration sur un segment », regroupés par filière.

MP–MPI

Exercice 1. (★★★★) Intégration par parties ; Majoration d'intégrales ; Norme d'opérateur

Soit

{E=\left\{f\in\mathcal C([0,1],\mathbb{R}):\int_0^1f=0\right\}}

{A(f)(x)=\int_0^xf(t)\,dt+\int_0^1tf(t)\,dt.}

1) Montrer que

{A(f)\in E}

et qu’il existe

{C>0}

tel que

{\lVert A(f)\rVert_\infty\le C\lVert f\rVert_\infty}

2) Déterminer la constante optimale.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 2. (★★★★) Cauchy-Schwarz ; Intégration d'exponentielles ; Dérivées successives

Soient

{0\lt \xi_1\lt \cdots\lt \xi_n}

{a_k\ne0}

, et

{f(t)=\sum\limits_{k=1}^na_k\sin(\xi_kt)}

. Supposons les

{\lVert f^{(N)}\rVert_\infty}

uniformément bornées,

{f'(0)=1}

{\lVert f\rVert_\infty\le1}

1) Montrer que

{\xi_n\le1}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Pour

{g=\sum\limits_{k=1}^na_k\mathbf1_{[-\xi_k,\xi_k]}}

, montrer que

{f(t)/t=\frac12\int_{-1}^1g(x)e^{itx}\,dx}

pour

{t\ne0}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

3) En utilisant Parseval sur

{[-1,1]}

{\sum\limits_{j\ge1}j^{-2}=\pi^2/6}

, montrer que

{\frac12\int_{-1}^1|g|^2\le1}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

4) En déduire

{f=\sin}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 3. (★★★) Fonctions d’une variable réelle ; Majoration d'intégrales ; Théorème fondamental

1) Montrer qu’il existe une unique fonction continue

{v:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+}

telle que

{v(0)=0}

{v'(t)=\int_0^1v(tx)\,dx-v(t)}

pour

{t\ge0}

2) Déterminer sa régularité et dire si elle est développable en série entière.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 4. (★★) Changement de variable ; Identités trigonométriques ; Symétrie

Calculer

{\int_0^1\ln(1+t)/(1+t^2)\,dt}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 5. (★★★★) Coefficients binomiaux ; Exponentielle complexe ; Réindexation

Pour

{n\in\mathbb{N}}

, poser

{I_n=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\binom nk^3}

a) Si

{n}

est impair, montrer

{I_n=0}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Si

{n}

est multiple de

{4}

, montrer

{I_n>0}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

c) Montrer

{I_{2n}=\frac{(-1)^n4^{3n-1}}{\pi^2} \int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin^{2n}x\sin^{2n}y\sin^{2n}(x+y)\,dx\,dy.}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 6. (★★) Positivité de l'intégrale ; Inégalités

Soit

{f:[0,1]\to[-a,b]}

continue, avec

{a,b\ge0}

{\int_0^1f(t)\,dt=0}

Montrer que ${\int_0^1f(t)^2\,dt\le ab}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 7. (★★★★) Intégration par parties ; Dérivation sous le signe intégral ; Irrationalité

Pour

{r\in\mathbb{R}}

{n\ge0}

, posons

{D_n(r)=\int_{-1}^1(1-x^2)^n\cos(rx)\,dx}

1) Montrer qu’il existe

{P_n,Q_n\in\mathbb{Z}[X]}

, de degrés au plus

{n}

, tels que

{D_n(r)=\frac{n!}{r^{2n+1}}(P_n(r)\cos r+Q_n(r)\sin r).}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) En déduire que

{\pi}

est irrationnel.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 8. (★★★★) Espaces vectoriels normés ; Sommes de Riemann ; Inégalité de Cauchy-Schwarz

1) Pour deux segments

{I,J}

{f:I\times J\to\mathbb{R}}

continue, montrer l’existence et l’égalité des intégrales itérées dans les deux ordres.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Pour

{0\lt \alpha\lt 1}

, montrer que

{\lVert f\rVert_\alpha^2=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} \frac{|f(x)-f(y)|^2}{|x-y|^{1+2\alpha}}\,dy\,dx}

définit une norme sur

{\left\{f\in C^1(\mathbb{R}):(f,f')\in L^2(\mathbb{R})^2\right\}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 9. (★★★★) Monotonie ; Inégalités différentielles ; Croissance comparée

1) Soit

{x}

de classe

{C^1}

près de

{+\infty}

, avec

{x(t)>0}

{x'(t)+\lambda x(t-\tau)\le0}

pour

{t}

assez grand, où

{\lambda,\tau>0}

Montrer ${x(t-\tau)\le4x(t)/(\lambda\tau)^2}$ pour ${t}$ assez grand.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Soit

{x\in C^1(\mathbb{R})}

satisfaisant

{x'(t)+\sum_{i=1}^n\lambda_ix'(t-\tau_i) +\sum_{j=1}^m\mu_jx(t-\sigma_j)=0,}

avec

{\tau_i>0}

{\sigma_j\ge0}

, et coefficients réels.

Montrer qu’il existe ${c,K}$ tels que ${|x'(t)|\le Ke^{ct}}$ près de ${+\infty}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 10. (★★★★) Dérivation d'une composée ; Primitives ; Dérivées partielles

Soient

{u_0,u_1\in C^\infty(\mathbb{R})}

Déterminer les fonctions ${u\in C^\infty(\mathbb{R}^2)}$ satisfaisant ${u_{xx}-u_{tt}=u_x^2-u_t^2,\qquad u(0,x)=u_0(x),\quad u_t(0,x)=u_1(x).}$ On pourra utiliser une fonction composée convenable.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 11. (★★★) Changement de variable ; Racines multiples ; Positivité et majorations

Soit

{P}

réel de degré

{6}

. Une droite est tangente à son graphe en trois points

{A,B,C}

d’abscisses

{a\lt b\lt c}

1) Si

{AB=BC}

, montrer que les aires comprises entre le graphe et les segments

{[AB]}

{[BC]}

sont égales.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Posons

{q=BC/AB}

{Q=A_1/A_2}

, où

{A_1}

est l’aire sur

{[BC]}

{A_2}

celle sur

{[AB]}

Montrer ${(2/7)q^5\le Q\le(7/2)q^5}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 12. (★★★) Changement de variable ; Minimum global ; Fonctions réciproques

[MPI] Soit

{f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+}

une bijection

{C^1}

, d’inverse

{g}

a) Montrer

{\int_0^xf(t)\,dt+\int_0^{f(x)}g(t)\,dt=xf(x)}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) En déduire

{xy\le\int_0^xf+\int_0^yg}

pour

{x,y\ge0}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 13. (★★★★) Changement de variable ; Périodicité ; Théorème chinois

Soit

{f}

{1}

-périodique, définie sur

{[0,1[}

par

{f(x)=x-1/2}

Pour ${i,j\ge1}$ , calculer ${\int_0^1f(ix)f(jx)\,dx}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 14. (★★★★) Intégration par parties ; Développement binomial ; Produit de Cauchy

[MPI]

a) Calculer

{u_0=1}

{u_{n+1}=\sum\limits_{k=0}^nu_ku_{n-k}}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Pour

{I_n=\int_{-2}^2x^{2n}\sqrt{4-x^2}\,dx}

, trouver

{c>0}

tel que

{u_n=cI_n}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

PSI

Exercice 1. (★★★) Majoration d’intégrales ; Premier ordre

Soit

{f\in\mathcal C^1([0,1],\mathbb{R})}

telle que

{f(0)=0}

{f(1)=1}

Montrer que ${\int_0^1|f(t)-f'(t)|\,dt\ge e^{-1}}$ et que cette minoration est optimale.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 2. (★★) Continuité ; Majoration d’intégrales

Soit

{f:[0,1]\to\mathbb{R}}

continue.

Montrer que ${n\int_0^1t^nf(t)\,dt\to f(1)}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 3. (★★★) dérivation d’une intégrale ; conditions initiales ; équations du second ordre

Déterminer les fonctions continues

{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}

telles que

{f(x)f(y)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)\,dt}

pour tous

{x,y}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 4. (★★) limite sous l’intégrale ; changement de variable ; continuité

Soit

{f\in C^0([0,\pi/2],\mathbb{R})}

Déterminer la limite de ${I_n=(n+1)\int_0^{\pi/2}xf(x)\cos^n x\,dx}$ . On pourra considérer ${(n+1)\int_0^{\pi/2}\sin x\cos^n x\,dx}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 5. (★★★) Intégration sur un intervalle quelconque ; approximation par fonctions en escalier ; changement de variable

Soit

{f\in L^1(\mathbb{R})}

{F(x)=\int_{\mathbb{R}}f(t)e^{it^2x}\,dt}

Montrer que ${F}$ est définie et tend vers ${0}$ en ${+\infty}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 6. (★★★) sommes de Riemann ; continuité uniforme

Soit

{f:\mathbb{R}[X]\to\mathbb{R}[X]}

{f(P)(X)=\frac12(P((X+1)/2)+P(X/2))}

Pour ${a\in\mathbb{R}}$ , déterminer ${\lim_{n\to\infty}f^n(P)(a)}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

PC

Exercice 1. (★★★) théorème de Rolle ; majoration d'intégrales ; dérivées successives

Soit

{g\in C^3([0,2],\mathbb{R})}

, nulle en

{0,1,2}

1) Montrer que pour chaque

{x\in[0,2]}

il existe

{c\in[0,2]}

tel que

{g(x)=x(x-1)(x-2)g'''(c)/6}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Montrer que

{\int_0^2|g|\le\lVert g'''\rVert_\infty/12}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

3) Montrer que

{|\int_0^2g|\le(\sup g'''-\inf g''')/24}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 2. (★★★) positivité de l'intégrale ; inégalités intégrales

Pour

{f,g\in C([a,b],\mathbb{R}_+^\star)}

, poser

{m=\inf f/g}

{M=\sup f/g}

Montrer ${\left(\int f^2\right)\left(\int g^2\right) \le (M+m)^2\left(\int fg\right)^2/(4Mm)}$ , les intégrales étant prises sur ${[a,b]}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 3. (★★) intégrales dépendant d'un paramètre ; inégalités intégrales

Soient

{K:[0,1]^2\to\mathbb{R}}

{f,g:[0,1]\to\mathbb{R}}

continues, telles que

{f(x)=\int_0^1K(x,z)g(z)dz}

{g(x)=\int_0^1K(x,z)f(z)dz}

Montrer que ${f=g}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 4. (★★★★) convergence uniforme ; continuité uniforme ; intégrales dépendant d'un paramètre

Sur

{E=C([0,1],\mathbb{R})}

, définir

{Tf(0)=f(0)}

{Tf(x)=x^{-1}\int_0^xf(t)dt}

pour

{x>0}

Montrer que ${T:E\to E}$ est bien défini.

Si ${f}$ est nulle sur ${[0,\varepsilon]}$ , montrer que ${T^nf\to0}$ uniformément.

Étudier ${T^nf}$ pour une fonction continue quelconque.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 5. (★★★) continuité ; théorème fondamental ; densité

Déterminer les fonctions continues

{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}

telles que

{f((a+b)/2)=(b-a)^{-1}\int_a^bf(t)\,dt}

pour tous

{a\lt b}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 6. (★★★★) exponentielle complexe ; positivité et majorations ; sommes et produits

Soit

{f\in C^0([0,2\pi],\mathbb{R})}

avec

{f(0)=f(2\pi)}

. On suppose que, pour

{0\le k\le n}

{\int_0^{2\pi}f(t)\sin(kt)\,dt=\int_0^{2\pi}f(t)\cos(kt)\,dt=0}

Quel est le nombre minimal d’annulations de ${f}$ ?

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 7. (★★★★) intégration par parties ; intégration terme à terme ; domination et négligeabilité

Pour

{x>0}

, posons

{I(x)=\int_0^{\pi/2}\cos(x\cos\theta)\,d\theta}

1) Écrire

{I}

sous forme de série.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

2) Montrer

{I(x)=O(x^{-1/4})}

lorsque

{x\to+\infty}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 8. (★★) exponentielle complexe ; conjugaison ; positivité et majorations

Pour

{P(z)=\sum\limits_{k=0}^na_kz^k\in\mathbb{C}[X]}

{0\le r\le1}

, montrer

{\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|P(re^{i\theta})|^2\,d\theta =\sum_{k=0}^n|a_k|^2r^{2k}\le\sup_\theta|P(e^{i\theta})|^2.}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 9. (★★★★) borne supérieure et inférieure ; normes usuelles ; positivité et majorations

Soit

{E=\left\{f\in C^0([0,1],\mathbb{R}):\int_0^1f=0\right\}}

, muni de la norme uniforme. Posons

{A(f)(x)=\int_0^xf(t)\,dt+\int_0^1tf(t)\,dt}

a) Trouver

{C}

tel que

{\lVert A(f)\rVert_\infty\le C\lVert f\rVert_\infty}

b) Déterminer la constante optimale.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 10. (★★) cordes et tangentes ; inégalités de convexité ; positivité et majorations

Soient

{f,g}

continues sur

{[0,1]}

, avec

{g\ge0}

{\int_0^1g=1}

, et

{\phi\in C^2(\mathbb{R})}

avec

{\phi''\ge0}

Montrer ${\phi(\int_0^1fg)\le\int_0^1\phi(f)g}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 11. (★★★) inégalités de convexité ; positivité et majorations ; monotonie

Soient

{f,g:[a,b]\to\mathbb{R}_+^\star}

continues, distinctes, avec

{\int_a^bf=\int_a^bg}

. Pour

{n\ge0}

, posons

{I_n=\int_a^bf^{n+1}/g^n}

a) Montrer que

{(I_n)}

est strictement croissante.

b) Montrer ${I_n\to\infty}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 12. (★★) cordes et tangentes ; positivité et majorations

Soit

{f\in C^2([0,1],\mathbb{R}_+)}

avec

{f(0)=0}

{f''\ge0}

Montrer ${\int_0^1f(x)^2\,dx\le\int_0^1x^2f'(x)^2\,dx}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 13. (★★★★) positivité et majorations ; bornes atteintes ; valeurs intermédiaires

Soient

{K>0}

continue sur

{[0,1]^2}

{f,g>0}

continues sur

{[0,1]}

, avec

{f(x)=\int K(x,z)g(z)\,dz}

{g(x)=\int K(x,z)f(z)\,dz}

Montrer ${f=g}$ .

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

Exercice 14. (★★★) intégration terme à terme ; convergence normale ; orthogonalité

On admet

{\sum\limits_{n\ge1}n^{-4}=\pi^4/90}

. Soit

{g(x)=\pi^2/3+\sum\limits_{n\ge1}4(-1)^n\cos(nx)/n^2}

a) Justifier sa définition.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

b) Calculer

{\int_{-\pi}^{\pi}g^2}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

c) Calculer

{\int_{-\pi}^{\pi}(x^2-g(x))^2\,dx}

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

d) Expliciter

{g}

et tracer son graphe.

Cliquer ici pour voir (ou cacher) la réponse

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres

MP–MPI

PSI

PC

Retour aux planches par thème