Soit {S\in\mathcal S_n(\mathbb{R})}, de valeurs propres {\lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_n}.

Montrer, pour {1\le k\le n}, que {\sum\limits_{i=1}^ks_{i,i}\le\sum\limits_{i=1}^k\lambda_i}.

1) Si {H} contient un demi-tour, montrer que {H=\mathrm{SO}(E)}.

2) Même conclusion si {H} contient une rotation d’angle obtus. Indication : prendre {x\ne0} tel que {\langle r(x),x\rangle=0}, le demi-tour {s} d’axe {\mathbb{R}x}, et {srsr^{-1}}.

3) Montrer que les seuls sous-groupes normaux sont {\left\{I\right\}} et {\mathrm{SO}(E)}.

1) Montrer qu’il existe {X} tel que {\lVert MX\rVert_2=\lVert X\rVert_2=1}.

2) Montrer qu’il existe {O,O'\in\mathrm O_n(\mathbb{R})} tels que {OMO'} soit triangulaire supérieure avec des {1} sur la diagonale.

3) Expliciter un vecteur {X} de a).

1) Montrer que {E} est un sous-espace vectoriel.

2) Pour {v\in\mathbb{R}}, construire {f\in E} avec {f(0)=v}.

3) Calculer {\inf_{f\in E,\ f(0)=v}\int_0^\infty(f^2+a(f')^2)}.

4) Si {0\le A\le B} sont symétriques positives, montrer à l’aide de ce principe variationnel que {\sqrt A\le\sqrt B}.

Quel est le cardinal du groupe des isométries affines du plan stabilisant un polygone régulier à {n\ge3} sommets ?

a) Montrer que {pqp} est diagonalisable.

b) Montrer que {E=\operatorname{Im}p+\ker q+(\operatorname{Im}q\cap\ker p)}.

c) Montrer que {pq} est diagonalisable.

d) Montrer que son spectre est inclus dans {[0,1]}.

Existe-t-il {A\in SO_2(\mathbb{Q})} sans racine carrée dans {SO_2(\mathbb{Q})} ?

a) Pour {K^2=-I}, montrer que {K^TJ} est symétrique si et seulement si {J=K^TJK}.

b) Soit {C} l’ensemble des {K} avec {K^2=-I} et {K^TJ\in S_n^{++}(\mathbb{R})}.

Pour {K\in C}, montrer que {K+J} est inversible et {(K+J)^{-1}(K-J)} symétrique.

c) Avec {S=(K+J)^{-1}(K-J)}, montrer que {SJ+JS=0}.

Montrer que, pour {A,B\in S_n^+(\mathbb{R})}, {\det(A+B)\ge\max(\det A,\det B)}.

a) Montrer que {A=(t_it_j)} est symétrique positive.

b) Si {0\le t_1\le\cdots\le t_n}, montrer que {B=(\min(t_i,t_j))} est symétrique positive.

c) Si de plus {t_n\le1}, montrer que {B-A} est symétrique positive.

a) Si {f,g,h} sont les rotations de centres {A,B,C} et d’angles {2a/3,2b/3,2c/3}, montrer que {P} est l’unique point fixe de {gh}.

b) Montrer que {f^3g^3h^3=\mathrm{id}}.

c) Écrire {f(z)=a_1z+b_1}, {g(z)=a_2z+b_2}, {h(z)=a_3z+b_3} et exprimer {P,Q,R}.

d) Conclure.

Combien y a-t-il de matrices orthogonales de taille {n\ge1} à coefficients entiers ?

Soient {a_1\le\cdots\le a_n} et {b_1\le\cdots\le b_n} réels, et {A,B} symétriques réelles ayant respectivement ces valeurs propres.

Montrer {\operatorname{tr}(AB)\le\sum\limits_{i=1}^na_ib_i}.

Soit {u} autoadjoint sur {\mathbb{R}^n}, de valeurs propres {\lambda_1\le\cdots\le\lambda_n}. Une base orthonormée {(e_i)} vérifie {\langle u(e_i),e_i\rangle=\lambda_i} pour tout {i}.

Montrer que c’est une base de vecteurs propres.

[MPI] Soient {C_n=\left\{-1,1\right\}^n} et {H=\left\{f\in\mathcal L(\mathbb{R}^n):f(C_n)=C_n\right\}}.

Montrer que {H} est un groupe et déterminer son cardinal.

a) Montrer que {T} est définie sur ces deux ensembles.

b) Montrer {T(A_n)\subset B_n}.

c) Montrer {T(B_n)\subset A_n}.

d) Calculer {T(T(A))} pour {A\in A_n}.

e) Calculer {T(\begin{pmatrix}0&x\\[4pt]-x&0\end{pmatrix})}.

f) En déduire que toute matrice antisymétrique d’ordre {2n} est orthogonalement semblable à une diagonale par blocs {\begin{pmatrix}0&x\\[4pt]-x&0\end{pmatrix}}.

a) Si {M^2=-I_{2n}}, montrer {M^{\mathsf T}J\in S_{2n}\Longleftrightarrow M^{\mathsf T}JM=J}.

b) Pour {\mathcal C=\left\{M:M^2=-I_{2n},\ M^{\mathsf T}J\in S_{2n}^{++}\right\}}, montrer {M+J} inversible.

c) Posons {S_M=(M+J)^{-1}(M-J)}.

Montrer qu’elle est symétrique et {\lVert S_MX\rVert\lt \lVert X\rVert} pour {X\ne0}.

d) Montrer {S_MJ+JS_M=0}.

a) Pour {A\in M_n(\mathbb{R})} et une base orthonormée {(f_i)_{1\le i\le k}} d’un sous-espace {F}, montrer que {\tau_F(A)=\sum\limits_i\langle f_i,Af_i\rangle} ne dépend pas de cette base. On suppose désormais {A} symétrique, de valeurs propres {\lambda_1\ge\cdots\ge\lambda_n}.

b) Donner le meilleur encadrement de {\tau_F(A)} à partir du spectre et de {F}.

c) Pour {A(t)=A+tE_{11}} et ses valeurs propres décroissantes {\lambda_i(t)}, montrer {\lambda_n(t)\ge\lambda_n} et {\lambda_2(t)\le\lambda_1} pour {t\ge0}.

d) Donner un équivalent de {\lambda_1(t)} en {+\infty}.

a) Pour un projecteur {p} et un endomorphisme {a} tels que {ap+pa=a}, montrer {\operatorname{tr}a=0}.

b) Décrire l’espace tangent en {p} à l’ensemble des projecteurs orthogonaux et donner sa dimension.

Soit {(u,v)} une base de {\mathbb{R}^2}.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un polygone régulier à {n} côtés dont tous les sommets appartiennent à {\mathbb{Q}u+\mathbb{Q}v}.

Soit {A\in\mathcal S_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {\operatorname{tr}A=0} si et seulement s’il existe une matrice orthogonale {P} telle que {PAP^T} soit à diagonale nulle.

Déterminer {\operatorname{Vect}(O_n(\mathbb{R}))}.

a) Pour {A,B\in S_n^+(\mathbb{R})}, montrer {\det(A+B)\ge\max(\det A,\det B)}.

b) Si {A} est définie positive, trouver une condition nécessaire d’égalité.

a) {A} est-elle nécessairement symétrique ?

b) Trouver une condition nécessaire supplémentaire pour que {A} soit symétrique.

a) Montrer que le centre de {\alpha\beta} appartient à l’intersection des trisectrices du triangle.

b) Montrer que {\alpha^3\beta^3\gamma^3} est l’identité.

c) Montrer que les intersections des trisectrices forment un triangle équilatéral.

Pour {A\in S_n(\mathbb{R})}, montrer {(\sum\limits_i a_{ii})^2\leq\operatorname{rg}A\sum\limits_{i,j}a_{ij}^2}.

Déterminer les matrices orthogonales dont les puissances convergent.

Pour {A\in O_2(\mathbb{R})}, étudier {k^{-1}\sum\limits_{i=0}^{k-1}A^i}.

Pour {n\ge2}, déterminer les réels {\alpha} pour lesquels il existe {n+1} vecteurs unitaires {u_0,\ldots,u_n\in\mathbb{R}^n} tels que {\langle u_i,u_j\rangle=\alpha} dès que {i\ne j}.

Pour {n\ge2}, montrer que tout endomorphisme de l’espace euclidien {\mathbb{R}^n} est somme d’un nombre fini d’isométries.

1) Les matrices {AB} et {BA} sont-elles toujours semblables ?

2) Montrer que {AA^T} et {A^TA} sont semblables.

3) Pour deux sous-espaces {F,G\subset\mathbb{R}^n} de même dimension, montrer que {\operatorname{Sp}(p_Fp_G)=\operatorname{Sp}(p_Gp_F)\subset[0,1]}, où {p_F,p_G} sont les projections orthogonales.

Soit {A=(a_{ij})} symétrique positive non nulle.

Montrer qu’il existe {r\ge1} et des réels {b_{ik}} tels que {a_{ij}=\sum\limits_{k=1}^r b_{ik}b_{jk}}.

Quelle est la plus petite valeur possible de {r} ?

Soit {A=(1/(i+j+1))_{0\le i,j\le n}}.

Montrer que ses valeurs propres appartiennent à {]0,\pi[} et que la plus petite est au plus {1/(2n+1)}. On pourra montrer que, pour {P\in\mathbb{R}[X]}, {\int_{-1}^1P(t)\,dt+\int_0^\pi P(e^{i\theta})ie^{i\theta}\,d\theta=0}.

Soit {A\in\mathcal M_{m,n}(\mathbb{R})} non nulle. Pour {X\in\mathbb{R}^n}, {Y\in\mathbb{R}^m}, considérer : (i) {\lVert AX-Y\rVert\le\lVert AZ-Y\rVert} pour tout {Z} ; (i’) {A^TAX=A^TY} ;

(ii) {X} est de norme minimale parmi les solutions de (i) ; (ii’) {X\perp\ker(A^TA)}.

Montrer (i){\Leftrightarrow}(i’), puis, sous (i), (ii){\Leftrightarrow}(ii’).

Montrer l’existence et l’unicité de ce {X}, noté {BY}, la linéarité de {B} et {\lVert BY\rVert\le\lVert Y\rVert/\sqrt{\lambda_1}}, où {\lambda_1} est la plus petite valeur propre non nulle de {A^TA}.

Montrer qu’il existe des cas d’égalité non triviaux.

Donner une condition sur {A=(a_{ij})\in\mathcal S_n(\mathbb{R})} pour que {U\mapsto\sum\limits_{i,j}a_{ij}u_{ij}} ait un unique maximum sur {O_n(\mathbb{R})}.

1) Montrer qu’il existe {c_\alpha\in\mathbb{R}} tel que {c_\alpha\int_0^\infty t^{-\alpha}/(\lambda+t)\,dt=\lambda^{-\alpha}} pour tout {\lambda>0}.

2) Pour {A\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb{R})}, expliquer et justifier {A^{-\alpha}=c_\alpha\int_0^\infty t^{-\alpha}(A+tI)^{-1}dt}.

Montrer que {(A^{-1/2})^2=A^{-1}}.

3) Si {B-A} est positive, montrer que {A^{-1/2}-B^{-1/2}} est positive.

Soit {f:\mathcal S_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}} linéaire.

Montrer l’équivalence de : (i) {f(AA^T)\ge0} pour toute matrice réelle {A} ;

(ii) il existe {B\in\mathcal S_n^+(\mathbb{R})} tel que {f(A)=\operatorname{tr}(AB)} ;

(iii) il existe des vecteurs {X_1,\ldots,X_m} tels que {f(A)=\sum\limits_i X_i^TAX_i}.

Pour {A\in S_n(\mathbb{R})}, montrer qu’il existe un unique couple de matrices symétriques positives {B,C} tel que {A=B-C} et {BC=CB=0}.

1) Montrer que {\varphi_k} est un endomorphisme de {S_n(\mathbb{R})}.

2) Quand est-il injectif, surjectif, bijectif ?

Soit {f:S_n(\mathbb{R})\to\mathbb{R}} linéaire et positive sur les matrices symétriques positives.

Montrer qu’elle est une combinaison linéaire des formes {\varphi_X(M)=X^{\mathsf T}MX}.

Soient {n} impair et {A,B\in S_n(\mathbb{R})}. Notons {C(A),C(B)} leurs commutants dans {M_n(\mathbb{R})}.

Montrer que {C(A)\cap C(B)=\mathbb{R}I_n} si et seulement s’il n’existe pas de décomposition {\mathbb{R}^n=F\oplus G} en sous-espaces non nuls stables par {A} et {B}.

Soient {A,B} symétriques réelles dont toutes les valeurs propres sont strictement supérieures à {1}.

Montrer que celles de {AB} sont strictement supérieures à {1}.

Soit {X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{2n}} de classe {C^1} telle que {X'=JSX}, où {J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\[4pt]I_n&0\end{pmatrix}} et {S} est symétrique définie positive.

Montrer que {X} est bornée sur {\mathbb{R}}.

Déterminer les extrema globaux et locaux de la fonction trace sur {SO_4(\mathbb{R})}.

a) Interpréter {H_v} géométriquement.

b) Pour {e} unitaire orthogonal à {v}, montrer {H_{v-\lVert v\rVerte}(v)=\lVert v\rVerte}.

c) Donner un algorithme de décomposition {A=QR} pour {A} réelle inversible, avec {Q} orthogonale et {R} triangulaire supérieure à diagonale strictement positive.

Soient {M_1,\ldots,M_n\in M_p(\mathbb{R})} avec {\sum\limits_iM_i^{\mathsf T}M_i=I_p}, et {L(X)=\sum\limits_iM_i^{\mathsf T}XM_i}.

Montrer {L(X^{\mathsf T}X)\ge L(X^{\mathsf T})L(X)} pour l’ordre des matrices symétriques positives.

a) Montrer qu’une matrice réelle est symétrique positive si et seulement si elle s’écrit {B^{\mathsf T}B} pour une matrice rectangulaire {B}. Pour un endomorphisme {L} de {M_n(\mathbb{R})}, on définit {\widehat L_k} en appliquant {L} à chaque bloc d’une matrice à {k\times k} blocs d’ordre {n}. On dit que {L} est complètement positif si {\widehat L_k} préserve les matrices symétriques positives pour tout {k\ge1}.

b) Pour {n\ge2}, montrer que la transposition n’est pas complètement positive.

c) Montrer qu’une application complètement positive vérifie {L(M^{\mathsf T})=L(M)^{\mathsf T}}, en utilisant {k=2}.

Soient {S,T} symétriques réelles avec {S+T} définie positive.

Trouver une base {(e_i)} telle que chaque famille {(Se_i,Te_i)} soit liée. Indication : considérer le produit scalaire de matrice {S+T} et {M=(S+T)^{-1}S}.

1) Montrer que {J} est strictement convexe : pour {x\ne y} et {\lambda\in]0,1[}, {J(\lambda x+(1-\lambda)y)\lt \lambda J(x)+(1-\lambda)J(y)}.

2) Montrer que {J(x)\to+\infty} lorsque {\lVert x\rVert\to+\infty}.

3) Montrer que {J} atteint son minimum en l’unique point {x_0} vérifiant {Ax_0=b}.

Soit {n\ge2}. On pose {\Sigma=\left\{(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb{R}^n: \sum_{i=1}^na_i=0,\quad\sum_{i=1}^na_i^2=1\right\}.}Maximiser {S_n=a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_{n-1}a_n+a_na_1} lorsque {(a_1,\ldots,a_n)} décrit {\Sigma}.

1) Montrer que {e^A} est bien défini. Indication : on pourra montrer qu’il existe une norme et {C>0} tels que {\lVert AB\rVert\le C\lVert A\rVert\lVert B\rVert}.

2) On note {R=\frac12I_2,\qquad K=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}, \qquad H=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}.}Calculer, pour {s,t\in\mathbb{R}}, {f(s,t)=\operatorname{Tr}(Re^{i(sR+yH)})}.

3) Soit {(X,Y)} un couple à valeurs dans un sous-ensemble fini de {\mathbb{R}^2} et {g(s,t)=\mathbb E(e^{i(sX+tY)})}.

Montrer que, pour tous {s_1,\ldots,s_m,t_1,\ldots,t_m\in\mathbb{R}}, {\sum_{k=1}^m\sum_{\ell=1}^mg(s_k-s_\ell,t_k-t_\ell)\ge0.\qquad(*)}

4) On prend {s_2=s_3=t_1=t_3=2\pi/3} et {t_2=s_1=0}.

Montrer que {f} ne vérifie pas {(*)}.

5) Soient {H\in\mathcal S_n(\mathbb{R})} et {R\in\mathcal S_n^+(\mathbb{R})} tels que {\operatorname{Tr}R=1}.

Montrer qu’il existe une variable aléatoire réelle {X} telle que {\operatorname{Tr}(Re^{isH})=\mathbb E(e^{isX})} pour tout {s\in\mathbb{R}}.