1) Déterminer les éléments propres de {T}.

2) Déterminer {\ker(T-\lambda I)^k} pour {\lambda\in\mathbb{C}}, d’abord pour {k=2}, puis pour {k\ge2}.

1) Montrer que {c} est nilpotent.

2) Montrer que {p,q,c} sont cotrigonalisables.

3) La conclusion de a) subsiste-t-elle en dimension infinie ?

1) Calculer {\operatorname{tr}\sigma}.

2) Si aucun vecteur propre de {a'} n’appartient à {\ker(\sigma+I)}, calculer {\dim\ker(a'-b')}.

Soit {f} un endomorphisme d’un espace complexe de dimension finie, dont toutes les valeurs propres sont simples, et {n\ge2}.

Déterminer les {u} tels que {uf-fu=u^n}.

Pour {n\ge1} et {A\in\mathbb{C}_{n-1}[X]}, soit {\varphi_A(P)} le reste de {AP} modulo {X^n-1}.

L’endomorphisme {\varphi_A} de {\mathbb{C}_{n-1}[X]} est-il diagonalisable ?

Pour {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb{C})}, montrer l’équivalence entre {\chi_{AM+B}=\chi_{AM}} pour tout {M\in\mathcal M_n(\mathbb{C})}, et : {B} est nilpotente et {BA=0}.

a) Montrer que {1} est valeur propre et que toutes les valeurs propres ont module au plus {1}.

b) Poser {\mu=\min_im_{ii}} et montrer que le spectre est dans le disque de centre {\mu} et de rayon {1-\mu}.

c) Si {\mu>0} et {1} est simple dans {\chi_M}, montrer que {M^k} converge vers une matrice de rang {1} dont les lignes sont égales.

c) Soient {p,q,r>0}, {p+q+r=1}. On définit {B} par {b_{ii}=r}, {b_{i,i+1}=q} si {i>2}, {b_{12}=p+q}, {b_{i+1,i}=p} si {i\lt n-1}, {b_{n,n-1}=p+q}, et les autres coefficients nuls.

Montrer que {1} est valeur propre simple et expliciter la limite de {B^k}.

a) Que dire de {\det(ab-ba)} ?

b) Montrer que {a,b} sont cotrigonalisables.

c) À quelle condition sur {u\in\mathcal L(E)} existe-t-il {w} tel que {uw-wv} soit de rang {1} ?

Soit {V} un espace réel de dimension finie et {a,b\in L(V)}. On suppose {a} nilpotent et {[a,[a,b]]=0}, où {[u,v]=uv-vu}.

Montrer que {[a,b]} et {ab} sont nilpotents.

Soient des espaces {V_0,\ldots,V_n} et des applications {v_i^+:V_i\to V_{i+1}}, {v_i^-:V_i\to V_{i-1}} telles que {v_{i-1}^+v_i^-=-v_{i+1}^-v_i^+\quad(1\le i\lt n),\qquad v_{n-1}^+v_n^-=0.}Montrer que {v_1^-v_0^+} est nilpotent et déterminer son indice maximal.

1) Calculer {\det(ab-ba)}.

2) Montrer que {a,b} sont cotrigonalisables.

1) Si chaque {\operatorname{ad}_M:N\mapsto[M,N]} est diagonalisable sur {A}, montrer que tous les crochets sont nuls.

2) Si {\dim A\le3} et chaque {\operatorname{ad}_M} est nilpotent, poser {A_0=A} et {A_{j+1}=\left\{[M,N]:M,N\in A_j\right\}}.

Montrer que {A_3=\left\{0\right\}}.

1) Calculer {\operatorname{tr}\rho(e)}.

2) Montrer que chaque {\rho(g)} est diagonalisable.

3) Si {\operatorname{tr}\rho(g)=\operatorname{tr}\rho(e)}, montrer que {\rho(g)=\rho(e)}.

4) Pour {f:G\to\mathbb{C}}, poser {a_m=\sum\limits_gf(g)(\operatorname{tr}\rho(g))^m}.

Si {f(e)\ne0}, montrer qu’un {a_m} est non nul.

5) Montrer que {\Phi(z)=\sum\limits_{m\ge0}a_mz^m} est rationnelle.

6) Pour {G=S_3}, montrer que {V} est somme directe de sous-espaces stables de dimensions {1} ou {2}.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})} de rang un et de même trace.

Montrer qu’elles sont semblables.

a) Trouver une base où {c} a pour matrice {E_{n-1,n}}.

b) Montrer {u^k(\operatorname{Im}c)\subset\ker c} pour tout {k\ge0}.

c) Montrer que {\chi_u} est réductible.

d) Si un endomorphisme a un sous-espace stable non trivial, montrer que son polynôme caractéristique est réductible et étudier la réciproque.

a) Quel est le cardinal maximal d’une famille d’éléments de {R(I_n)} deux à deux non semblables ?

b) Si {A} a {n} valeurs propres distinctes, déterminer {|R(A)|}.

c) Si {A} est diagonalisable, ses racines carrées le sont-elles ?

d) Toute matrice possède-t-elle une racine carrée ?

e) Pour {U_n=\left\{I_n+N:N\text{ nilpotente}\right\}}, montrer que chaque élément a une unique racine carrée dans {U_n}.

a) Si {G=\mathrm{GL}(V)}, déterminer {\operatorname{Vect}G}.

La réciproque est-elle vraie ? On suppose désormais {g-I} nilpotent pour tout {g\in G}.

b) Quels éléments de {G} sont diagonalisables ?

c) Si {G} est fini et engendre {\mathcal L(V)}, déterminer {\dim V}.

d) Même question sans l’hypothèse de finitude.

a) Montrer que sa seule valeur propre possible est un.

b) Montrer {\varphi=I_F}.

c) Quelles valeurs propres sont possibles si {g} n’est plus supposée surjective ?

a) Pour {M\in S_n^{++}(\mathbb{R})}, montrer que {\langle M^{-1}x,y\rangle} définit un produit scalaire.

b) Pour {N} antisymétrique, montrer que {MN} est diagonalisable sur {\mathbb{C}} à spectre dans {i\mathbb{R}}.

c) Réciproquement, toute matrice réelle diagonalisable sur {\mathbb{C}} à spectre dans {i\mathbb{R}} s’écrit-elle {MN} avec {M} définie positive et {N} antisymétrique ?

1) Calculer le rang de {A}.

2) Cette matrice est-elle diagonalisable ?

1) Montrer que {f} est un endomorphisme de {\mathbb{R}_n[X]}.

2) Trouver ses valeurs propres et montrer qu’il est diagonalisable.

1) Trouver les éléments propres de {B}.

2) Montrer que {B} est diagonalisable sur {\mathbb{R}} si et seulement si les valeurs propres de {A} sont strictement positives.

Soit {f} diagonalisable sur un espace complexe de dimension {n}.

Montrer qu’il possède {n} valeurs propres distinctes si et seulement s’il existe {v} tel que {(v,fv,\ldots,f^{n-1}v)} soit libre.

a) Soit {P\in\mathbb{R}_n[X]} unitaire, {n\ge2}.

Montrer que {P} est scindé sur {\mathbb{R}} si et seulement si {|P(z)|\ge|\operatorname{Im}z|^{\deg P}} pour tout {z\in\mathbb{C}}.

b) Montrer que les matrices réelles trigonalisables sur {\mathbb{R}} forment un fermé de {\mathcal M_n(\mathbb{R})}.

Pour {A,B\in M_n(\mathbb{C})}, montrer qu’elles ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {C\ne0} telle que {AC=CB}.

a) Sur un espace complexe de dimension finie, soient {h,u} avec {h} diagonalisable et {hu-uh=2u}.

Montrer que {u} est nilpotent.

b) Sur {\mathbb{C}[X]}, posons {u(P)=X^2P'+XP}, {v(P)=P'}, {h(P)=P+2XP'}.

i) Montrer que {h} est diagonalisable et {hu-uh=2u}. {u} est-il nilpotent ?

ii) Montrer que tout sous-espace stable par {u,v} est nul ou égal à {\mathbb{C}[X]}.

a) Montrer {\dim\ker(B-\lambda I)=\dim\ker(A-\lambda^2I)} pour tout {\lambda\in\mathbb{C}}.

b) Caractériser la diagonalisabilité de {B}.

Pour {X\in\mathbb{C}^n}, caractériser la diagonalisabilité de {XX^{\mathsf T}}, où la transposée n’est pas conjuguée.

a) Étudier leurs espaces propres et leur diagonalisabilité.

b) Pour {E=(1,\varepsilon)^{\mathsf T}}, expliciter {X_n=M^nE}, {Y_n=N_\varepsilon^nE} et étudier leurs directions normalisées.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})\setminus\left\{0\right\}} antisymétrique, et {X=U+iV} un vecteur propre complexe de valeur propre {\mu\ne0}.

Montrer {U\perp V}.

Soit {M\in M_n(\mathbb{R})}, {n\geq2}, dont la surdiagonale vaut {1,2,\ldots,n-1}, la sous-diagonale {n-1,n-2,\ldots,1}, et les autres coefficients sont nuls.

Déterminer son rang.

Pour {A\in M_n(\mathbb{C})}, comparer : {A} inversible et semblable à {A^{-1}} ; {A=BC} avec {B^2=C^2=I}.

Montrer que la seconde condition implique la première, puis la réciproque pour {n=2}.

Soit {L(P)=((1-X^2)P')'} sur {\mathbb{R}[X]}.

Est-ce un automorphisme ?

Déterminer ses éléments propres.

Pour {f\in L(E)}, {E} réel de dimension finie, poser {\Phi(g)=f\circ g}.

Comparer les valeurs propres et espaces propres de {f,\Phi}. La diagonalisabilité de {f} implique-t-elle celle de {\Phi} ?

Soit {M\in M_n(\mathbb{R})} ayant une unique valeur propre complexe.

Quand {(M^kX_0)} est-elle bornée pour tout {X_0\in\mathbb{R}^n} ?

Soit {A} le décalage cyclique de taille {n\geq2}, et {B=p^{-1}\sum\limits_{k=0}^{p-1}A^k}, {p\geq1}.

Donner les conditions sur {p,n} pour que {B} soit diagonalisable, puis inversible.

Soit {C=AB-BA} dans {M_n(\mathbb{C})}, avec {AC=CA}.

Montrer {C} nilpotente.

Si {C=A}, montrer que {A,B} ont un vecteur propre commun.

Donner deux matrices non nulles de taille {2} telles que {AB-BA=A}.

Montrer que toute matrice complexe est limite de matrices diagonalisables, puis en déduire {\chi_A(A)=0}.

Soient {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb{C})}.

Montrer qu’elles ont une valeur propre commune si et seulement s’il existe {P\ne0} tel que {AP=PB}.

Soit {G} un sous-groupe de {GL_2(\mathbb{R})}.

Montrer que {\operatorname{Vect}(G)\ne\mathcal M_2(\mathbb{R})} si et seulement si, dans une même base, tous ses éléments sont triangulaires supérieurs, ou tous sont de la forme {\left(\begin{smallmatrix}a&-b\\[4pt]b&a\end{smallmatrix}\right)}.

1) Montrer que {A} est semblable à une matrice triangulaire par blocs, de blocs diagonaux {\lambda_iI_{m_i}+N_i}, où les {N_i} sont strictement triangulaires supérieures.

2) Si {A} est inversible et les coefficients de toutes les puissances {A^k}, {k\in\mathbb{Z}}, sont uniformément bornés, montrer que {A} est semblable à une diagonale dont les coefficients sont de module {1}.

Soient {A,B\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} telles que {AB^2-B^2A=B}.

Montrer qu’il existe {p\in\mathbb{N}} tel que {B^{2p}\ne0} et {B^{2p+1}=0}.

1) Montrer que {A} et {B} ont un vecteur propre commun.

2) Que dire si {n} est impair ?

1) Montrer qu’il existe des {c_{ij}}, {1\le i\le n}, {0\le j\lt n}, tels que {A^k=\sum\limits_i\sum\limits_j c_{ij}\lambda_i^kA^j} pour tout {k\in\mathbb{N}}.

2) Montrer l’unicité des {c_{ij}}.

3) Montrer que la formule reste vraie pour {k\in\mathbb{Z}}.

Caractériser les {M\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} sommes de deux matrices diagonalisables de rang {1}.

Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb{C})}.

Si un réel {\lambda\lt 0} est valeur propre de {A\overline A}, montrer que son sous-espace propre est de dimension paire.

Soient {A\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb{R})} et {B} antisymétrique.

Montrer que {AB} est diagonalisable sur {\mathbb{C}}.

Soit {A:\mathbb{R}\to\mathcal M_n(\mathbb{C})} continue, {A(0)=A(1)=I} et {A(s+t)=A(s)A(t)}.

Donner des exemples non triviaux et montrer qu’il existe {P} inversible et {\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{Z}} tels que {A(t)=P\operatorname{diag}(e^{2\pi i\lambda_1t},\ldots,e^{2\pi i\lambda_nt})P^{-1}}.

Pour {n\ge2}, soit {A} la matrice dont la diagonale est nulle et tous les autres coefficients valent {1}.

Montrer qu’elle est inversible et déterminer ses valeurs propres avec multiplicité.

1) Calculer {\det A}.

2) Cette matrice est-elle diagonalisable ?

Pour {A,B\in M_n(\mathbb{C})}, montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : elles ont une valeur propre commune ; il existe {P\ne0} telle que {PA=BP}.

Soit {n} impair et {A,B\in M_n(\mathbb{R})} telles que {AB+BA=A}.

Montrer qu’elles possèdent un vecteur propre commun.

Le résultat reste-t-il vrai pour {n} pair ?

1) {BA} est-elle diagonalisable ?

2) Montrer {\dim\ker(AB)\le\dim\ker(B(AB)A) \le\dim\ker(A(BABA)B)\le\dim\ker(AB)}.

3) {(BA)^2} est-elle diagonalisable ?

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})} telles que les valeurs propres complexes de {A} aient une partie réelle strictement négative, et celles de {B} une partie réelle négative ou nulle.

Pour {C\in M_n(\mathbb{R})}, montrer qu’il existe une unique {M} telle que {C=AM+MB}.

Soient {S,S'} diagonalisables et {N,N'} nilpotentes dans {M_n(\mathbb{C})}, avec {SN=NS}, {S'N'=N'S'} et {S+N=S'+N'}.

Montrer que {S=S'} et {N=N'}.

1) Montrer que toute matrice symétrique positive possède une racine carrée symétrique positive.

2) Si {S} est symétrique définie positive et {A} antisymétrique, montrer que {AS} est diagonalisable sur {\mathbb{C}}.

Soit {A=(\mathbf1_{i\equiv j+1\ (n)})} la matrice du décalage cyclique d’ordre {n}.

Caractériser les {p\ge1} tels que {B=\sum\limits_{k=0}^{p-1}A^k} soit inversible.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{C})} avec {AB^2-B^2A=B}.

Montrer que {B} est nilpotente d’ordre impair.

a) Pour {M\in M_2(\mathbb{C})}, montrer l’existence et l’unicité de {M=D+N} avec {D} diagonalisable, {N} nilpotente et {DN=ND}.

b) Déterminer les points de continuité de {M\mapsto(D,N)}.