1) Quels polynômes {P} vérifient {P(u)\in\mathrm{GL}(E)} ?

2) À quelle condition {K[u]\subset\mathrm{GL}(E)\cup\left\{0\right\}} ?

1) Si {u} est diagonalisable, à quelle condition {C(u)=K[u]} ?

2) Montrer que {\dim K[u]=n} implique {C(u)=K[u]}.

La réciproque est-elle vraie ?

a) Montrer que {uv+vu=2B(u,v)I} pour un scalaire {B(u,v)}.

b) Montrer que {B} est bilinéaire.

c) Si {u_1,\ldots,u_d\in V} vérifient {B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}}, montrer qu'ils sont libres.

d) Si {d\ge2}, montrer que les {u_i} sont de trace nulle et {n} pair.

Soient {E} de dimension finie sur {K}, {f\in\mathcal L(E)} cyclique et {F\subset E} stable par {f}.

Montrer que la restriction de {f} à {F} est cyclique.

Pour {X,Y\in M_2(\mathbb{K})}, avec {\mathbb{K}\subset\mathbb{C}}, montrer {XY+YX-\operatorname{tr}(X)Y-\operatorname{tr}(Y)X +(\operatorname{tr}(X)\operatorname{tr}(Y)-\operatorname{tr}(XY))I_2=0.}

a) Pour {D\in M_n(\mathbb{C})} diagonale à coefficients diagonaux distincts, montrer que l'ensemble des {X} tels que {X^2=D} est fini non vide et déterminer son cardinal.

b) Pour {N} nilpotente, construire {X} tel que {X^2=I_n+N}.

a) Pour {A\in M_n(\mathbb{R})} diagonalisable, caractériser l'existence d'un {x} tel que {(x,Ax,\ldots,A^{n-1}x)} soit une base.

b) Soit {M=\begin{pmatrix}b_1&0&0\\[4pt]1&b_2&0\\[4pt]0&1&b_3\end{pmatrix}}.

i) Quand {M} est-elle diagonalisable ?

ii) Quand existe-t-il {x} tel que {(x,Mx,M^2x)} soit une base ?

iii) Si {b_1b_2b_3=1}, montrer qu'il existe un unique couple {(a_1,a_2)} tel que {M} soit semblable à {\begin{pmatrix}a_1&a_2&1\\[4pt]1&0&0\\[4pt]0&1&0\end{pmatrix}}.

Déterminer les matrices {M\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} telles que {\operatorname{tr}M=n} et {M^2=M^5}.

Soient {A_1,\ldots,A_m\in M_n(\mathbb{R})} distinctes, commutant deux à deux et vérifiant {A_i^2=I_n}.

Montrer que {m\le2^n}.

Soit {P\in\mathbb{R}[X]} non constant et {n\geq2}.

Quand existe-t-il {A\in M_n(\mathbb{R})} telle que {P(A)=0} ?

Soit {N\in M_n(\mathbb{R})} nilpotente, avec {\dim\ker N=1}.

Déterminer les matrices {B} telles que {B^2=I+N}.

Déterminer les endomorphismes de {\mathbb{R}_n[X]} qui commutent avec {T:P(X)\mapsto P(X+1)}.

Trouver les matrices {A\in\mathcal M_2(\mathbb{C})} telles que {A^p=A}, où {p\ge2} est entier.

Déterminer les entiers {n} tels qu'il existe {A\in\mathcal M_n(\mathbb{Z})} vérifiant {A^2-A+I_n=0}. Indication : commencer par {n\le3}.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})} telles que {A^2=B^2=-I_n}.

Montrer qu'elles sont semblables.

Pour {M\in M_n(\mathbb{C})}, caractériser la bijectivité de {A\mapsto AM+MA}.