Pour {n\ge2}, dénombrer les triangles rectangles non dégénérés de {\mathbb{R}^n} dont les sommets appartiennent à {\left\{0,1\right\}^n}.

Soit {\alpha>0} et {S^2=\left\{x\in\mathbb{R}^3:\lVert x\rVert=1\right\}}.

Montrer l’équivalence entre {\alpha=2} et la propriété suivante : pour tout {n\ge1} et tous {a_i,b_i,c_i\in S^2}, il existe {p\in S^2} tel que {\sum_i\lVert p-a_i\rVert^\alpha=\sum_i\lVert p-b_i\rVert^\alpha =\sum_i\lVert p-c_i\rVert^\alpha.}

a) Montrer {\int_{-1}^1PL_n=0} pour {P\in\mathbb{R}_{n-1}[X]}.

b) Montrer que {L_n} possède {n} racines distinctes {-1\lt x_1\lt \cdots\lt x_n\lt 1}.

c) Montrer l’existence de {\alpha_i\in\mathbb{R}} tels que {\int_{-1}^1P=\sum\limits_i\alpha_iP(x_i)} pour {P\in\mathbb{R}_{2n-1}[X]}.

Soit {d\ge2}, et soient {\delta_1,\delta_2>0} distincts. Des points {x_1,\ldots,x_n\in\mathbb{R}^d} vérifient {\lVert x_i-x_j\rVert\in\left\{\delta_1,\delta_2\right\}} pour {i\ne j}.

Montrer que {n\le(d+1)(d+5)/2}. On pourra considérer {f_i(y)=(\lVert y-x_i\rVert^2-\delta_1^2)(\lVert y-x_i\rVert^2-\delta_2^2)}.

1) Traiter {r=n}.

2) Traiter {n=2}, {r=1}.

a) Soient des vecteurs unitaires {v_1,\ldots,v_n\in\mathbb{R}^m} tels que {\langle v_i,v_j\rangle\le-1/k} pour {i\ne j}, où {k\ge1}.

Montrer {n\le k+1}.

b) Construire {k+1} vecteurs unitaires de {\mathbb{R}^k} ayant tous ces produits scalaires égaux à {-1/k}.

a) Si cette liste se plonge et si {p} est une combinaison linéaire rationnelle des {p_i}, montrer que la liste augmentée se plonge dans {\mathbb{Q}^D}.

b) Si toutes les distances au carré entre les {p_i\in\mathbb{R}^d} sont rationnelles, montrer que la liste se plonge dans {\mathbb{Q}^{4d}}. On admet que tout entier naturel est somme de quatre carrés entiers.

Soient {a,b,c>0} et {E=\left\{(x,y,z):(x/a)^2+(y/b)^2+(z/c)^2=1\right\}}. Soient {A,B,C} distincts sur {E}, tels que le plan tangent en chaque point soit parallèle à la droite joignant les deux autres.

Calculer le volume du parallélépipède engendré par {OA,OB,OC}.

Soient {U,W\subset\mathbb{R}^n} de même dimension {m}.

Si {U\cap W^\perp} contient un vecteur non nul, montrer que {W\cap U^\perp} en contient aussi un.

Soient {x_1,\ldots,x_{2n}} des points distincts du plan.

Montrer qu’une droite les sépare en deux groupes de {n} points.

Pour {A} réelle antisymétrique, montrer qu’elle est semblable à {\operatorname{diag}(B,0)} avec {B\in GL_p(\mathbb{R})}, et que {p} est pair.

Dans un triangle équilatéral {ABC}, montrer que la somme des distances d’un point intérieur {M} aux trois côtés est indépendante de {M}.

Soit {\alpha>0} et {S^2=\left\{x\in\mathbb{R}^3:\lVert x\rVert=1\right\}}.

Montrer l’équivalence entre {\alpha=2} et la propriété suivante : pour tout {n\ge1} et tous {a_i,b_i,c_i\in S^2}, il existe {p\in S^2} tel que {\sum_i\lVert p-a_i\rVert^\alpha=\sum_i\lVert p-b_i\rVert^\alpha =\sum_i\lVert p-c_i\rVert^\alpha.}

Soit {F=\left\{P\in\mathcal M_n(\mathbb{R}):P=P^T=P^2\right\}}.

Pour {P,Q\in F}, donner une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’un chemin continu dans {F} de {P} à {Q}.

Soient {n\ge2} et {u_1,\ldots,u_n} complexes de module {1}.

Montrer que {\prod_{i\ne j}|u_i-u_j|^{1/(n(n-1))}\le n^{1/n}.}

Soient {f,g\in C([0,1],\mathbb{R})} avec {\int_0^1fg=0}. Montrer {\left(\int f^2\right)\left(\int g\right)^2 +\left(\int g^2\right)\left(\int f\right)^2 \ge4\left(\int f\int g\right)^2,}puis {\int f^2\int g^2\ge4(\int f\int g)^2}. Toutes les intégrales sont sur {[0,1]}.

Soient {A_1,\ldots,A_m} des parties distinctes de {\left\{1,\ldots,n\right\}}, avec {|A_i\cap A_j|=c\ge1} pour tous indices distincts.

Montrer {m\le n}. Indication : traiter un ensemble de cardinal {c}, puis considérer la matrice de Gram des indicatrices.

a) Pour un sous-espace {E\subset\mathbb{R}^n} et {b\in\mathbb{R}^n}, montrer que la distance à {E} est atteinte en un unique point.

b) Pour {A\in M_{n,p}(\mathbb{R})}, montrer que {\inf_x\lVert Ax-b\rVert} est atteint et que deux minimisateurs diffèrent d’un élément de {\ker A}.

c) Résoudre {A^{\mathsf T}Ax=A^{\mathsf T}b}.

a) Pour des vecteurs {u_1,\ldots,u_k\in\mathbb{R}^n}, extraire après renumérotation une base {(u_1,\ldots,u_\alpha)} de leur espace engendré.

b) Pour {U=(u_1|\cdots|u_\alpha)}, montrer {U^{\mathsf T}U} inversible.

c) Montrer que les coordonnées d’un autre {u_\beta} dans cette base sont la solution de {U^{\mathsf T}UX=(\langle u_\beta,u_i\rangle)_i}.

d) Si une famille {(v_i)} a la même matrice de Gram, montrer qu’il existe {W\in O_n(\mathbb{R})} avec {Wv_i=u_i} pour tout {i}.