Soit {V\subset\mathcal M_n(K)} un sous-espace dont tous les éléments ont un rang au plus {r}.

Montrer que {\dim V\le nr}.

Soient {p,u\in\mathcal L(E)}, où {E} est réel de dimension finie.

Si {p} est un projecteur et {pu+up=u}, montrer que {\operatorname{tr}u=0}.

a) {T} est-il un espace vectoriel réel ?

b) Montrer qu’il engendre {\mathcal L(\mathcal M_n(\mathbb{R}))}.

a) Montrer que {\operatorname{tr}(e^Ae^B)>0}.

b) Montrer que {\operatorname{tr}(e^{A+B})\le\operatorname{tr}(e^Ae^B)}.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})} commutant avec {AB-BA}.

Calculer {\exp(A+B)}.

1) Pour {r\in\mathbb{N}} et {X\in M_n(\mathbb{R})}, montrer {\operatorname{tr}((A-MX)^r)=\operatorname{tr}((B-XM)^r)}.

2) En déduire {\det(A-MX)=\det(B-XM)}.

a) Montrer {R_1=\left\{XY^{\mathsf T}:X,Y\ne0\right\}}.

b) Montrer que les matrices de rang deux sont exactement les {X_1Y_1^{\mathsf T}+X_2Y_2^{\mathsf T}} où les deux couples sont libres.

c) Pour {M\in R_1}, décrire toutes ses factorisations {XY^{\mathsf T}}.

d) Soit {\varphi} linéaire conservant le rang. Supposons {\varphi(X_iY_0^{\mathsf T})=P_iQ_i^{\mathsf T}} pour {i=1,2}, avec {X_i,Y_0\ne0} et {(P_1,P_2)} libre.

Montrer qu’il existe {A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})} et {Q_0\ne0} tels que {\varphi(XY_0^{\mathsf T})=AXQ_0^{\mathsf T}} pour tout {X}.

a) Si {n} est impair, montrer {I_A(n)=1}.

b) Pour {s,t\in\mathbb{N}}, montrer {I_A(2^s(2t+1))=2s+1}.

Soient {A,B\in\mathcal M_{2n}(\mathbb{C})} telles que {A^2=B^2=0} et {\operatorname{rg}A=\operatorname{rg}B\ge n}.

Montrer que {A} et {B} sont semblables.

Soit {A\subset\mathbb{Z}^n} une partie non vide stable par somme.

On suppose qu’il existe {N\in\mathbb{N}}, des {\lambda_i\in[0,1]} et {a_i\in A} tels que {\sum\limits_{i=1}^N\lambda_i=1} et {\sum\limits_{i=1}^N\lambda_i a_i=0}.

Montrer que {0\in A}.

Soit {A\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} non scalaire. Une matrice {M} commute avec {PAP^{-1}} pour tout {P\in GL_n(\mathbb{C})}.

Montrer que {M} est scalaire.

Même question sur {\mathbb{R}}.

Caractériser les matrices {A\in\mathcal M_n(\mathbb{C})} dont les conjuguées engendrent {\mathcal M_n(\mathbb{C})}.

1) Si cet ordre est fini, montrer qu’il divise {12}.

2) Si {A,B\in G} ont le même ordre fini, montrer qu’elles sont conjuguées dans {GL_2(\mathbb{Q})}.

Peut-on toujours choisir la conjugaison dans {G} ?

Montrer que {A\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} commute avec {A^T} si et seulement si {AA^TA=A^2A^T}.

Soit {A:\mathbb{R}\to M_n(\mathbb{R})} continue et {p=\operatorname{rg}A(t_0)}.

Montrer que {\operatorname{rg}A(t)\ge p} pour {t} assez proche de {t_0}.

a) Donner une matrice symétrique complexe non diagonalisable.

b) Pour {Q(x)=\sum\limits_{i,j}m_{ij}x_ix_j}, montrer l’existence et l’unicité d’une matrice symétrique {S} avec {Q(x)=x^{\mathsf T}Sx}.

c) Décomposer toute forme quadratique complexe en somme de carrés de formes linéaires indépendantes, avec coefficients complexes. Indication : commencer par {x_1^2+3x_1x_2+6x_2^2+4x_3^2}.