1) Construire une fonction croissante de {\mathbb{R}} dans {\mathbb{R}} dont l’ensemble des discontinuités est {\mathbb{Q}}.

2) Montrer qu’une telle fonction ne peut avoir {\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}} pour ensemble de discontinuités.

Pour {f(x)=e^{-x^2}}, en combien de points réels {f^{(n)}} s’annule-t-elle ?

Soit {f\in\mathcal C^1([0,1])} telle que {f(0)=f(1)=0}.

Montrer que, pour tout {\lambda\in\mathbb{R}}, il existe {c\in[0,1]} tel que {f'(c)+\lambda f(c)=0}.

1) Déterminer les éléments de {E} dérivables sur {\mathbb{R}_+}.

2) Montrer que si {f\in E} est dérivable en un point strictement positif, elle est dérivable sur {\mathbb{R}_+}.

1) Pour {n\ge2}, montrer qu’il existe {a',b'\in[a,b]} avec {f(a')=f(b')} et {b'-a'=(b-a)/n}.

2) En déduire une nouvelle preuve de Rolle lorsque {f} est dérivable sur {(a,b)}.

1) Montrer que {f} est bornée.

2) Montrer que {g(x)=\sup_{y\ge x}|f(y)|} a une limite finie {K\ge0}.

3) Pour {\ell>0}, montrer l’existence de {\ell'\in(0,\ell)} tel que tout intervalle {I} de longueur {\ell} rencontre un intervalle {I'} de longueur {\ell'} sur lequel {|f|\le2m/\ell}.

4) Si {K>0}, obtenir une contradiction à {(H)} en considérant une suite d’intervalles de longueur fixe.

5) En déduire que {f(x)\to0}.

Considérons {x'(t)=\cos(x(t))+\cos t}. On admet l’existence et l’unicité de la solution {\varphi_a} telle que {\varphi_a(0)=a}, pour {a\in[0,\pi]}, ainsi que l’impossibilité pour deux solutions distinctes de se rencontrer.

Montrer qu’il existe une unique solution à valeurs dans {[0,\pi]} et {2\pi}-périodique.

a) Existe-t-il une telle famille ?

b) Pour {A:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}^2} injective {C^1}, peut-on imposer que {A(t)} soit le centre de {D_t} ?

c) Est-ce encore vrai pour {A} seulement continue et injective ?

Trouver les fonctions {f\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que {|f'|+|f+1|\le1}.

a) Si {K} est un segment et {f:K\to K} continue croissante, montrer que {f} admet un point fixe.

b) On considère {x'=\cos x+\cos t}. On admet l’existence et l’unicité d’une solution globale {\varphi_a} pour chaque donnée {\varphi_a(0)=a}, et que deux solutions distinctes ne se rencontrent jamais.

Montrer l’existence d’une solution {2\pi}-périodique.

1) Soit {f:\mathbb{R}_+^\star\to\mathbb{R}} convexe.

1) Montrer que {f(x)/x} possède une limite {\ell} dans la droite réelle achevée et déterminer les valeurs possibles.

2) Si {\ell} est finie, montrer que {f(x)-\ell x} possède une limite dans la droite réelle achevée et déterminer les possibilités.

2) Pour des fonctions convexes continues sur {[0,1]} :

1) Si {\max(f,g)\ge0}, montrer qu’il existe {\alpha,\beta\ge0}, non tous deux nuls, tels que {\alpha f+\beta g\ge0}.

2) Généraliser à {f_1,\ldots,f_n} avec {\max_i f_i\ge0}.

1) {f} n’est pas polynomiale ;

2) l’espace engendré par les fonctions {x\mapsto f(\alpha x+\beta)}, {\alpha,\beta\in\mathbb{R}}, est dense dans {C^0([a,b],\mathbb{R})}.

1) {\sum\limits_{k=0}^{2n+1}(-1)^kx^k/k!\lt e^{-x}\lt \sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kx^k/k!}.

2) {\sum\limits_{k=0}^{2n+1}(-1)^kx^{2k+1}/(2k+1)\lt \arctan x \lt \sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kx^{2k+1}/(2k+1)}.

3) {\sum\limits_{k=0}^{2n+1}(-1)^kx^{2k}/(4^k(k!)^2) \lt \frac2\pi\int_0^1\cos(xt)/\sqrt{1-t^2}\,dt \lt \sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kx^{2k}/(4^k(k!)^2)}.

1) Si {f(0)=0}, montrer que {f(x)=0} pour {x\le0}.

2) Sous cette même hypothèse, montrer que {f(x)\le xf'(x)/n} pour {x>0}, {n\ge1}.

En déduire une conclusion.

3) Montrer que la série de Taylor de {f} en {0} converge vers {f} sur toute la droite réelle.

1) Montrer qu’une fonction croissante {f:[a,b]\to[a,b]} possède un point fixe, sans supposer sa continuité.

2) Pour {x'(t)=\cos(x(t))+\cos t}, on admet l’existence et l’unicité globale de la solution {\varphi_a} telle que {\varphi_a(0)=a\in[0,\pi]}, et que deux solutions distinctes ne se rencontrent pas.

Montrer qu’une unique {\varphi_a} est {2\pi}-périodique.

a) Montrer que {(x_n)} est croissante.

b) Montrer {x^nf^{(n)}(x)\to0} lorsque {x\to0^+}.

c) Pour {g=f/x}, exprimer {g^{(n)}} comme {\sum\limits_{k=0}^na_{n,k}f^{(n-k)}(x)/x^{k+1}} avec des coefficients entiers.

d) Montrer {(-1)^ng^{(n)}(x)>0} pour tout {x>0}, {n\ge0}.

a) Pour {f\in C^0(\mathbb{R},\mathbb{R})}, montrer qu’elle est affine si et seulement si {\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^2}\longrightarrow0\quad(h\to0^+)}pour chaque {x}.

b) Montrer que la continuité est nécessaire.

a) Montrer que {g} est continue, positive ou nulle et {g(0)=0}.

b) Si {f} est affine par morceaux, montrer que {g} l’est aussi.

c) Si {f} atteint son minimum en un, posons {q(t)=\inf_{t\le s\le1}g(s)}.

Montrer {f=g-2q}.

Trouver les fonctions monotones {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telles que {f(xy)=f(x)f(y)} pour tous {x,y}.

i) nulles sur {\mathbb{R}_-} et non nulles sur {]0,\infty[} ;

ii) nulles sur {\mathbb{R}_-\cup[1,\infty[} et non nulles sur {]0,1[} ;

iii) nulles sur {\mathbb{R}_-}, égales à un sur {[1,\infty[} et non nulles sur {]0,1[}.

Soit {f\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})} telle que, pour chaque {x}, {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)\to0} lorsque {h\to+\infty}.

Montrer que {f} est affine.

Trouver les {f\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que {e^f+|1+f'e^f|\leq1}.

Étudier les fonctions continues {f:[0,1]\to[0,1]} dont chaque point est périodique : pour tout {x}, il existe {m\geq1} tel que {f^m(x)=x}.

Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} bijective continue, avec {f(x+1)=f(x)+1}.

Pour {k\in\mathbb{Z}}, montrer que {f^k(x)-x} possède un maximum {M_k} et un minimum {m_k}.

Montrer {|f(y)-f(x)-(y-x)|\leq1}, puis {M_k-m_k\leq1}.

Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continue, dérivable à droite en tout point, avec {f'_d\geq0}.

Montrer que {f} est croissante.

Soit {f\in C^2(\mathbb{R})} avec {f,f',f''} bornées et {B_j=\lVert f^{(j)}\rVert_\infty}.

Montrer {B_1\leq B_0/\lambda+B_2\lambda/2} pour {\lambda>0}.

Soit {f\in C^1(\mathbb{R})} telle que {f(0)=0} et {f'(x)=\cos f(x)+\tfrac12\sin x}.

Montrer {f(\mathbb{R})\subset[-\pi,\pi]}.

Déterminer les réels {\lambda} pour lesquels il existe {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} non identiquement nulle, deux fois dérivable telle que {f''+(\lambda-x^2)f=0}, {f(0)=0} et {f(x)\to0} en {+\infty}. Indication : considérer {g(x)=f(x)e^{x^2/2}}.

Montrer que {\sum\limits_{k=0}^{n-1}|\cos k|\ge4n/10} pour tout {n\ge1}.

Soient {f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continues et croissantes, et {\lambda>0}.

Montrer qu’il existe un unique {(u,v)} tel que {\lambda u+f(u-v)=\lambda v+g(v-u)=0}.

Montrer que toute fonction croissante {f:[0,1]\to[0,1]} admet un point fixe.

Soit {f\in C^1([0,1],\mathbb{R})}, {f(0)=f(1)=0}.

Montrer que {f'+af} s’annule dans {]0,1[} pour tout {a\in\mathbb{R}}.

1) Pour {f\in C^\infty(\mathbb{R}_+^\star,\mathbb{R})}, {n>0} et {x>0}, montrer qu’il existe {c\in]x,x+n[} tel que {\sum\limits_{k=0}^n\binom{k}{n}(-1)^{n-k}f(x+k)=f^{(n)}(c)}.

2) Si {\lambda>0} et {n^\lambda\in\mathbb{N}} pour tout {n\in\mathbb{N}^\star}, montrer que {\lambda\in\mathbb{N}}.

Pour {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continue, montrer l’équivalence : (i) {f} est croissante ;

(ii) pour tout intervalle ouvert {I}, toute {\varphi\in C^\infty(I)} et tout minimum local {x_0} de {f-\varphi}, on a {\varphi'(x_0)\ge0}.

Soit {f_n\in C^3(\mathbb{R},\mathbb{R})}, avec {\sup_n\lVert f_n'''\rVert_\infty\le C} et {\lVert f_n\rVert_\infty\to0}.

Montrer que {\lVert f_n'\rVert_\infty\to0} et {\lVert f_n''\rVert_\infty\to0}. Ces résultats subsistent-ils sans la première hypothèse ?

Soient {n\ge0} et {0\lt \lambda\lt 1}.

Déterminer les fonctions {f\in C^{n+1}(\mathbb{R})} telles que, pour tous {a,b}, {f(b)=\sum_{k=0}^n\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a) +\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\lambda b+(1-\lambda)a).}Distinguer {\lambda\ne1/(n+2)} et {\lambda=1/(n+2)}.

Montrer que {f(x)=e^{-1/x^2}} sur {\mathbb{R}^\star} se prolonge en une fonction {C^\infty} sur {\mathbb{R}}.