Si {x_1\lt x_2} sont deux racines de {A}, montrer que {[x_1,x_2]} contient une racine de {B}.

Justifier la convergence de {\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\ln|P(re^{it})|\,dt}et la calculer à l’aide de {P(0)} et des racines de module strictement inférieur à {r}.

Montrer que {\sum_{k=1}^n\binom nkP_k=2^{n-1}P_n\left(\frac{X+1}2\right).}

Montrer qu’il existe {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {X^n\mid P^k-f}.

Montrer qu’il existe {H\in\mathbb{C}[X]} tel que {(X-\alpha_i)^{n_i}\mid H-H_i} pour chaque {i}.

Montrer que ses racines sont des racines de l’unité.

b) En déduire qu’un {Q_i} a un degré au moins {2\lfloor(n+1)/2\rfloor}.

Écrire leur degré sous la forme {2^nq}, avec {q} impair, et raisonner par récurrence sur {n}.

b) Traiter {n=0}.

c) Soit {P\in\mathbb{R}[X]} de degré {d=2^nq}, {n\ge1}. On admet une extension {K} de {\mathbb{C}} dans laquelle {P} est scindé, de racines {x_1,\ldots,x_d} avec multiplicité. Pour {c\in\mathbb{R}}, poser {y_{ij}(c)=x_i+x_j+cx_ix_j}, {i\le j}.

d) Montrer que {Q_c=\prod\limits_{i\le j}(X-y_{ij}(c))} est réel.

e) Montrer qu’un {y_{ij}(c)} appartient à {\mathbb{C}}.

f) En déduire qu’un {x_i} appartient à {\mathbb{C}}.

Montrer qu’une racine {z} de {P} et une racine {t} de {P'} vérifient {|z-t|\le|z|}.

Montrer {M_P\le\lVert P\rVert}.

Si {a_k\ne0}, montrer que {r^k\le\binom nk|a_0|/|a_k|}.

Montrer que les modules minimaux des racines de {P'}, pour {P\in A_n}, sont uniformément bornés.

Montrer que si {\theta^{-1}} est un pôle de {f}, alors {a_0=1} et {n} est pair.

Est-ce une racine de {B=(P')^2+(Q')^2} ?

Que dire si {z} est racine multiple de {A} ?

b) Calculer les {G_n} pour {\varphi(P)(x)=\int_0^xP(t)\,dt}.

c) Si tout minimum local de {P} en {a} impose {\varphi(P)(a)=0}, montrer {\varphi(P)=QP'} pour un {Q} fixé.

d) Si la condition devient {\varphi(P)(a)\ge0}, montrer {\varphi(P)=QP'+RP''} avec {R\ge0} sur {\mathbb{R}}.

e) Donner une preuve directe de la formule du b).

Pour des entiers {\tau_1,\ldots,\tau_s}, construire une fonction {g} comme en a) telle que {\prod\limits_jP(z+\tau_j)=g(z)^s} près de l’infini.

En déduire {P=Q^s} avec {Q(k)\in\mathbb{Z}} pour tout {k\in\mathbb{Z}}.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que {Q\mid P_n}.

Montrer qu’il existe des entiers {s_0,\ldots,s_n} tels que {X^n=\sum\limits_{k=0}^ns_kP_k}.

Montrer qu’il possède une racine complexe de module strictement inférieur à un.

Pour {P\in\mathbb{C}[X]} unitaire de degré {n}, montrer {P=\sum\limits_{k=0}^nP(x_k)P_k} et {1=\sum\limits_{k=0}^nP(x_k)/y_k}. Montrer que, si {x_{k+1}-x_k\ge1} pour tout {k\lt n}, alors {\max_k|P(x_k)|\ge n!/2^n}.

Montrer {P=Q}.

Montrer que {R=\sum\limits_{k=1}^n\lambda_k/(X-a_k)} admet une primitive rationnelle si et seulement si tous les {\lambda_k} sont nuls.

2) Même question pour les fractions rationnelles {F\in\mathbb{C}(X)}.

Poser {A=\left\{z:\operatorname{Re}z=-1/2\right\}}, {B=\left\{z:|z|=1\right\}} et {C=\left\{z:|z+1|=1\right\}}.

Montrer que {P_n} a {2n} racines dans chacun de ces ensembles et que ces racines sont distinctes.

Trouver tous les couples {(f,g)} de tels polynômes vérifiant {f^2+g^2=1}.

Si {x\lt y} sont deux racines de {A}, montrer que {B} a une racine dans {[x,y]}.

Montrer que le polynôme obtenu en prenant les parties réelles des coefficients de {P(X+ia)} est scindé sur {\mathbb{R}}.

Montrer qu’il existe une infinité d’entiers {n} tels que {F(n)} ne soit pas un nombre premier.

Montrer {\lVert L(f)\rVert_\infty\le\lVert \phi\rVert_\infty\lVert f\rVert_\infty} et étudier l’égalité.

Montrer {A\cap]2,\infty[=\varnothing}.

Montrer la même propriété pour {k=5}.

Montrer que {f} n’est pas le quotient de deux polynômes.

Montrer que {N_r(f)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f'(re^{i\theta})}{f(re^{i\theta})}re^{i\theta}\,d\theta.}

Montrer que {f} et {f+g} ont le même nombre de racines, comptées avec multiplicité, dans ce disque.