Sur {E=\ell^2(\mathbb{N},\mathbb{C})}, soient {a\ne0}, {b\in\mathbb{C}} et {T_{a,b}(u)_n=au_{n+1}+bu_n}.

Déterminer les {\lambda} tels que {T_{a,b}-\lambda I} ne soit pas bijectif.

1) Montrer {\lVert x\rVert_\infty\leq\lVert x\rVert_2\leq\sqrt n\lVert x\rVert_\infty}.

2) Si {\lVert x\rVert_\infty\leq\lVert Ax\rVert_2} pour tout {x}, montrer qu’il existe {x\ne0} tel que {\sqrt n\lVert x\rVert_\infty\leq\lVert Ax\rVert_2}.

3) Montrer que {\lVert x\rVert_{p'}\leq\lVert x\rVert_p} pour {1\lt p\leq p'\leq\infty}.

1) Déterminer les constantes optimales dans {\lVert x\rVert_2\leq C\lVert x\rVert_\infty} et {\lVert x\rVert_\infty\leq C'\lVert x\rVert_2}.

2) Si {\lVert Ax\rVert_2\geq\lVert x\rVert_\infty}, montrer qu’il existe {x} tel que {\lVert Ax\rVert_2\geq\sqrt n\lVert x\rVert_\infty}.

3) Déterminer la distance {d(E,F)=\inf_f\lVert f\rVert\lVert f^{-1}\rVert} entre {\ell_2^n} et {\ell_\infty^n}.

Montrer qu’il n’existe pas de projection linéaire continue de l’espace des fonctions bornées sur {[0,1]} sur celui des fonctions continues, tous deux munis de la norme uniforme.

1) Montrer {\lVert Ax\rVert\leq\lVert A\rVert\lVert x\rVert} et {\lVert AB\rVert\leq\lVert A\rVert\lVert B\rVert}.

2) Montrer {\lVert A\rVert_2=\sqrt{\rho(A^TA)}}.

3) Si {AX=b}, {AX'=b'}, montrer {\lVert X-X'\rVert/\lVert X\rVert\leq C(A)\lVert b-b'\rVert/\lVert b\rVert}, avec {C(A)=\lVert A\rVert\lVert A^{-1}\rVert}.

4) L’inégalité est-elle optimale ?

5) Pour la tridiagonale de diagonale {1} et de sous-diagonales {-1/2}, déterminer les éléments propres et calculer {C(A)}, puis son équivalent.

Pour toute norme sur {\mathbb{R}^n}, montrer qu’il existe une base de vecteurs unitaires dont les formes linéaires coordonnées ont toutes une norme d’opérateur égale à {1}.

Soit {(A_n)\subset SL_2(\mathbb{R})} bornée et {B_n=A_n\cdots A_1}.

Si {n^{-1}\ln N(B_n)\to\gamma>0} pour une norme matricielle {N}, montrer qu’il existe {v\ne0} tel que {n^{-1}\ln\lVert B_nv\rVert_2\to-\gamma}.

Soient {h_1,h_2} des isométries d’une même norme sur un espace réel de dimension finie. Leur commutateur commute avec {h_1,h_2}.

Montrer que l’espace de leurs points fixes communs possède un supplémentaire stable par {h_1,h_2}.

a) Montrer que {\langle X,Y\rangle=\operatorname{tr}(X^TY)} est un produit scalaire ; noter {\lVert \cdot\rVert_F} sa norme.

b) Montrer que {L(M):X\mapsto MX} est un morphisme d’algèbres injectif.

c) Montrer que {\lVert L(M)\rVert_F\le\lVert M\rVert_2} pour les normes subordonnées.

d) Montrer que {\lVert M^T\rVert_2=\lVert M\rVert_2}.

a) montrer que {\lVert e^{iA}-e^{iB}\rVert\le\lVert A-B\rVert} si {A,B} sont symétriques réelles ;

b) généraliser aux matrices hermitiennes complexes.

a) Montrer qu’il s’agit d’une norme sur {\mathbb{R}^n}.

b) Montrer l’inégalité de Hölder.

c) Dessiner sa boule unité dans {\mathbb{R}^2} pour plusieurs {p}.

Si toutes les valeurs propres de {A\in M_n(\mathbb{C})} ont un module {\lt 1}, construire une norme de {\mathbb{C}^n} dont la norme subordonnée de {A} soit {\lt 1}.

a) Trouver {d,c(d)} tels que {\lVert f*g\rVert_2\le c(d)\lVert f\rVert_{h_d}\lVert g\rVert_2}.

b) Déterminer tous les {d} possibles.

c) Pour {f} lisse périodique, déterminer les {d} avec {\lVert f\rVert_{h_d}\lt \infty}.

d) Calculer {\lVert f*g\rVert_{h_d}} pour {f,g} lisses.

1) {F} est-elle injective ?

2) Quelle est son image ?

Soient {m,n\ge1}, {F\subset\mathbb{R}^n} finie, {x\notin F} et {f:F\to\mathbb{R}^m} une application {1}-lipschitzienne pour les normes euclidiennes.

Montrer qu’elle se prolonge en une application {1}-lipschitzienne sur {F\cup\left\{x\right\}}.

1) Montrer qu’il existe {C,R_0>0} tels que {|\left\{x\in\mathbb{Z}^n:\lVert x\rVert\le r\right\}|\le Cr^n} pour {r\ge R_0}.

Un plongement grossier {f:\mathbb{Z}^n\to\mathbb{Z}^m} vérifie {\forall a>0,\ \exists b>0,\quad \lVert x-y\rVert\le a\Longrightarrow\lVert f(x)-f(y)\rVert\le b,}{\forall b>0,\ \exists a>0,\quad \lVert f(x)-f(y)\rVert\le b\Longrightarrow\lVert x-y\rVert\le a.}

2) Montrer qu’il existe {\rho:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}_+} tendant vers {+\infty} et {\mu>0} telles que {\rho(\lVert x-y\rVert)\le\lVert f(x)-f(y)\rVert\le\mu\lVert x-y\rVert}.

3) Montrer que {m\ge n}.

4) Adapter pour {f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m}.

1) Pour {x_{k+1}=F(x_k)}, montrer que {x_k\to x^\star}.

2) Pour {I\subset\left\{1,\ldots,n\right\}}, on définit {F_{|I}} en remplaçant les coordonnées d’indice {i\in I} par {F(x)_i} et en conservant les autres.

Montrer que {F_{|I}} est {1}-lipschitzienne.

3) Si chaque indice appartient à une infinité des {I_k}, montrer que la suite {x_{k+1}=F_{|I_k}(x_k)} converge vers {x^\star}.

1) Montrer qu’il existe une norme stricte sur {\mathbb{R}^n} pour laquelle les éléments de {G} sont des isométries.

2) Si {G} stabilise un convexe compact non vide {K}, montrer qu’il a un point fixe commun dans {K}.

3) Montrer qu’il existe un produit scalaire pour lequel tous les éléments de {G} sont des isométries.

a) Exprimer {\lVert H\rVert_{op}} à l’aide de {Q_H}.

b) Comment déterminer la norme euclidienne d’opérateur d’une matrice rectangulaire {A\in M_{m,n}(\mathbb{R})} ?

c) Pour une matrice {A=(a_{jk})} de coefficients positifs ou nuls, indexée par deux ensembles finis non vides {J,K}, supposons {\sum\limits_ka_{jk}\le C_1} et {\sum\limits_ja_{jk}\le C_2}.

Montrer {\lVert A\rVert_{op}\le\sqrt{C_1C_2}}.

d) Pour {A_n} de diagonale nulle et de coefficients {1/(j-k)^2} hors diagonale, déterminer {\lim\lVert A_n\rVert_{op}}.

a) Pour {0\lt \alpha\le1}, montrer que {\lVert f\rVert_\alpha=\sup_x|f(x)|+\sup_{x\ne y}|f(x)-f(y)|/|x-y|^\alpha} est une norme sur {E}.

b) Montrer que {F=E\cap C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} est fermé pour {\lVert \cdot\rVert_1}.

Soit {E} l’espace des suites réelles nulles à partir d’un certain rang, et {T\in L(E)} continu pour les normes {\lVert \cdot\rVert_1} et {\lVert \cdot\rVert_\infty}.

Montrer sa continuité pour {\lVert \cdot\rVert_2}.

a) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ce soit un produit scalaire, de norme associée {\lVert \cdot\rVert_a}.

b) Si {a,b} satisfont cette condition, caractériser l’équivalence des normes {\lVert \cdot\rVert_a,\lVert \cdot\rVert_b}.

a) Montrer {d_f(x,y)\le\lVert x-y\rVert/2}.

b) Montrer que {f} est linéaire si et seulement si {d_f=0}.

c) Construire une telle isométrie non linéaire non surjective.

d) Si {f} est surjective, montrer qu’elle est linéaire.

Pour {M\in M_n(\mathbb{R})}, on pose {\lVert M\rVert_\infty=\sup_{X\ne0}\lVert MX\rVert_\infty/\lVert X\rVert_\infty}.

Montrer que {\lVert M\rVert_\infty=\max_i\sum\limits_j|m_{ij}|}.

1) Montrer que {H_s^\rho(X)} est fini et décroît avec {\rho}.

2) Montrer que {H_s(X)=\sup_{\rho>0}H_s^\rho(X)=\lim_{\rho\downarrow0}H_s^\rho(X)} décroît avec {s}.

3) Calculer {H_0(X)} et {H_s(X)} pour {s>n}.

4) Comparer {H_s(X+v)} et {H_s(X)}.

5) Comparer {H_s(\lambda X)} et {H_s(X)} pour {\lambda>0}.

6) Si {d(X,Y)>0}, montrer {H_s(X\cup Y)=H_s(X)+H_s(Y)}.

7) Si {H_s(X)\lt \infty}, montrer {H_t(X)=0} pour {t>s}.

8) Si {H_s(X)>0}, montrer {H_t(X)=+\infty} pour {0\le t\lt s}.

a) Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} {k}-lipschitzienne, avec {k\ge0}.

i) Montrer que {f} est continue.

ii) Si {k\lt 1}, montrer qu’elle possède un unique point fixe.

iii) Donner une fonction {1}-lipschitzienne sans point fixe.

b) Soient {E=\mathbb{R}^d} muni d’une norme et {f:E\to E} {1}-lipschitzienne. Soit {\Omega=\left\{x:(f^n(x))_{n\ge0}\text{ est bornée}\right\}}.

Montrer que {\Omega=\varnothing} ou {\Omega=E}.

c) Pour {E=\mathbb{C}} et {f(z)=az+b}, caractériser la propriété {1}-lipschitzienne, puis, sous cette condition, {\Omega=E}.

a) Soit {E=C^0([0,1],\mathbb{R})} et {\lVert f\rVert_p=(\int_0^1|f|^p)^{1/p}} pour {p\ge1} entier.

i) Montrer que {\lVert \cdot\rVert_2,\lVert \cdot\rVert_4} sont des normes.

ii) Montrer {\lVert f\rVert_4\ge\lVert f\rVert_2}.

iii) Soit {f_n} nulle sur {[0,1/(2n)]}, égale à {x^{-1/4}} sur {[1/n,1]}, et affine entre ces deux intervalles.

Comparer ses deux normes et conclure.

b) Soient {(X_n)} des signes indépendants uniformes. Pour {a=(a_k)} réel et {p\ge2}, posons {N_{n,p}(a)=(\mathbb E(|\sum\limits_{k=1}^na_kX_k|^p))^{1/p}}.

i) Calculer {N_{n,2}(a)}.

ii) Exprimer {N_{n,4}(a)^4} en fonction de {N_{n,2}(a)}.

Pour un polynôme complexe non constant {P}, montrer que {z\mapsto|P(z)|} possède un minimum sur {\mathbb{C}}.

a) Montrer que {\lVert x+y\rVert_1+\lVert x-y\rVert_1=2(\lVert x\rVert_1+\lVert y\rVert_1)} si et seulement si {x_ky_k=0} pour tout {k}.

b) Soit {f\in\mathcal L(\mathbb{R}^n)} préservant cette norme.

Montrer que sa matrice {A} est une matrice de permutation signée : {a_{ij}=\varepsilon_j\delta_{i,\sigma(j)}}, avec {\sigma} une permutation et {\varepsilon_j\in\left\{-1,1\right\}}.

a) Si {p\in[1,2]} et {\rho(t)\le Ct^2} pour un {C>0} et tout {t}, montrer que {p=2}.

b) Pour {p=2}, montrer qu’une telle constante {C} existe.

a) Montrer que c’est une norme.

b) Montrer qu’il existe {a>0} tel que {\lVert f\rVert_\infty\le a\lVert f\rVert}.

c) Cette norme et la norme uniforme sont-elles équivalentes sur {E} ?

a) Soient {f,g\in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})} à dérivées bornées.

Montrer que {h=\min(f,g)} est lipschitzienne.

Est-elle nécessairement {C^1} ?

b) Pour {f:[0,1]\to\mathbb{R}} lipschitzienne, montrer que {\int_0^1\cos(2\pi nt)f(t)dt\to0}.

c) Prolonger une fonction {k}-lipschitzienne sur un segment {I} en une fonction {k}-lipschitzienne sur {\mathbb{R}}.

d) Plus généralement, prolonger une fonction {k}-lipschitzienne {f:A\to\mathbb{R}}, pour {A\subset\mathbb{R}^n} non vide, à tout {\mathbb{R}^n}.

Le rayon spectral {f(A)=\max_{\lambda\in\operatorname{Sp}_{\mathbb{C}}(A)} |\lambda|} est-il une application lipschitzienne sur {M_n(\mathbb{R})} ?

Soit {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} {1}-lipschitzienne, {\lambda\in]0,1[} et {a\in\mathbb{R}}.

Montrer qu’il existe une unique application lipschitzienne {F} telle que {F(x)=f(x)+\lambda F(x+a)} pour tout {x}.

Montrer qu’un polygone à {n} sommets inscrit dans le cercle unité est d’aire maximale si et seulement s’il est régulier.