Déterminer l’espérance {M_n} du nombre de tirages nécessaires pour voir tous les bulletins et donner un équivalent.

Montrer que la permutation obtenue est uniforme.

Montrer {\mathbb{P}(S_n>0\text{ pour tout }n\geq1)>0}.

2) Montrer {u_n(1)=c}.

3) Montrer {|u_n(2)-c|\leq e^{-\lambda_2n}} pour un {\lambda_2>0}.

4) Montrer {0\lt (1-\lambda)^{p-1}(1+(p-1)\lambda)\lt 1} pour {p\geq2}.

5) Montrer {u_n(p)-c=O(e^{-\lambda_pn})} pour tout {p\geq2}.

Montrer que la probabilité que personne ne soit voisin de son partenaire est {p_n=\frac1{n!}\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{2n}{2n-k}\binom{2n-k}{k}(n-k)!.}

b) Pour {Y} uniforme sur {\mathfrak S_n}, calculer {\mathbb{P}(Y\in D_n\mid Y\text{ paire})}.

b) Montrer que {\mathbb{P}(A_n\ge B_n)\ge1/2}.

c) Trouver la limite de {\mathbb{P}(A_n\lt B_n)}.

Trouver les {n\ge1} maximisant la probabilité de gain.

Montrer que {X_m} converge en loi vers la loi uniforme.

En déduire une variable décomposable {X} dont {X^2} ne l’est pas.

Déterminer la plus grande valeur de {\mathbb{P}(S_{2n}>n)}, {n\ge1}.

b) Montrer que {\mathbb{P}(|A|\ge(1/2+\varepsilon)n)\to0}.

c) Donner la loi de l’indicatrice d’appartenance de {i} à {A}.

d) Calculer {\mathbb{P}(A\subset B)} et commenter.

Noter {Q(p)} la probabilité d’un chemin rouge de gauche à droite, sans déplacement diagonal.

Que dire de {Q} ?

Caractériser le fait que la hauteur de l’arbre soit presque sûrement finie.

Montrer que {N(\lambda_1u_1,\ldots,\lambda_nu_n)\le N(u_1,\ldots,u_n)} pour tous {\lambda_i\in[-1,1]}.

Déterminer {\mathbb{P}(\tau=n)} et un équivalent lorsque {n\to\infty}.

Pour {Y} indépendante de {X} et de même loi, calculer {\mathbb E(|X\mathbin\Delta Y|)}.

2) Montrer que {\mathbb{P}(AA=G)\to1}.

2) Pour tout {x>0}, {\mathbb{P}(X_1>xt)/\mathbb{P}(X_1>t)\to x^{-\alpha}} quand {t\to\infty}, et {\mathbb{P}(X_1>t)>0} pour tout {t>0}.

Que peut-on dire du lien entre les deux suites ?

Montrer que {p_d\to0} lorsque {d\to\infty}.

Montrer qu’il existe {c,C_1,C_2>0} tels que, pour tout {u>0}, {C_1e^{-cu}\le\mathbb{P}\left(\sup_{n\ge1}S_n\ge u\right)\le C_2e^{-cu}.}

Montrer que {\mathbb{P}(X\ge a)\le e^{-sa}\mathbb E(e^{sX})} pour tout {a>0}.

Montrer que, pour tout {t>0}, {\mathbb{P}(|S_n-\mathbb E(S_n)|\ge t)\le2e^{-t^2/(2n)}.}

Montrer que {d(A,B)=\frac12\sum\limits_{x\in E}|A(\left\{x\right\})-B(\left\{x\right\})|}.

Pour {b\ge1} et {0\le i\le b}, calculer {\widehat p_i=\mathbb{P}(\tau_0^i\lt \tau_b^i)} en fonction de {\gamma_0=1} et {\gamma_k=\prod\limits_{j=1}^k(1-r_j)/r_j}. Traiter aussi le cas {b=0}.

Déterminer la probabilité {p_k} d’un arrêt en {0}.

Déterminer la probabilité {p_{n,k}} de choisir le meilleur lieu.

Montrer qu’il existe {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} telle que, pour tout {\varepsilon>0}, {\mathbb{P}\left(\sup_{t\in\mathbb{R}}|f_n(t)-f(t)|\ge\varepsilon\right)\longrightarrow0.}

ii) les {Y_n} sont identiquement distribuées et positives ;

iii) {M,N} sont à valeurs dans {\mathbb{N}} ;

iv) {M\preceq_cN} et {X_1\preceq_cY_1}.

On pose {S=\sum\limits_{k=1}^MX_k}, {T=\sum\limits_{k=1}^NY_k}, les sommes vides valant zéro.

Montrer que {S\preceq_cT}.

Déterminer, en fonction de ces lois, la plus petite constante {K_{\mathcal L,\mathcal L'}} telle que {\mathbb E(XY)\le K_{\mathcal L,\mathcal L'}} pour tout couple de variables à valeurs dans {E}, de lois respectives {\mathcal L,\mathcal L'}.

À quelle condition sur {a,b} les hypothèses précédentes sont-elles vérifiées ?

b) Montrer que, pour {u\le2}, {e^u\le1+u+(u^2/2)(1+\max(0,u))}.

c) Montrer, pour {0\le t\le2}, {\mathbb E(e^{tX_1})\le1+\frac{\sigma^2t^2}2(1+t) \le e^{\sigma^2t^2(1+t)/2}.}d) En déduire {\mathbb E(e^{tS_n})\le e^{n\sigma^2t^2(1+t)/2}}.

e) Pour {0\lt \alpha\lt 6\sigma^2}, montrer {P(S_n/n\ge\alpha)\le e^{-n\alpha^2/(6\sigma^2)}}.

2) Peut-on truquer le dé utilisé pour que {Y} soit uniforme sur {\left\{2,\ldots,12\right\}} ?

2) Pour {V=\min\left\{k\ge2:Z_{k-1}=Z_k=1\right\}}, calculer les probabilités aux temps {1,2,3,4}.

Montrer {\mathbb{P}(V>n)\le p(2-p)\mathbb{P}(V>n-2)}, en déduire {\mathbb{P}(V=\infty)=0}, trouver une récurrence linéaire pour sa loi, puis calculer {\mathbb E(V)}.

Trouver des {\beta_k} non tous nuls avec {\sum\limits_k\mathbb{P}(Z=\alpha_k)\beta_k=0} et {\sum\limits_k\mathbb{P}(Z=\alpha_k)\alpha_k\beta_k=0}.

En déduire un polynôme {Q} de degré au plus {m-1} tel que {Q(Z)\ne0}, {\mathbb E(Q)(Z)=\mathbb E(ZQ(Z))=0}.

En déduire Bienaymé–Tchebychev.

Si {\mathbb E(X)=0}, montrer que cette borne vaut {e^{f(\lambda(b-a))}}.

En déduire en général {\mathbb E(e^{\lambda X})\le\exp(\lambda \mathbb E(X)+\lambda^2(b-a)^2/8)}, puis {\mathbb{P}(|X-\mathbb E(X)|\ge\varepsilon) \le2e^{-2\varepsilon^2/(b-a)^2}}.

Si {n} est pair, comparer les probabilités de {A} : les {n/2} premiers tirages donnent deux rouges ; et de {B} : les {n/2-1} premiers donnent deux rouges, puis les deux suivants donnent chacun une rouge et une noire.

i) Expliciter {\sigma\tau_{k,\ell}\sigma^{-1}}.

ii) Déterminer les permutations commutant avec toutes les autres.

i) Montrer sa stabilité par composition et inverse.

ii) Si {\sigma\ne\operatorname{id}}, montrer {2|Z_\sigma|\le n!}.

i) Montrer {p_n\le7/12} pour {n\ge3}.

ii) Déterminer {p_3}.

i) Montrer {|C_\sigma|=n!/|Z_\sigma|}.

ii) Montrer que deux ensembles {C_\sigma,C_\tau} sont égaux ou disjoints.

i) Montrer {X_i\in[-A/k,A/k]} presque sûrement.

ii) Montrer {V(X_i)\le(A/k)^2} et majorer {V(Y)}.

iii) Conclure pour une variable bornée infiniment divisible.

Montrer que la probabilité d’un spectre simple est au moins {3p^3-2p^4}.

ii) En déduire {\mathbb E(S_n^4)}.

iii) Pour des réels {x_k>0} et {B_{n,p}=\bigcup_{k=n}^{n+p}\left\{|S_k|\ge x_k\right\}}, montrer {\mathbb{P}(B_{n,p})\le3\sum\limits_{k=n}^{n+p}k^2/x_k^4}.

ii) Montrer que {(Y_n)} converge presque sûrement.

i) Pour {t_0>0}, trouver une fonction affine {g\le f} telle que {g(t_0)=f(t_0)}.

ii) Si {Z} et {f(Z)} sont d’espérance finie, montrer {f(\mathbb E(Z))\le \mathbb E(f(Z))}.

Calculer cette fonction pour une loi de Poisson de paramètre {\lambda}.

i) Montrer que {\Phi_X} est positive ou nulle et convexe sur son domaine.

ii) Montrer {\Phi_X(\mu)=0} pour {\mu=\mathbb E(X)}.

iii) Montrer qu’elle est décroissante pour {\theta\lt \mu} et croissante pour {\theta>\mu}.

Calculer {\mathbb{P}(A\cap B=\varnothing)}.

Existe-t-il une constante universelle {a>1/2} que l’on puisse substituer à {1/2} ?

Majorer la probabilité d’obtenir au moins {510000} fois pile.

Quelle est la probabilité qu’ils détectent un événement pendant la même seconde ?

Calculer {P(A=\left\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\right\})}.

Quelle est la valeur minimale de {\mathbb E((X-Y)^2)} ?

Majorer {P(X=Y)} et construire un couple atteignant la majoration.

b) Calculer la probabilité qu’elle soit diagonalisable ; préciser spectre et espaces propres.

c) Calculer {P(M^8=I_2)}.

d) Calculer la probabilité qu’il existe {f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}} admettant un minimum local strict en {(0,0)} et de Hessienne {M} en ce point.

b) Montrer que {\mathbb E(\operatorname{tr}M^4)=O(n^3)}.

c) Si {\lambda_1} est sa plus grande valeur propre, montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, {P(\lambda_1\ge n\varepsilon)\to0}.

Si {\langle Ax,x\rangle\ge a\lVert x\rVert^2}, montrer que la plus grande valeur propre {\lambda_1} de {A} vérifie {\lambda_1\ge a}.

b) Soit {M=(m_{ij})} symétrique, avec {(m_{ij})_{i\le j}} indépendantes de loi {\mathcal B(1/2)}.

Montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, {P(\lambda_1\ge\tfrac n2(1-\varepsilon))\to1.}

Déterminer le nombre moyen de blanches restantes.

Quelle est la probabilité que {M(X)} soit inversible ?

2) Même question pour {A_\lambda X^3+B_\lambda X^2+C_\lambda X+D_\lambda}.

Pour {t\in\mathbb{R}}, déterminer {\lim_n\mathbb E(e^{tX_n})}.

2) Soit {X} infiniment divisible, non nulle, telle que {\mathbb E(X)=0} et {\mathbb E(X^2)\lt \infty}.

Montrer que {\mathbb{P}(X>A)>0} pour tout {A>0}.

Déterminer {\lim_n\mathbb{P}(B_n\ne0)}.

2) Donner une approximation du nombre d’indices {i} tels que {t_i\le N}.

Pour la suite, on suppose {\theta=2\pi/3}.

3) Calculer {\mathbb E(\log\lVert U_{t_1}\rVert)}.

4) Déterminer la loi de {\lVert U_{t_2}\rVert}.

5) Déterminer celle de {\lVert U_{t_k}\rVert} pour {k\ge1}.

6) Déterminer {\mathbb E(\log\lVert U_{t_k}\rVert)}.

Quelle est la probabilité que le match se termine par un tie-break ?

Donner un équivalent de {\mathbb{P}(A_n)}.

Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair de faces ?

Montrer que {Y,Z} sont indépendantes.