Montrer sa continuité sur le disque fermé.

Justifier la définition de {u(t,x)=\frac1{\sqrt{4\pi t}}\int_{\mathbb{R}}e^{-(x-y)^2/(4t)}f(y)\,dy,\quad t>0,}et montrer son prolongement uniformément continu à {\mathbb{R}_+\times\mathbb{R}}.

Déterminer les {\lambda\in\mathbb{C}} tels que {\widehat f=\lambda f} possède une solution non nulle.

Montrer qu’il existe {a,b\ge0} avec {f(x)\le(ax+b)e^{-x}}.

Montrer que {f*g} est dérivable et calculer sa dérivée.

Montrer que {I(\lambda)=\int_a^bf(t,\sin(\lambda t))\,dt} admet une limite en {+\infty}, et la déterminer.

Étudier l’existence et l’unicité de {g} continue telle que {g(x)-\int_0^1K(x,t)g(t)\,dt=f(x)}.

Montrer que {f} est de classe {C^\infty}.

b) Calculer {I(p)=\int_0^\infty e^{-pt}dt} pour {p>0}.

c) Justifier l’existence de {I^{(k)}} pour tout {k\in\mathbb{N}}.

d) En déduire {\int_0^\infty g_n(t)dt} pour {n\in\mathbb{N}}.

e) Retrouver le résultat par intégration par parties sur {[\varepsilon,x]}, avec {0\lt \varepsilon\lt x}.

Avec sa décomposition en éléments simples {F(X)=\sum\limits_{z,j}a_{z,j}/(X-z)^j}, montrer {\int_{\mathbb{R}}F=i\pi\sum\limits_z\operatorname{sgn}(\operatorname{Im}z)a_{z,1}}.

i) Montrer que {\Delta_t} est croissante.

ii) Justifier l’existence de {f'(t^+)=\lim_{x\to t^+}\Delta_t(x)}.

iii) Pour {a_t(x)=f(t)+f'(t^+)(x-t)}, montrer que {f(x)=\sup_{t\in I}a_t(x)}.

i) Montrer qu’une fonction log-convexe est convexe.

ii) Pour {f\in C^2(\mathbb{R},\mathbb{R}_+^\star)}, montrer que la log-convexité équivaut à la convexité de {x\mapsto e^{\alpha x}f(x)} pour tout {\alpha\in\mathbb{R}}.

iii) Montrer que la somme de deux fonctions log-convexes est log-convexe.

i) Montrer que {\Gamma} est définie, {C^2} et strictement positive sur {\mathbb{R}_+^\star}.

ii) Montrer qu’elle est log-convexe.

iii) Montrer {\Gamma(x+n)=\Gamma(x)\prod\limits_{k=0}^{n-1}(x+k)} et {\Gamma(n+1)=n!}.

iv) Montrer {\ln n\le x^{-1}\ln(\Gamma(n+1+x)/\Gamma(n+1))\le\ln(n+1)}.

b) Si {g} est {C^1}, trouver un équivalent et un développement asymptotique de {\Phi} en {+\infty}.

b) Si {u,v} sont {C^2}, montrer que {\Delta u=\Delta v=0}.

c) Montrer que, pour {r>0}, {u(0,0)=(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}u(r\cos\theta,r\sin\theta)d\theta}.

d) On admet cette formule localement pour toute fonction {C^2} harmonique sur un ouvert. Soient {D} le disque unité ouvert, {C} son cercle frontière, {g} continue sur {D} et {f} continue sur {C}.

Montrer qu’il existe au plus une fonction {u} de classe {C^2} sur le disque fermé, de classe {C^2} sur {D}, telle que {\Delta u=g} sur {D} et {u=f} sur {C}.

Donner un développement de {\log\Gamma(n+1)} à {O(\log n)} près. En posant {\Psi=\Gamma'/\Gamma}, montrer que {\Gamma'(1)=-\gamma}. On admet ici {\Psi(n+1)=\log n+O(1/n)}.