Montrer {\int_0^\infty(f(x)-f(x+1))/f(x)\,dx=+\infty}.

Montrer {\int_0^\infty g^2=\int_0^\infty f^2}.

Déterminer les fonctions continues bornées {g} vérifiant {g(x)=\int_{\mathbb{R}}f(t)g(x-t)\,dt}.

Montrer qu’ils sont tous égaux à une fonction {f_0}, et que {\int_1^{+\infty}t^{-\theta}f_0(t)\,dt=+\infty}.

b) Trouver {A_0} et {B_0}.

c) Montrer qu’il existe une matrice de rotation {R(\theta_0)} telle que {(n+1)X_n=\sqrt2R(\theta_0)X_{n+1}}.

d) Exprimer {A_n} et {B_n} en fonction de {n}.

e) Trouver une condition pour que {A_n=B_n}.

f) Montrer qu’il existe {g_1,g_2\in C^0(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}_+)} distinctes telles que, pour tout {n\in\mathbb{N}}, {\int_0^\infty t^ng_1(t)dt=\int_0^\infty t^ng_2(t)dt}.

b)

i) Pour {A>0} et {g,h\in C^0([0,A],\mathbb{R})}, montrer {\int_0^A|gh|\le\frac1p\int_0^A|g|^p+\frac1q\int_0^A|h|^q.}ii) En déduire l’inégalité de Hölder {\int_0^A|gh|\le\left(\int_0^A|g|^p\right)^{1/p} \left(\int_0^A|h|^q\right)^{1/q}.}c)

i) On pose {u_n=\int_0^\infty t^nf(t)dt} et {I(a)=\int_0^\infty t^ae^{-t}dt} pour {a\ge0}.

Montrer que les {u_n} existent et qu’il existe {K>0} tel que {|u_n|\le K(p/q)^n I(nq)^{1/q}} pour tout {n}.

ii) En déduire que {\sum\limits_{n\ge1}|u_n|^{-1/n}} diverge.

d) Montrer la même divergence si {p=1}.

b) Montrer que {I(a)=J(a)}.

c) En déduire {I(a)=\frac{e^{-2a}}2\int_0^\infty(1+a/t^2)e^{-(t-a/t)^2}dt.}d) Montrer que {I(a)=\frac{\sqrt\pi}2e^{-2a}}. La valeur de l’intégrale de Gauss est donnée.

2) Montrer {\int_0^\infty g^2\le4\int_0^\infty f^2}.

3) Rappeler Cauchy–Schwarz et son cas d’égalité ; discuter l’optimalité de la constante {4}.

Montrer que {f(x)=o(1/x)} en {+\infty}.

Montrer que {y^a-y^b=x^a-x^b} admet deux solutions, sauf pour une valeur {x_0} à déterminer.

c) Posons {f(x_0)=x_0} et, pour {x\ne x_0}, soit {f(x)} l’autre solution.

Montrer que {f} est décroissante et continue.

d) Pour {x\in]0,1[}, montrer que {x^{b-a}=(1-t^a)/(1-t^b)} admet une unique solution {t\in]0,1[}, notée {g(x)}.

e) Calculer {I=\int_0^1-\ln(f(x))\,dx/x}, en utilisant le changement de variable {t=g(x)}.

Poser {\psi=\varphi+I_\lambda}.

Montrer que {\sup\psi\ge\sup\varphi}.

Si {\psi\ge0}, montrer que {\varphi\ge0}.

Donner un équivalent de {f(n)}.

2) Si {f'(x)/f(x)\to-\infty}, déterminer la limite du même quotient.

2) Si {a,b>1}, montrer que {|f*g(x)|\le C_3/(1+|x|)^{\min(a,b)}} pour une constante {C_3>0}.

Peut-on avoir {\int_{\mathbb{R}}f=(b-a)^2/2} ?

b) Montrer que {\sum\limits_nf_n} converge sur un intervalle {[x_0,+\infty[} convenablement choisi.

Montrer la convergence de {\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x,y)\,dx\,dy}, où {\varphi(x,y)=(h(x)-h(y))/(x-y)} si {x\ne y}, et {\varphi(x,x)=h'(x)}.