Pour {f(x)=4ax^3+3bx^2+2cx}, montrer qu’il existe {x\in[0,1]} tel que {f(x)=a+b+c}.

Si {f\in C([0,1],\mathbb{R})} vérifie {xf(y)+yf(x)\leq1} pour {x,y\in[0,1]}, montrer {\int_0^1f\leq\pi/4}.

Pour une fonction monotone sur {[-\pi,\pi]}, continue par morceaux, poser {c_n=(2\pi)^{-1}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}\,dx}.

Montrer que {(nc_n)_{n\in\mathbb{Z}}} est bornée.

1) Montrer {I(1/n)+f(1)/n\leq r_n\leq I(1/n)+f(1/n)/n}.

2) Donner une condition suffisante de convergence de {(r_n)}.

3) Pour {f(x)=(x^2-1)/4-\frac12\ln x}, calculer {r_n} et en déduire la limite de {(n!!)^{1/n}/n} sans Stirling.

1) Si {|u|,|v|,|u+v+uv|\lt 1}, montrer {f((1+u)(1+v))=f(1+u)+f(1+v)}.

2) Pour {h(X)=\prod\limits_{j=1}^n(X-a_j)}, {a_j\ne0}, montrer {\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\ln|h(re^{it})|\,dt=\ln|h(0)|+\ln\frac r{|a_1\cdots a_n|}}lorsque {r>3\max|a_j|}.

1) Énoncer Cauchy linéaire. On admet que {x'=\lambda+a(t)x^2}, {x(0)=0}, possède une unique solution sur {\mathbb{R}_+}.

2) Si {4\alpha\lambda\lt 1}, poser {r(t)=\sup_{0\lt s\lt t}x(s)/s} sur {]0,T^\star[}.

Montrer que {r} est positive, continue, prolongeable en {0}, qu’il existe {\mu\lt \alpha} tel que {r(t)\lt \lambda+\mu r(t)^2}, et que soit {x} est bornée, soit {T^\star=+\infty}.

a) Montrer que {f} est uniformément continue.

b) Montrer que {t^{-1}\int_0^tf} a une limite à l’infini.

Si {f:[0,1]\to\mathbb{R}} est croissante et continue par morceaux, montrer que {\int_0^1 f(x)e^{i\lambda x}\,dx=O(1/\lambda)} quand {\lambda\to+\infty}.

Soit {p} continue, {\pi}-périodique, non identiquement nulle, avec {\int_0^\pi p\ge0} et {\int_0^\pi|p|\le\pi/4}.

Montrer que {u''+pu=0} n’a pas de solution non identiquement nulle satisfaisant {u(t+\pi)=\lambda u(t)} pour un réel {\lambda\ne0}.

1) Pour {f} continue sur {[0,2\pi]}, montrer qu’il existe {x} tel que {f(x)\ge(2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}f(t)dt}.

2) Pour {z_1,\ldots,z_n\in\mathbb{C}}, montrer qu’il existe {I\subset\left\{1,\ldots,n\right\}} tel que {|\sum\limits_{j\in I}z_j|\ge\pi^{-1}\sum\limits_j|z_j|}.

1) Calculer cette variation si {f\in C^1([a,b])}.

2) Montrer que {V(f,[0,1])\lt \infty} si et seulement si {f=g-h} avec {g,h} croissantes.

Soient {I} un intervalle contenant {0} et {f\in C^1(I)}. On suppose {|f'(x)|\le C|f(x)|+A}, avec {A,C>0}.

Montrer que {|f(x)|\le|f(0)|e^{C|x|}+\frac AC(e^{C|x|}-1).}

Soit {f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}} uniformément continue, dont une primitive est bornée.

Supposons que, pour {x>0}, {|f(x)|\le\frac2{x^2}\int_0^x(x-y)|f(y)|dy.}Montrer que {f(x)\to0} lorsque {x\to+\infty}.

Quelles généralisations peut-on étudier ?

1) Pour {f} continue et {\varepsilon>0}, construire une jauge telle que {|y-x|\le\delta(x)} implique {|f(y)-f(x)|\le\varepsilon}.

2) Montrer que toute jauge admet une subdivision pointée fine.

3) Redémontrer le théorème de Heine.

4) On dit que {f} est HK-intégrable, d’intégrale {I}, si pour tout {\varepsilon>0} une jauge rend toutes ses sommes pointées fines à {\varepsilon} près de {I}.

Montrer l’unicité de {I}.

5) Pour {f} dérivable, montrer que {f'} est HK-intégrable et {\int_{HK}f'=f(b)-f(a)}.

a) Si cette quantité est finie et {I\subset J}, {|J|=2^m|I|}, montrer {|M_I(f)-M_J(f)|\le2m\lVert f\rVert}.

b) Supposons {\lVert f\rVert=1}, {M_{[0,1]}(f)=0}. Soient {F_k} les intervalles dyadiques inclus dans {[0,1]}, maximaux pour {M_I(f)>5k}, et {\Omega_k=\bigcup_{I\in F_k}I}.

Montrer {|\Omega_k|\le|\Omega_{k-1}|/3} pour {k\ge1}.

Soit {n\ge3} impair.

Déterminer les fonctions continues {f:[0,1]\to\mathbb{R}} telles que {\int_0^1f(x^{1/k})^{n-k}\,dx=k/n} pour {1\le k\le n-1}.

a) Déterminer sa limite et sa vitesse de convergence.

b) Si {f} est {1}-périodique et {C^2}, montrer {|S_n-\int_0^1f|\le C/n^2}.

c) Si elle est périodique et {C^3}, montrer une borne {C/n^3}.

d) Que dire si elle est périodique et {C^\infty} ?

1) Montrer que {(W_n)} converge.

2) Relier {W_{n+2}} à {W_n}.

3) Étudier la limite de {W_{n+1}/W_n}.

4) Montrer que {(n+1)W_{n+1}W_n} est constant.

5) Étudier {nW_n^2} et {\sqrt nW_n}.

6) Pour {0\le t\le\sqrt n}, montrer que {(1-t^2/n)^n\le e^{-t^2}\le(1+t^2/n)^{-n}.}

7) Montrer que {\int_0^{\sqrt n}(1-t^2/n)^n\,dt=\sqrt nW_{2n+1}}.

8) Montrer que {\int_0^{\sqrt{n/2}}(1-t^2/n)^n\,dt =\sqrt n\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin^{2n+1}s\,ds.}

9) Établir la convergence et calculer {\int_0^\infty e^{-t^2}\,dt}.

a) i) Soit un entier {m\ge2}.

Montrer que {\int_1^{m-1}\frac{dx}{\sqrt{x(m-x)}}\le \sum_{k=1}^{m-1}\frac1{\sqrt{k(m-k)}}.}ii) Calculer cette intégrale à l’aide du changement de variable {x=m/(1+t^2)}.

b) Soit {A_n\in\mathcal M_n(\mathbb{R})} de terme général {1/(i+j-1)}.

i) Montrer que {A_n\in S_n^{++}(\mathbb{R})}.

ii) Si {\lambda_n} est sa plus petite valeur propre, montrer qu’il existe {a,b>0} tels que {\forall n\ge1,\quad0\le\lambda_n\le\frac1n(a+b\ln n).}

c) Soient {\mu_n} la plus grande valeur propre et {X=(1,1/\sqrt2,\ldots,1/\sqrt n)^T}.

Montrer que {\langle A_nX,X\rangle\ge2\sum_{i=1}^n\frac1i\arctan\sqrt{i-1}.}

d) Montrer que, pour {P\in\mathbb{R}[X]}, {\int_{-1}^1P(t)\,dt=-i\int_0^\pi P(e^{i\theta})e^{i\theta}\,d\theta.}En déduire que, pour {Q=\sum\limits_{k=0}^da_kX^k}, {\int_0^1Q(t)^2\,dt\le\int_{-1}^1Q(t)^2\,dt\le\pi\sum_{k=0}^da_k^2.}

e) En déduire que {\mu_n\longrightarrow\pi}.

1) Déterminer les poids pour que {I_{\mathrm{app}}(P)=\int_{-1}^1P} pour tout {P\in\mathbb{R}_2[X]}.

2) Cette égalité reste-t-elle toujours vraie pour les degrés au moins {3} ?

3) Si {P} interpole {f} aux trois nœuds, montrer {\lVert f-P\rVert_\infty\le C\lVert f^{(3)}\rVert_\infty}, où {C=\frac16\sup_{[-1,1]}|x(x+2/3)(x-2/3)|}.

4) En déduire une borne sur {|I_{\mathrm{app}}(f)-\int_{-1}^1f|}.

1) Si {u_0\le a} et {u_n\le a+b\sum\limits_{k=0}^{n-1}u_k} pour {n\ge1}, montrer que {u_n\le ae^{bn}}.

2) Si {f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}} est continue et {f(t)\le a+b\int_0^tf(s)\,ds}, montrer que {f(t)\le ae^{bt}}.

1) Montrer que {\lVert f\rVert=(\int_0^1f^2)^{1/2}} est une norme sur {F}.

2) Montrer qu’il existe {C>0} tel que {\lVert u\rVert\le C\lVert u'\rVert} sur {E}.

3) Pour {f\in F} fixé, montrer que {J(u)=\frac12\int_0^1(u')^2-\int_0^1fu} est minorée sur {E}.

4) Montrer que {J} atteint son minimum en un unique {u_0}, à déterminer en fonction de {f}.

Soit {E=\left\{f\in\mathcal C^1([0,1],\mathbb{R}):f(0)=0,\ f(1)=1\right\}} et {A=\inf_{f\in E}\int_0^1|f'(x)-f(x)|\,dx.}Montrer que {A=1/e}.

Pour {k\in\mathbb{N}}, montrer que {\int_{-2}^2x^k\sqrt{4-x^2}\,dx} est un multiple entier de {2\pi}.

a) Pour {f\in C^1([0,1],\mathbb{R})}, montrer que {\int_0^1\cos(2\pi nt)f(t)dt\to0}.

b) Montrer que cela reste vrai si {f} est seulement lipschitzienne.

Soit {V=\left\{f\in C^1([0,1],\mathbb{R}):f(0)=0, f(1)=1\right\}}.

Trouver tous les réels {\alpha} tels que, pour toute {f\in V}, il existe {x\in[0,1]} vérifiant {f(x)+\alpha=f'(x)}.

On suppose {e=p/q\in\mathbb{Q}}.

Montrer que {q\int_0^1x^ne^x\,dx\in\mathbb{N}^\star}.

Conclure. Adapter la preuve pour montrer que {e^2\notin\mathbb{Q}}.

Soit {f:[0,1]\to\mathbb{R}_+} intégrable telle que {f(x)f(1-x)=1} pour tout {x\in[0,1]}.

Montrer que {\int_0^1f(x)\,dx\ge1}.

Soit {f\in C^1([0,1],\mathbb{R})} telle que {\int_0^1f(t)\,dt=0}.

Montrer que {\left|\int_0^1f(t)\,dt\right|\le\frac18\lVert f'\rVert_\infty.}

Soit {f\in C^2(\mathbb{R},\mathbb{R})} telle que {f,f',f''} soient bornées.

Montrer que {\sup_{x\in\mathbb{R}}\left|\frac{f(x+\varepsilon)-f(x)}\varepsilon-f'(x)\right|\longrightarrow0}lorsque {\varepsilon\to0}, {\varepsilon\ne0}.

Déterminer les {f\in C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})} telles que {f(x)=\frac n2\int_{x-1/n}^{x+1/n}f(t)\,dt\qquad(x\in\mathbb{R},n\ge1).}

a) Pour {\varphi\in C^2([a,b],\mathbb{R})} avec {|\varphi'|\ge1} et {\varphi''>0}, montrer {|\int_a^b\cos(\lambda\varphi(x))\,dx|\le4/\lambda} pour {\lambda>0}.

b) Si {|\varphi'|\ge\alpha>0} et {\varphi''>0}, montrer la borne {4/(\alpha\lambda)}.

c) Si {\varphi''\ge1}, montrer la borne {8/\sqrt\lambda}.

d) Pour {\varphi\in C^k([a,b],\mathbb{R})}, {k\ge1}, avec {\varphi^{(k)}\ge1}, trouver {C,\alpha>0} tels que l’intégrale ait module au plus {C/\lambda^\alpha}.

a) Montrer que {g} est deux fois dérivable et {g''=2f}.

b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que {g} soit bornée.