Question 1) Montrer l’existence et l’unicité de {X} tel que {AX=XA}, {A^{q+1}X=A^q}, {XAX=X}.

Question 2) Que dire si {A} est réelle ?

Question 3) L’application {\phi:A\mapsto X} est-elle continue ?

Question 4) Si {A_k\to A}, donner une condition nécessaire et suffisante pour que {\phi(A_k)\to\phi(A)}.

Question 1) Traiter {p=1} pour {K=\mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q}}.

Question 2) Si {\chi_A=\prod\limits_i(X-\lambda_i)^{\alpha_i}} est scindé sur {K}, décomposer {A} en blocs {\lambda_iI+N_i} nilpotents et montrer que {A} est toute puissante si et seulement si chaque bloc l’est.

Question 3) Définir le logarithme d’une matrice unipotente et montrer que l’exponentielle identifie matrices nilpotentes et unipotentes.

Question 4) En déduire que les unipotentes sont toutes puissantes.

Déterminer les morphismes d’algèbres de {C^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})} dans {M_n(\mathbb{R})}.

Question a) Déterminer les {r\in\mathbb{Q}} tels que {\cos(\pi r)} soit rationnel.

Question b) Si {z} annule un polynôme unitaire de {\mathbb{Z}[X]} et {Q\in\mathbb{Z}[X]}, montrer que {Q(z)} possède la même propriété.

Question a) Montrer que {\mathbb{C}^n=\bigoplus_kF_k}.

Question b) Montrer que la restriction à {F_k} a pour polynôme caractéristique {P_k}.

Question c) Décomposer {A=D+N} avec {D} diagonalisable, {N} nilpotente et {DN=ND}.

Question i) {\ker A=\ker A^2} ;

Question ii) il existe {M} tel que {M^m=A} ;

Question iii) pour tout {k\ge1}, il existe {M} tel que {M^k=A}.

Question a) À l’aide de la matrice compagnon, montrer que, pour {k\ge n}, {S_k+a_{n-1}S_{k-1}+\cdots+a_0S_{k-n}=0}.

Question b) Pour {1\le k\lt n}, montrer que {S_k+a_{n-1}S_{k-1}+\cdots+a_{n-k+1}S_1=-ka_{n-k}}.

Question a) Quels endomorphismes sont à la fois diagonalisables et cycliques ?

Question b) Si {u} est cyclique, montrer que son commutant est {K[u]}.

Question c) Montrer que tout endomorphisme est somme directe de restrictions cycliques à des sous-espaces stables.

Le groupe {\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q})} contient-il un élément d’ordre {5} ?

Pour {K=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}, montrer que la classe de similitude de {A\in M_n(K)} est fermée si et seulement si {A} est diagonalisable sur {\mathbb{C}}.

Soient {M_k\in M_n(\mathbb{C})} toutes semblables, et {\lVert M_k\rVert\to\infty} pour une norme quelconque.

Montrer qu’une sous-suite de {M_k/\lVert M_k\rVert} converge vers une matrice nilpotente.

Question 1) Montrer que {F_u(\lambda)} est un sous-espace stable par {u} et qu’il admet un supplémentaire stable par {u}.

Question 2) On écrit {\pi_u=(X-\lambda)^pQ}, avec {(X-\lambda)\wedge Q=1}.

Montrer que {E=F_u(\lambda)\oplus\ker Q(u)}.

On suppose de plus que {u} commute avec {v}. On note {p_\lambda} le projecteur sur {F_u(\lambda)} parallèlement à {\ker Q(u)}.

Question 3) Montrer que {p_\lambda} commute avec {v}.

Question 4) Montrer que {\operatorname{tr}(up_\lambda) =\lambda\operatorname{rg}(p_\lambda)=0}.

Question 5) En déduire que {u} est nilpotent.

Question 6) On suppose désormais {vw^2-w^2v=w}.

Montrer qu’il existe un entier impair {d} tel que {\pi_w=X^d}.

Question 1) Montrer que {M} est nilpotente si et seulement si {\operatorname{tr}(M^k)=0} pour tout {k\ge1}.

Question 2) Si {A(AB-BA)=0}, montrer que {AB-BA} est nilpotente.

Question 3) Même question si {A(AB-BA)=(AB-BA)A}.

Question 4) Soit {(M_k)} une suite de matrices toutes semblables, telle que {\lVert M_k\rVert\to+\infty}.

Montrer qu’il existe une extraction {\varphi} et une matrice nilpotente {N} telles que {M_{\varphi(k)}/\lVert M_{\varphi(k)}\rVert\to N}.

Question 1) Trouver les matrices TPK pour {n=1} et {K=\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{C}}.

Question 2) Soit {A\in M_n(K)} telle que {\chi_A=\prod\limits_{i=1}^k(X-\lambda_i)^{\alpha_i}}, les {\lambda_i} étant distincts dans {K} et les {\alpha_i} strictement positifs.

Montrer qu’il existe des matrices nilpotentes {N_i} telles que {A} soit semblable à {\operatorname{diag}(\lambda_iI_{\alpha_i}+N_i)_{1\le i\le k}}.

Montrer que {A} est TPK si et seulement si tous ces blocs le sont.

On appelle unipotente une matrice {A} telle que {A-I_n} soit nilpotente, et l’on pose {\ln A=\sum\limits_{p\ge1}(-1)^{p-1}(A-I_n)^p/p}.

Question 3) Justifier cette définition et montrer que l’exponentielle est une bijection des matrices nilpotentes sur les matrices unipotentes.

Question 4) Montrer que les matrices unipotentes sont TPK.

Question 5) Déterminer les matrices toutes-puissantes de {M_n(\mathbb{C})}.

Montrer que toute matrice de {GL_n(\mathbb{C})} admet une racine carrée.

Question a) Montrer que la suite est bien définie.

Question b) Montrer qu’elle est stationnaire de valeur ultime {d}, polynôme en {u}, avec {u-d} nilpotent et {f(d)=0}.

Question a) Si {A,B\in M_n(\mathbb{C})} commutent, montrer {e^{A+B}=e^Ae^B}.

Question b) Montrer {e^{PAP^{-1}}=Pe^AP^{-1}} pour {P} inversible.

Question c) Pour {\log A=\sum\limits_{k\ge1}\frac{(-1)^{k-1}}k(A-I)^k}, déterminer le domaine de définition.

Étudier {\exp(\log A)=A} et {\log(\exp A)=A}, et déterminer les matrices satisfaisant chaque égalité.

Question d) Montrer {(e^{A/k}e^{B/k})^k\to e^{A+B}}.

Question a) Donner un exemple où {\chi_C} n’a aucune racine réelle.

Question b) Si {A} est inversible, pour {\varphi(X,Y)=X^TA^{-1}Y} sur {\mathbb{C}^{2n}}, montrer que les sous-espaces caractéristiques {F_\lambda(C)} sont deux à deux {\varphi}-orthogonaux.

Question c) Que peut-on en déduire sur les valeurs propres réelles ?

Pour {n\ge2}, déterminer les {A\in M_n(\mathbb{C})} telles que {\int_0^{+\infty}e^{t^2A}\,dt} converge.

Soit {E} un espace vectoriel de dimension {n}. Soit {u\in\mathcal L(E)}, annulé par un polynôme {Q} tel que {Q(0)=0} et {Q'(0)\ne0}.

Montrer que {\ker u} et {\operatorname{Im}u} sont supplémentaires.

a) Montrer que {Q(A)=0} en calculant {A^ke_1}.

b) Montrer que {\mathbb{R}[A]=\left\{R(A):R\in\mathbb{R}[X]\right\}} a dimension {n}.

c) Montrer que {PB} est triangulaire, puis que {B} est inversible.

d) Montrer que {AB=BA^T}.

e) Montrer que {A^T} est semblable à {A}.

f) Montrer que {A} est produit de deux matrices symétriques.

Soit {A\in M_n(\mathbb{R})}.

Montrer qu’il existe {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(A)=\operatorname{Com}(A)^T}. Indication : commencer par {A} inversible.

a) Montrer {Q(A)=0}. Indication : calculer {A^ke_1} pour {0\le k\le n}.

b) Montrer que {\mathbb{R}[A]=\left\{P(A):P\in\mathbb{R}[X]\right\}} a dimension {n}.

c) Montrer que {CB} est triangulaire.

En déduire que {B} est inversible.

d) Montrer que {AB=BA^T}.

e) Montrer que {A} est semblable à sa transposée.

f) Montrer que {A} s’écrit comme produit de deux matrices symétriques.

Soit {M\in\mathcal M_2(\mathbb{Z})} telle que {M^k=I_2} pour un entier {k\ge1}.

Montrer que {M^{12}=I_2}.

Existe-t-il {N,P\in M_n(\mathbb{R})} tels que {N^2=0}, {P^2=P}, {NP} nilpotente et {(NP)^2\ne0} ?

Soit {M\in M_n(\mathbb{R})} avec {M^3=0}.

Montrer qu’il existe une unique matrice {X} telle que {X+MX+XM^2=M}.

a) Montrer que {f_N} est définie sur {\mathbb{R}}.

b) Montrer que si {f_N} s’annule, alors {N=0}.