Soit {\mathcal A\subset M_n(\mathbb{C})} une sous-algèbre stable par {M\mapsto\bar M^T}.

Montrer que {\mathcal A''=\mathcal A}.

Soient {E} un espace vectoriel réel de dimension finie, {G\leq GL(E)} fini et {F\subset E} stable par {G}.

Montrer que {F} possède un supplémentaire stable par {G}.

Soient {E} euclidien, {u} symétrique et {F\subset E}.

Si {\mathcal A_F} est l’ensemble des projecteurs d’image {F}, montrer que {\left\{\lVert up-pu\rVert_{op}:p\in\mathcal A_F\right\}} admet un minimum.

Soit {A\in M_n(\mathbb{C})} et {r>0} tel qu’aucune valeur propre de {A} n’ait module {r}.

Interpréter {M(r)=(2\pi)^{-1}\int_{-\pi}^{\pi}re^{i\theta}(re^{i\theta}I-A)^{-1}\,d\theta} et montrer que c’est un projecteur.

Soient {K} un corps et {V\subset M_n(K)} un sous-espace dont toutes les matrices ont rang au plus {1}.

Montrer que {\dim V\le n} et étudier l’égalité.

Quelle est la dimension maximale d’un sous-espace {V\subset M_n(\mathbb{R})} tel que {\operatorname{tr}(XY)=0} pour tous {X,Y\in V} ?

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})} de même rang, avec {A^2B=A}.

Montrer que {B^2A=B}.

Question a) Que dire de {C} si {E} est stable par différence symétrique ?

Question b) Si {|A\cap B|} est pair pour tous {A,B\in E}, montrer que {|E|\le2^{\lfloor n/2\rfloor}}.

Question a) Montrer que {(x,fx,\ldots,f^{m-1}x)} est libre ; noter {V} son espace.

Question b) Choisir {\varphi\in E^\star} avec {\varphi(f^{m-1}x)\ne0}, poser {W=\operatorname{Vect}(\varphi\circ f^i:0\le i\lt m)} et {W^\perp=\left\{y:\psi(y)=0\text{ pour tout }\psi\in W\right\}}.

Montrer que {W^\perp} est un supplémentaire de {V} stable par {f}.

Question c) En déduire une base dans laquelle {f} est une somme de blocs nilpotents de Jordan, avec des {1} sur la sur-diagonale.

Soit {n\ge2} et {R_n=\left\{M\in GL_n(\mathbb{C}):M\overline M\in\mathbb{C}^\starI_n\right\}}. On pose {A\sim B} s’il existe {M\in GL_n(\mathbb{C})} et {\lambda\in\mathbb{C}^\star} tels que {A=\lambda MB\overline M^{-1}}.

Justifier que cette relation induit une relation d’équivalence sur {R_n} et déterminer ses classes.

Soit {G_n} l’ensemble des sous-espaces de {\mathbb{R}^n}. Soit {\Phi:G_n\to\mathbb{R}} telle que {\Phi(V\cap W)+\Phi(V+W)\le\Phi(V)+\Phi(W)} et {\Phi(\left\{0\right\})\ge0}.

Montrer qu’il existe un unique sous-espace {V_0} de dimension maximale tel que {\inf_{V\ne\left\{0\right\}}\frac{\Phi(V)}{\dim V}=\frac{\Phi(V_0)}{\dim V_0}.}

Question a) Soient {A,B\in M_2(\mathbb{R})} de rang un et de même image.

Montrer qu’il existe {P,Q\in GL_2(\mathbb{R})} tels que {A=P\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}Q} et {B=P\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\[4pt]0&0\end{pmatrix}Q}.

Question b) Pour {\Psi_{P,Q}(M)=PMQ} et {\tau(M)=M^T}, montrer que tout endomorphisme linéaire {\Psi} de {M_2(\mathbb{R})} conservant le rang est de la forme {\Psi_{P,Q}} ou {\Psi_{P,Q}\circ\tau}.

Soient {\sigma>0} et {f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}} continue avec {|f(x)+f(y)-f(x+y)|\le\sigma} pour tous {x,y}.

Montrer que {f} est la somme d’une fonction linéaire et d’une fonction bornée en valeur absolue par {\sigma}.

1) Comparer {\chi_k(\omega_m)} et {\chi_m(\omega_k)}.

2) Calculer {\langle\chi_k,\chi_m\rangle}.

3) Calculer {\widehat{\chi_k}} et {\widehat{\widehat{\chi_k}}}.

4) Montrer que {\varphi=\sum\limits_{\ell=0}^{n-1}\varphi(\omega_\ell)\widehat{\chi_\ell}}.

5) Montrer que {\langle\widehat\varphi,\widehat\psi\rangle=\langle\varphi,\psi\rangle}.

6) Montrer que {E} est de dimension finie.

7) Montrer que {\varphi\mapsto\widehat\varphi} est un automorphisme et conserve la norme.

a) Soit {A\in M_n(\mathbb{R})} dont tous les coefficients diagonaux sont nuls et les autres valent {1} ou {-1}.

Montrer que, si {n} est pair, alors {A} est inversible.

b) Soit {B=(x_1,\ldots,x_{2n+1})\in\mathbb{R}^{2n+1}}.

On suppose que, pour toute partie {P} de {B} de cardinal {2n}, on peut trouver {Q_1,Q_2\subset P}, chacune de cardinal {n}, telles que {\sum\limits_{x\in Q_1}x=\sum\limits_{x\in Q_2}x}.

Montrer que tous les {x_i} sont égaux.

1) Montrer que {\dim S_3^2=5}.

2) Montrer que {\dim S_3^N=N+3}.

3) Pour {f\in C^2([x_0,x_N])}, montrer qu’il existe une unique {s\in S_3^N} avec {s(x_i)=f(x_i)} pour tous {i}, {s'(x_0)=f'(x_0)} et {s''(x_0)=f''(x_0)}.

4) Même question en remplaçant la dernière condition par {s''(x_N)=f''(x_N)}.

a) Montrer que {D} induit un endomorphisme de {\mathbb{R}_n[X]} ; déterminer son noyau et son image.

b) Pour {f\in E}, {n\ge1} et {x>0}, montrer qu’il existe {c\in]x,x+n[} tel que {D^nf(x)=f^{(n)}(c)}.

c) Si {\lambda\in\mathbb{R}} vérifie {n^\lambda\in\mathbb{N}} pour tout {n\ge1}, montrer que {\lambda\in\mathbb{N}}.

a) Montrer que les coefficients sont uniquement déterminés par {f}. Pour {a\in\mathbb{R}} fixé, posons {T(f)(x)=f(x+a)-f(x)} sur {F}.

b) Que vaut {T} si {a\in\mathbb{Z}} ?

c) Décrire son noyau si {a\in\mathbb{Q}}.

d) Décrire son noyau si {a=\sqrt2}.

e) Déterminer {\operatorname{Im}(T|_G)} si {a=\sqrt2}.

a) Calculer {\nabla J} et montrer {J(x+h)-J(x)=\langle\nabla J(x),h\rangle+\frac12\langle Ah,h\rangle}.

b) Montrer l’équivalence des propositions : (i) {J} admet un minimum sur {\ker B} ;

(ii) il existe {x\in\ker B} tel que {\nabla J(x)\in(\ker B)^\perp} ;

(iii) le système {(S):Ax+B^{\mathsf T}y=v}, {Bx=0} admet une solution.

c) Montrer l’existence d’une solution si {\ker B=\left\{0\right\}}.

d) Montrer que {(S)} a au plus une solution si et seulement si {\ker B^{\mathsf T}=\left\{0\right\}}.

e) Trouver {\alpha,\beta>0} tels que {J(x)\ge\alpha\lVert x\rVert^2-\beta\lVert x\rVert}.

f) En déduire l’existence d’une solution de {(S)}.

Soit {(E,\lVert \cdot\rVert)} un espace normé de dimension finie et {f\in\mathcal L(E)} tel que {\lVert f(x)\rVert\le\lVert x\rVert} pour tout {x}.

Poser {s_n=(n+1)^{-1}\sum\limits_{k=0}^nf^k}.

Étudier le comportement de {s_n} lorsque {n\to\infty}.

On appelle positive une matrice dont tous les coefficients sont positifs ou nuls.

Montrer l’équivalence : {A} est inversible avec {A^{-1}} positive ; pour tout {X\in\mathbb{R}^n}, {AX\ge0} implique {X\ge0}, les inégalités étant coordonnées par coordonnées.

Soit {E} un sous-espace de {M_n(\mathbb{R})} dont tous les éléments sont de rang au plus {1}.

Montrer que {\dim E\le n}.

1) Trouver {f} telle que {F_f} soit de dimension finie.

Préciser la dimension.

2) Montrer que, si {F_f} est de dimension finie, {F_{f'}} l’est aussi.

3) Trouver les fonctions {f} telles que {\dim F_f=1}.

4) Trouver les fonctions {f} telles que {\dim F_f=2}.

1) Si {F_f} est de dimension finie, montrer que {F_{f'}} l’est aussi.

2) Quelle est la dimension de {F_f} lorsque {f=\exp} ?

3) Réciproquement, montrer que si {\dim F_f=1}, alors {f=\exp}.

Soient {M,N\in M_2(\mathbb{C})} telles que {M^2=N^2=0} et {MN+NM=I_2}.

Montrer qu’il existe {P\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})} tel que {M=PE_{12}P^{-1}} et {N=PE_{21}P^{-1}}.

Pour {A\in M_n(\mathbb{R})}, déterminer la dimension de {E=\left\{AM:M\in M_n(\mathbb{R})\right\}}.

a) On écrit {A\xrightarrow{f_1}B\xrightarrow{f_2}C} lorsque {f_1,f_2} sont linéaires et {\operatorname{Im}f_1=\ker f_2}.

Que dire si {A=\left\{0\right\}} ? si {C=\left\{0\right\}} ?

b) Considérons deux suites exactes {0\longrightarrow A\xrightarrow{f_1}B\xrightarrow{f_2}C\longrightarrow0, \qquad0\longrightarrow D\xrightarrow{g_1}E\xrightarrow{g_2}F\longrightarrow0,}et des applications linéaires {h_1:A\to D}, {h_2:B\to E}, {h_3:C\to F} telles que {h_2f_1=g_1h_1}, {h_3f_2=g_2h_2}.

Si {h_1,h_3} sont des isomorphismes, montrer que {h_2} en est un.

Soient {A,B\in M_n(\mathbb{R})} de rangs respectifs {p,q}.

Déterminer les valeurs possibles de {\operatorname{rg}(AB)}.

a) Supposons {E=\operatorname{Vect}(e^x)+\operatorname{Vect}(e^{-x})+G}, où toutes les fonctions de {G} sont bornées sur {\mathbb{R}_+} et où seule la fonction nulle de {G} est de carré intégrable sur {\mathbb{R}_+}.

Montrer {E\cap L^2(\mathbb{R})=\left\{0\right\}}.

b) Supposons de plus qu’il existe {F_1,F_2\subset E} de dimension deux, les fonctions de {F_1} étant bornées sur {\mathbb{R}_-}, et seule la fonction nulle de {F_2} y étant bornée.

Montrer {\dim(E\cap L^\infty(\mathbb{R}))=1}.